那么我们今天来讲一个涡旋电场应用的实例
这就是电子感应加速器，应该说
加速器我们前面接触过是那个回旋加速器，回旋加速器
它主要是利用粒子在磁场中运动的时候回旋的频率
是不随速度变化，那么利用这个原理呢，我们可以加速重粒子
比如质子、α粒子，那么 现在我们在那时候说电子在回旋加速器里
就不能用回旋加速器来加速，原因是因为电子本身质量特别轻
所以它呢，稍微加点速，它的速度就很快就达到接近光速
那么相对论效应就会很明显，所以降速电子呢，我们另外有一种
仪器，它是专门利用涡旋电场来对电子加速，这就叫“电子感应加速器”
那么我们讲这个电子感应加速器这个内容 其实使我们更进一步了解涡旋电场，了解涡旋电场
就是说在涡旋电场当中，一个电子它是如何运动 的
它利用了涡旋电场什么特点？那么它怎么加速？我们就来看看这个情况
那么这是一个电子感应加速器的 一个剖面图，你可以看到这个
像这样的一个东西实际上是环形器的截面 这是真空的环形器
一个圆的，那么它呢，这个截面里面的电子可以在这里
面回旋，所以这张图是从上往下看
那么我们看到这个是环形器的这个内半径
外半径，那么这是什么呢？就是一点一点，就是这个磁场，所以在
这张图上我从上面往下看，这个时刻磁场是
向上的，处于这样的一个磁场当中，假如在这样 一个磁场里面，那么我们说呢，这儿如果有一个电子枪射进去
那么电子这么运动，速度是这样的话，那么我们说v×B
电子受到的洛伦兹力就是向这的，对吧，因此在这里面 电子受到的洛伦兹力是起到了一个向心力的作用
对不对，那么如果说没有涡旋电场，如果这个磁场是恒定的话
它进去的速度是这个速度，那么应该是说它就做匀速圆周运动 那么现在我们说因为这个磁场呢
这个时刻是这个方向，但是磁场如果随时间变化 这个方向，它从开始少变多，变多
那么它变化，然后变到一定的时候它再反过来，反方向
再增加，对吧，所以再这样就是说这个磁场呢 是交变的，那么它的交变的周期呢，应该是比较慢的
那么大家基本上，比如说是这种
这种样子是在一个周期里面，比如说从开始是从0
到正sin然后再从正sin到 0，再从0到-cos
然后再过来，就是这是一个周期，所以基本上原理
是电磁铁它的周期是很小 就是很短，就50周、50Hz
这个电流是强大的交变电流，这个电流是交变的，那么我们来励磁
那么因此这个磁场是交变的
那么磁场变化会引起真空石里面会感应出
强大的涡旋电场，那么因此这个涡旋电场比如在 这种情况下，假如在这个方向上磁场是增加的
按照涡旋电场的原则，左旋对吧 应该呢，涡旋电场是这个方向
那么涡旋电场是这个方向对于电子来讲，它是受到了一个这个方向的加速度
因此如果磁场发生变化，那么在这个真空石里就会有
一圈一圈的涡旋电场，这个涡旋电场使得这里运动的电子呢
会在轨迹上被加速，而如果是这样的配合
磁场如果是从这个方向增大 那么涡旋电场是这个方向，那么我们说
电子如果速度是这个方向的话，它是被加速 是被加速，那么是不是说在这个装置里，每时每刻
都被加速也不是，如果电子枪是反着射
那么它受到洛仑磁力一定是向外的，就不能形成向心运动，对不对
那么另外它如果是这样的话，那涡旋电场如果跟它反方向，就是阻碍它的运动
涡旋电场如果给它是一个减速度，那么它还 不能够加速，所以呢，我们要分析
在励磁的这个线圈交变一周的时候，哪些时间
和我配合进去的电磁场、电子枪射进去的粒子 的运动方向，配合到什么情况下，它能够被加速
这件事情要去看一看，那么因此我们可以来分析
电子枪应该是选择加速实际射入
也就是说我要配合这个磁场 刚好比如在这张图里面，刚才磁场是正方向，而且是在增大
那么我这时候我是这样射进去，那么这个情况
相当于我从开始刚到正方向 达到这，在这个区间里，它一直是这个方向
而且是增大，那么这时候形成的涡旋电场是这个方向
那么电子呢，是这样转，那么因此电子受到的是加速 是加速，那么因此它择机射入
电子运动方向和磁场要配合，使洛伦兹力提高向心力
那么于是电子运动方向和涡旋电场方向配合好 使得电子不断的加速，因此我们可以看到
这一个周期里不是每一段都是被加速的 那么能够使它获得加速度的是哪一段呢
我们说从这个图上看，这个区间
第一个1/4周期，假如从这开始数 那么从这到这，如果电子枪是这么射入的话，那么
只有这1/4是加速的，为什么呢？ 它加到极大以后，这个磁场就减弱了
减弱了以后虽然是这个方向，但是磁场是什么？
变小，所以呢，它涡旋电场是这个方向，如果电子是这么运动，那螺旋电场
力给它的是这个方向的力，那么就阻碍它运动，所以呢
虽然它还是这样运动，它是被减速了
画的时候是涡旋电场的方向，所以在这个区间是减速了，而最后面
1/2周期区间呢是没有办法使这个粒子
这种情况下受到向心力，所以我们说分析这个B 的
一个周期里面只有第一个的1/4是可以得到加速的
那么大家就说这个怎么弄啊，这么短的时间
它能加速多少，那你放心，因为电子它很轻 它受到一点加速度，它很快速度就变大
了，所以我们说即便是在 这个1/4周期里它都可以转上上百圈，这个原理呢，基本上是这样
是这样，所以我们说实际上在这里面电子被加速，它的动力是什么呢？
涡旋电场，那么在这个粒子里边，你看这个截面他为什么
不是，这个磁铁不是这么平平呢
而是这里面强一些，这个地方要弱一些，对吧，为什么要这样呢？
它是为了要做到使得这个粒子能够稳定在一个圆轨道上呢，那么怎么来做到呢，是为了
在加速过程当中，绕固定的原轨道运动 以便打靶，否则它轨道不确定
那么你打靶当然就不准了，这样的话，为了让它有一个
稳定的轨道，就是对磁场进项分布要有要求 那么我们就是说它的要求是什么呢？
要使轨道上的B值洽好等于轨道包围的面积内
B值的平均值的一半，这意思就是说 比如说这个轨道上的这个B
刚好是这个圆轨道所包围的面积里面，假如这个里面都是均匀的话 的话，那么再开始就不均匀了。
那么去算这个圆轨道里边的平均磁场。
平均磁场的一半，刚好在这轨道上的 是这个值。
所以轨道上的值是应该这里包围的磁场的平均值的一半。
当然，这个怎么能做到这一点？ 我们就来 推导一下。
这个推导，一个是做一个力学题， 另外一个让我们知道怎么样在这种
情况下去算出轨道上的涡旋电场值。
因为它是做向心运动，所以洛仑兹力 作为向心力，这个大家都会。
那么这里的B是什么，是轨道上的 磁感应强度。
轨道上的这个值。这个是它的运动的速度。
这个是向心。
m乘上向心加速度。
那么因此呢，我们说把这个式子变一变就是它，对吧？
然后我们再另外考虑
粒子他的运动的加速度。
就说mv对t求导，实际上就是m 那个dv/dt对吧？
就是牛顿定律嘛，就是ma。所以它应该等于什么呢？ 应该等于它受到的轨道上的加速的力。
就是 电子乘电子的质量乘电子电量去乘上 这个涡旋电场力。
所以这个方程是涡旋电场力提供它 这个，受到的这个力。
把这个式子 放到这。
然后这个是mv。这两个式子放到这。然后我们现在就来看，
那么这里的涡旋电场力是多少呢？ 下一步就要去求涡旋电场。
现在我们说在轨道上的涡旋电场。
点乘dl这个积分，应该等于里边。
等于什么呢？ 等于负的偏B偏t点乘dS，
对吧？ 这个就磁通量的变化。所以我们说，把它拿出来
就是B点dS。这个就是一个磁通量。
那么因此呢我们呢就说，这个积分 在轨道上我们认为涡旋电场是一样的。
所以乘上整个轨道的周长。
而这个呢，我们可以看成 这里边，整个这个B如果用平均磁感应强度来代替，
那么这B平均，可以拿到外面来，把d/d d/dt就对这个B平均去微商。
而对这个S的积分是什么呢？pi R平方。
所以这个结果是由这样来的。
这一步走过来，原因是因为我 只要圆轨道之内的磁场的平均值。
所以其实里边的磁场中心这部分和靠边上的磁场 是不一样的。
但是呢，我只要一个平均值。所以呢用平均值来代替。
那么我们就可以整个把这个B作为一个常数提出来。
提到这。但它还是随时间变化的。那么对整个 面积的积分呢，就是这圆轨道所包围的面积。
那么因此这个式子就变成它。
那么于是， 根据这个式子，我们可以得到涡旋电场是多少呢？
就是负的2分之R dB平均/dt。
这意思就说，假如 我知道B平均，
那么我就知道它随时间的变化率。
那么在轨道上某一处的涡旋电场 就由这个式子来决定。
给我们提供了一个求涡旋电场的办法。
也就说假如我有一个圆形区， 在圆形区域里边，
中心某一处，这个地方的，如果这里边的磁场 是均匀变化的。
我知道这个变化率。
这个如果是知道的，那么我们就这道这个地方的涡旋电场。
它应该是什么？负的2分之r，dB/dt。
对吧？ 那么由此我们就可以知道，假如我们以前学过
涡旋电场，就说，螺线管，无限长螺线管， 它内部的磁场是B
等于mu 0 nI，对吧？ 假如这个I呢，是时间的函数，
比如说I等于什么I 0 cosine omega t。
那么这个dB/dt是不就可以知道了？
螺线管里边距离中心为R粗的涡旋电场是不就可以知道了？
这个讨论实际上给我们提供了一种方法。
假如它告诉你一个圆形区域， B随时间的变化率假如说我说这磁场是均匀分布的，
然后B随时间的变化率是告诉你的。
那么我们说圆形区域里任何一点的 涡旋电场是不是可以知道了？
那么同样， 在这外面
这，这一处，他的这个涡旋电场能不能知道啊？ 当然也能知道。是吧？
所以我们书上让你们求地 都是圆形区域里告诉你B随时间变化的变化率。
然后让你去求某一处的涡旋电场，对不对？ 但是有一句话我要跟你们说，
因为我们这样的题做多了，所以很多同学形成一个误解，
好像无旋电场一定是一个以某一个东西为中心一个圆。
这个概念是错的。
为什么啊？你们想想我们讲那磁矢势
的时候我们说涡旋电场等于负的偏A偏t，对吧？
我们其实也知道库伦规范里A基本上是跟电流方向是 平行的。
大概有这么一个概念。那么于是你想如果我这个螺线管是一个绕成一个方的。
就一个方的螺线管，截面是方的。
那么这里的涡旋电场是圆的吗？就不是圆的了。
所以呢我们为什么经常叫你们做圆的呢？ 因为只有圆的好算。方的不好算。对不对？
所以就是普通物理里面 常常给你们做的都是圆的。
但是不要让你们形成一个误解， 好像涡旋电场都必须是以某一个为中心是圆的。
所以我们就说，我们普通物理里边让你们做的大量的题 都是圆的，圆形的。
我出一个不是圆形的，就是电动力学的题。
所以呢那些问题到电动力去讨论。
我们现在只做圆的。
但是你们不要认为涡旋电场就是一个 都是这样圆圈的。
形成这样的误解呢，就会有很多困惑。所以我们在这讲。
这里给了这个一个例子。
使得我们做这种问题都是有办法的。
但是仅此而已，仅此而已。
那么这样的话呢我们就再把这个涡旋电场 代到这里去。
带进去以后，Bmv等于这个。
然后我们下面是做什么呢？ 是做一个长微分分成，对吧？
下面，初始条件v等于0，B等于0，被这个两倍去积分。
那么于我们再吃去跟这个是式子相比较。
我们就 可以得到关于道上的新感应强度应该是
轨道内所包围面积的平均磁场的一半，这就证明了。
证明了。
所以这个提示到到时候你们明白涡旋电场的 运用的一个例子。
同时也学会怎么样算一定条，比如就像这圆形区域的 涡旋电场。大小我们可以知道。
所以说电磁感应加速器原则上是不受相对论影响的。
那么是不是说它就可以加速到超过光速呢？ 也不行。
它加速了以后会辐射能量。
所以就会限制能量进一步提高。因此呢，它也不能无限制的加速度
Ms 王稼军 WangJiaJun教授 Professor
