物理學是描述世上質量與能量交互作用的學問，在這門課中我們將為大家介紹近代物理對於世界的認識。我們會從電磁學出發，進展到光學，並進而說明近代物理對人類觀念的突破。
4-3 電磁波
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普通物理學 - 電磁學、光學及近代物理
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Week 4 電與磁的完美結合
第四講的主題是「電磁波」，這一講描述十九世紀下半葉，由馬克士威領軍，對人類理解世界的概念產生重大影響的過程，非常精彩。雖然會用稍微多一點數學，但是希望各位能夠從中間看出對稱性的美妙。以及能夠理解馬克士威如何透過對於數學形式的思考，發現電磁可以形成波動的概念。因此可以知道，數學真的是描述物理非常重要的語言。
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朱士維教授 (Professor)
物理學系 (Physics)
大家好，我們現在要開始正式進入電磁波的概念。
我們在這一講的第一節呢跟各位介紹了Maxwell equation的四個重要的方程式。
在第二節裡面呢，為各位回顧了力學裡面波的概念。那我們在這一節裡面呢， 要把Maxwell方程式呢跟波動方程式結合起來，
讓各位看到，到底Maxwell是怎麼想到有電磁波這個東西的？
所以呢，我們先從歷史上的淵源來說呢，我們前面曾經提過，
所謂的場這個概念呢，其實是法拉第所提出來的。那麼Maxwell呢他基本上是受到法拉- 第的啓發，
他認為電跟磁呢，也不是一個超距力，而是透過場 來跟物體交互作用，就像是彈簧把它們接起來一樣。
所以呢你可以想像，如果呢，當電荷或是一個磁鐵，
隨著時間的移動的話，這個電荷跟磁鐵移動的時候，就會把它的造成的電從磁場跟著帶著跑。
那麼跟著帶著跑的時候呢，如果這個電荷或是磁鐵呢
在做週期性運動的話，誒，旁邊這個場就會跟著做一個週期性運動。那麼就好像是在說呢，
這個擾動電荷或是磁鐵的擾動，會因著這個電場或磁場，把它往外傳遞。
所以這個呢就是從法拉第，然後一直傳承到Maxwell來的一個概念。
也就是說呢，並不是只從方程式來，而是從法拉第的時代呢，從非常直觀的概念，法拉第就- 想像過，
會有電磁波的這個存在。不過呢，如前面所說過，法拉第呢基本上因為數學能力沒有那麼好，- 他只能做一個直觀的想像，
而Maxwell則跟隨了這個直觀想像，運用他非常好的數學能力呢，發展出一個描繪電磁場
改變的方程式，進而預測電磁波。在物理學裡面呢，直觀的理解，
跟數學的工具，兩個都非常重要。那基本上大家在學這些事情的時候，你可以這樣想，人真的- 可以不用什麼都會，
你應該是根據自己的長處，找到自己適當的定位，這才是最重要的事情。所以像法拉第，
雖然數學不好，但直觀能力非常強，他也在歷史上面留下了非常重要的定位。而Maxwell呢是
數學能力非常強，那麼他也在歷史上，物理的歷史上留下一個非常重要的角色。
好，那麼我們現在要開始來看Maxwell equation呢怎麼樣變成一個波的方程式。
那麼在這個地方呢，我們可以先把上上節裡面所講的Maxwell equation再重新寫下來一次。所以這裡面包括
四個式子，前面兩個式子呢是跟空間的關係，那麼後面
兩個式子呢是跟時間的關係。那麼一般來說呢，我們可以這樣假設， 如果在我們現在所處理的空間裡面呢沒有獨立電荷，也沒有電流
的話呢，我們可以把這兩項呢先消掉。所以呢，這裡面呢 就會變成是一個相當於真空中的一個
Maxwell equation。那麼呢這個Maxwell equation呢，
Maxwell他是從後面這兩個式子，也就是說呢，變化的磁場 會產生電場，還有變化的電場也會產生磁場，
這樣的方程式呢推論出電磁波的一個存在。所以呢，也就是說，你可以這樣來想這個事情，
第三個式子呢，就是法拉第定律，他想說當磁鐵運動的時候呢，就會造成磁場的擾動， 那麼當這個磁場往外擾動的時候呢，
也會同時感應出一個一起傳播的電場，這個就是法拉第定律告訴你的事情。那麼
第四個式子呢由Maxwell修正過之後，它變成說，誒，如果我有一個電荷在動， 這會造成一個電場隨時間的擾動。這個電場隨時間的擾動呢，
往外傳播的時候呢，也會感應出一個一起傳播的磁場。
所以呢，從這兩個式子呢，Maxwell可以感覺的出來一個電磁波的存在。
那我們詳細來講一下怎麼從這裡面產生出一個波來。讓我們在這裡假設有一個均勻的磁場，我- 們用綠色箭頭
來表示，就是這個B。那麼呢這個綠色箭頭磁場的方向是對著z走， 然後我們假設這個磁場在動，
所以呢這個磁場是沿著x軸在前進的，而且呢， 這個磁場在前進的時候呢強度不一定是固定的，這一般來說，
不一定需要固定。所以呢，我們這時候呢在空間中想像一個小小的截面積，就是黃色這一塊。
那麼這個小小的截面積呢， 當磁場穿過去的時候呢，一定會產生一個感應電場，所以我們把這個小小的面積的高度呢，
叫做h， 然後這個小 小面積的寬度呢我們叫做dx，就是一個非常小的一個距離。
所以這個小小的面積的整個面積就是h乘上dx。那麼
這個跑過去的磁場跑過去的時候呢，就會在這個框裡面呢產生出來一個改變的磁通量。
那麼磁通量有多大呢？磁通量就應該是磁場的大小乘上它的面積，h乘上dx，所以這是- 磁通量。
那麼法拉第定律告訴我們事情是呢，
感應出來的電場跟磁通量變化率有關，所以我們把這個磁通量 對時間微分，就是變化率。那麼對時間微分的時候呢，我們知道在這個時候呢，整個
空間中在動的只有磁場， 所以呢這個面積hdx跟時間是沒關係的。所以這個hdx可以拿到微分的外面，
這裡面剩下磁場對時間的微分，這個是磁通量對時間的變化率。
那麼在法拉第定律的左半邊呢，它說，誒這個
整個面積的環圈，這一環圈呢對於電場的環積分呢會跟磁通量的變化率
是一樣的。所以我們來看看，誒，在這個電場 跟這個環圈的乘積會是什麼呢？所以我們在這個環圈上呢假設感應出電場來，那麼一邊呢
會是E， 另外一邊呢是E這個電場加上一個dE小小的改變量，
就是一般來說，我們剛剛說磁場不一定是均勻的，所以它可能左右兩邊感應出來的電場是不- 一樣的。
所以讓我們先假設一個小小dE是改變出來，感應出來的改變量。
那麼從這個方程式裡面來看，就可以看得出來。對於整個面積的環，電場乘上
位置，這樣的一個大小呢會是，因為它是內積的關係，這個平行的地方有分量，
所以它會是E加上d乘上h，這個相當於是在這個場裡面右半邊
的造成的結果。還有呢，左半邊呢是E乘上h，
這個量在左半邊，但是因為是一個環的積分，所以左半邊這個會用減的。
所以呢這兩個相減之後的結果呢就剩下hdE。
我們把這些式子結合起來，法拉第定律告訴我們事情就是，磁通量 改變率就是電場對這個環的積分的結果。
所以整個結合起來結果呢，我們在這邊看得出來，有一個情況是
電場對空間的積分會等於磁場對時間的積分。 那我們在這裡呢，因為我們剛剛都是用d這個符號是代表一個
微小的量，但是因為電場跟磁場本身可以是時間也可以是空間的函數，所以我們在微分裡面呢- 變成一個偏微分的一個形式，而不是全微分的一個形式。
好，所以這個是我們從法拉第感應定律呢可以感覺的出來的是，磁場對時間的
微分，誒，跟電場對空間的微分既然是相等的，而且差一個負號。
那麼非常對稱的呢，Maxwell也有一個所謂的感應定律，
這是從安培定律這邊修正而來的結果。那麼Maxwell這個定律它告訴我們什麼呢？ 它告訴我們的事情是呢，電場通量
的改變率就會是磁場對這個環的積分量，兩個是相等的，然後再乘上一個μ0ε0。
那麼所以我們從Maxwell這個感應定律裡面呢，可以感覺的出來，如果有一個電場- 在移動，
穿過個面積的話，會感應出磁場來。所以我們現在想像，一個電場在空間中呢，也是往
x方向傳播，就是這個電場呢也算往x方向傳播，而這個電場的方向呢，則是指向y。這個我- 們可以從剛剛那個圖
裡面，上一頁我們曾經提過，磁場如果向著z會感應出來一個y方向的電場。那麼在這邊呢我- 們電場如果向著y，
可以想像它會感應出來一個z方向的磁場，所以這樣子的一個指向性的會跟上頁的討論是完全- 一致的。
那麼一樣，我們在這邊空間裡面想像一個小小的截面積，也是hdx。
那麼這時候呢，變成是電場在空間中移動，穿過這個截面積。
所以呢，這時候的電場通量的大小呢，是電場大小乘上hdx。
那同樣的做法，我們現在關心的事情是電場通量對時間的改變率。
所以我們把這個電場通量對時間微分，然後跟前頁的概念很像，hdx這個面積呢並沒有隨時- 間改變，所以拿到這個微分符號的外面來。
而另一方面呢，在這個Maxwell感應定律左半邊呢，是這個磁場乘上這一圈的環狀的
一個大小，那麼我們跟剛剛的概念很像呢，在這個地方感應出來磁場呢左右兩邊不會一樣，
所以一邊呢我們就要做B，另外一邊呢過了這個面積之後，感應出來的磁場它可能是B加- 上dB，
這個有一個小小的改變量dB。所以呢，對於這個磁場來說，對於這整個環， 全部積分起來的結果呢，它會是
B加上dB乘上h，還有一個是Bh，然後兩個要相減。那麼這個 相減的結果呢，就會得到一個負的h乘上dB。所以整個
把它合起來看的結果呢，Maxwell感應定律就告訴我們說呢， 在這個地方，變成磁場對空間
的偏微分等於電場對時間的偏微分，中間再乘上一個μ0ε0
然後還有一個負號在這裡面。所以呢，這個是Maxwell equation裡面的感應定律
告訴我們的磁場還有電場對空間以及時間的關係。那麼到這個地方呢，其實還沒有感覺到任何
波的感覺，我們只是再次強調一次，電場感應會跑出來磁場，磁場感應會跑出來電場，那- 這個不是
我們在上一講裡面就已經知道了嗎？那到底Maxwell的貢獻是什麼東西呢？ 所以Maxwell的貢獻在於把這些式子釐清之後呢，
可以感覺到，哎，電場、磁場會互相感應產生，所以在空間跟時間裡面呢， 都有相關性。我們來試著整理一下這個式子，
變成只有電場的話，會發生什麼事情。怎麼做這件事呢？ 我們先把上面這個式子呢，對空間x再微分一次，再微分一次的話呢，
左邊會變成電場對x微分兩次，右邊呢是磁場，對x跟t各微分一次。然後
下面這個式子呢，我們把它對時間t再微分一次。這個時候呢，左半邊呢，哎，
也是磁場對x跟t各微分一次，然後右半邊呢是電場對時間微分兩次， 這個時候呢，你就會看得出來，這個式子上下
的磁場，微分像是一模一樣的，所以我們可以把兩個式子合併起來，合併起來的結果呢，
你就會得到下面這個式子。那麼下面這個式子就指向電場了。它告訴我們的事情是電場 對空間微分兩次，
等於電場對時間微分兩次，中間再乘上一個常數， 這個看起來有沒有點眼熟，我們剛剛好像曾在哪裡看過。
是的，這個就是一個波動方程式。波動方程式的特色就是左邊
對空間微分兩次，右邊對時間微分兩次，相等，中間乘上個常數，而這個常數的大小呢，
就是這個(影片口誤)波的速度的平方的倒數。
所以Maxwell的洞見就在於他從推導出這些方程式之後呢，整理的結果，
竟然可以把電跟磁的關係 的一個波動方程式扯在一起。所以從這裡可以預測出一個電磁波的存在。
那麼這邊也邀請各位自己練習一下，我們剛剛呢做的事情是從
法拉第定律還有Maxwell的感應定律呢，整理出來只有電場的關係，
那麼這個地方也要請各位試試看，從這個方程式裡面整理出來一個只有磁場的關係，你會發現- ，磁場自己的變化也滿足一個波動方程式。
所以呢，電磁波方程式告訴我們什麼東西呢？整體來說，它告訴我們，
電場跟磁場都滿足波動方程式，
說明可以用正弦波呢來代表電場跟磁場的波動的一般解，我們可以把上一節裡面講到的 sin的
kx-ωt這個式子它滿足波動方程式，可以放進來這邊，它作為電場跟磁場的一般解的一- 個形式。
電磁波方程還告訴我們什麼呢？它告訴我們說電場跟磁場的振盪 是同時存在的，而且呢它們互相影響，一起傳播往前。
當電場振盪的時候呢，同時又在旁邊感應出一個振盪的磁場，而且呢， 電場的方向、磁場的方向還有波動傳播的方向是互相垂直的。
電磁波方程式還可以告訴我們什麼事情呢，它可以告訴我們，在電磁波裡面， 電場跟磁場雖然都在振盪，但是到底之間比例多大呢？
怎麼算這件事情？我們剛剛已經看過這個式子，是電場對空間微分一次， 等於磁場對時間微分一次然後加上一個負號，那麼，我們
現在知道呢，誒，這個電場跟磁場都可以用一個sin（kx-ωt）來表示， 所以我們把剛剛講的這個sin代進來。也就是說呢，
這時候電場對x微分的時候呢，sin會變成cos， 而因為是對x偏微分，所以呢x的系數k呢會調到
這個外面來，所以它要乘上個k在前面。那麼另一方面呢，磁場也是一個sin（kx-ωt-）的形式，
所以我們把磁場也對這個，時間這個地方微分一次，會發生的事情呢是，誒，這個sin
微分之後也會變成cos，裡面還是kx-ωt，但是因為是對時間微分，所以是時間係數
會調到外面，所以呢是這個ω會調到這個外面來。
那麼這樣子的結果呢，我們兩邊湊起來之後結果就可以看得出來呢，它會得到一個，
電場的振幅乘上k，等於磁場的振幅乘上ω。
所以我們兩個再稍微整理之後就可以得到，電場的振幅的大小。
跟磁場振幅大小的比例呢，就是ω除以k，這個有點眼熟，就是剛剛講的波的速度。
我們把這個電磁波的速度呢也叫做c，如果電磁波波速很快的話呢，它意思就是，在電磁波
裡面，電場的振幅是遠比磁場振幅大很多的。
那麼Maxwell equation到底能夠告訴我們電磁波的波速有多快呢？
電磁波的波速度，我們從剛剛推導出來，哎，電磁波的波動方程式長這樣，
我們拿來跟力學波的波動方程式稍微比較一下，從類比的角度來看一下，還記得嗎，我們常常- 都要用類比這樣的概念，
電磁波的波速呢，應該是
根號μ0ε0分之一，那麼相當說，讓我們用c來代表這個速度的代號，
啊如同我們之前在講電學跟磁學的時候說明過， ε0呢是所謂的電常數，μ0呢是所謂的磁常數，
它們一開始出現呢都是在方程式裡面表達， 電力跟磁力的比例常數，例如說電常數呢是庫侖定律裡面電量
跟力的關係，磁常數呢只是安培定律裡面電流量跟力的關係。
透過Maxwell equation
這幾個乍看之下完全沒有關係的數字，一個是電常數，一個是磁常數， 不僅連接在一起，而且還跟第三個數字扯上關係，就是這個
波的速度。雖然當年呢， 這兩個比例常數還沒有量的非常精準，但是Maxwell根據已經有的資料呢他已經可以估計
這個波， 電磁波的波的速度呢大概是3乘10的8次方，
公尺每秒，所以呢，在下一節裡面呢，我們為大家介紹 這個數字，Maxwell判斷的這個數字呢跟當時已知的
光速是非常非常接近的。所以呢，Maxwell大膽地推測， 光或許就是一種電磁波。
那麼在這節最後呢，我們邀請各位上網去查詢一下，目前，
我們所知道的磁常數的數值到底是多大，然後邀請你找找看，這個數字到底是怎麼決定的。那- 麼相對地呢，
也請你查詢看看，目前電常數的數值是多大，還有它是怎麼決定的。
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