[МУЗЫКА] [МУЗЫКА] Здравствуйте! Меня зовут Просолупов Евгений. В нескольких следующих фрагментах мы познакомимся с основными математическими понятиями, которые потребуются вам для понимания того, что будет изложено в нескольких следующих модулях. Разговор о вероятности невозможно начать без понятия события. Простейшим случаем события является так называемое элементарное событие, то есть один из исходов случайного эксперимента — эксперимента, результат которого заранее неизвестен. Событием называется множество элементарных событий. И все элементарные события, которые входят в это событие, считаются благоприятными для него. Отдельно выделяют так называемые достоверные и невозможные события. Достоверным является событие, которое реализуется всегда. То есть событие, в которое входят все элементарные исходы случайного эксперимента. Невозможным событием называется событие, в которое не входит ни один из исходов нашего эксперимента, то есть оно не реализуется никогда. События называют несовместными, если невозможен такой исход эксперимента, чтобы реализовались и событие A, и событие B. То есть событие A и B будет невозможным событием. Полной группой событий называется такое множество несовместных событий, которые вместе образуют достоверные события. Для событий, как и для любых множеств, определены операции: объединение, пересечение и дополнение. Дополнением, или отрицанием, события называется такое событие не-A, состоящее в том, что A не совершилось. Суммой, или объединением, событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий A и B. Пересечением, или произведением, событий A и B называется событие, состоящее в том, что совершилось и событие A, и событие B. Существует несколько подходов формального определения того, чем является вероятность. Но прежде чем мы перейдем к ним, можно сформулировать некоторые общие принципы. Вероятностью называют некоторую меру возможности наступления некоторого события. Для определенности считают вероятность достоверного события равной 1, а вероятность невозможного события равной 0. Все остальные вероятности лежат между этими двумя величинами. Для описанных нами основных операций над событиями вероятность результата операции можно вероятности аргументов операции. Например, поскольку событие A и не-A всегда образуют полную группу событий, то вероятность A + вероятность не-A = 1, и, следовательно, вероятность не-A = 1 − вероятность A. Вероятность для пересечения событий тесно связана с вероятностью независимости событий и условной вероятностью. События называют независимыми, если вероятностью пересечения этих событий = произведению вероятностей этих событий. То есть P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Это равенство также называют правилом произведения для вероятностей и говорят, что вероятность произведения события = произведению вероятностей события. Если это равенство не выполняется, то говорят об условной вероятности события A при условии B. Мы договариваемся считать, что вероятность A при условии B имеет такое числовое значение, что вероятность A ∩ B = вероятность A при условии B × вероятность B, а также вероятность B при условии A × вероятность A. Итак, условной вероятностью B при условии A называется вероятность наступления события B, в случае если мы знаем, что событие A уже произошло. Исходя из требования получить равенство P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A), мы получаем следующее равенство при условной вероятности. Вероятность B при условии A = вероятность B ∩ A / вероятность A. Если A и B — независимые события, то вероятность B при условии A равно просто вероятности B. Это подтверждает наше интуитивное представление о независимости событий, которое гласит, что события A и B — независимы, если появление события A не влияет на вероятность появления события B. Хотелось бы особо подчеркнуть разницу между независимыми и несовместными событиями. Например, события того, что некоторый текст содержит слово «абракадабра», и того, что этот текст слова «абракадабра» не содержит, являются несовместными, но при этом они не являются независимыми. Как мы говорили, вероятность объединения событий — это вероятностью наступления хотя бы одного из них. Если события являются несовместными, то вероятность объединения A и B = сумме вероятностей A и B. Это называется правилом суммы для вероятностей. Это свойство также можно обобщить на любое число событий. Например, для полной группы событий A1, A2, ..., Ak вероятность объединения этих событий = 1, что равно сумме вероятностей этих событий. В случае когда события не обязательно являются несовместными, используется формула, которая в общем случае называется принципом влючений-исключений. Она говорит, что вероятность A ∪ B = вероятность A + вероятность B − вероятность A ∪ B. При обобщении на произвольное число объединяемых событий, эта формула принимает следующий вид: здесь вероятности пересечения всех возможных подмножеств множества событий складываются с определенными знаками в зависимости от количества пересекаемых событий. Используя полученные нами равенства, можно вывести две фундаментальные формулы теории вероятности. Пусть A1, A2, ..., An — это некоторая полная группа событий, то есть таких событий, что их объединение является достоверным событием. Тогда достоверным является и событие A при условии какого-то события B. Следовательно, можно записать, что сумма вероятностей P(Ai|B) = 1. С другой стороны это равно ∑ по i от 1 до n P(B|Ai) × P(Ai) / P(B). Домножив левую и правую часть полученного равенства на P(B), мы можем получить формулу полной вероятности, которая гласит, что P(B) = ∑ по i от 1 до n P(Ai) × P(B|Ai). Используя формулу для условной вероятности, можно вывести формулу Байеса, которая имеет большое значение для теории вероятности и математической статистики. Действительно, поскольку P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) и это же равно P(B) × P(A|B), мы можем вывести, что P(A|B) = P(A) × P(B|A) и / P(B). Эта формула показывает, как могут измениться наши знания при поступлении дополнительной информации. Вероятность A при условии B здесь выражается через вероятность наступления события A, вероятность наступления события B при условии, что A уже произошло, и вероятность наступления именно такого события B. Применив формулу полной вероятности к знаменателю формулы Байеса, можно привести ее к следующему виду. [БЕЗ_ЗВУКА]
