0:00
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Здравствуйте!
Меня зовут Просолупов Евгений.
В нескольких следующих фрагментах мы познакомимся с основными математическими
понятиями, которые потребуются вам для понимания того,
что будет изложено в нескольких следующих модулях.
Разговор о вероятности невозможно начать без понятия события.
Простейшим случаем события является так называемое элементарное событие,
то есть один из исходов случайного эксперимента — эксперимента,
результат которого заранее неизвестен.
Событием называется множество элементарных событий.
И все элементарные события, которые входят в это событие,
считаются благоприятными для него.
Отдельно выделяют так называемые достоверные и невозможные события.
Достоверным является событие, которое реализуется всегда.
То есть событие,
в которое входят все элементарные исходы случайного эксперимента.
Невозможным событием называется событие, в которое не входит ни один из исходов
нашего эксперимента, то есть оно не реализуется никогда.
События называют несовместными, если невозможен такой исход эксперимента,
чтобы реализовались и событие A, и событие B.
То есть событие A и B будет невозможным событием.
Полной группой событий называется такое множество
несовместных событий, которые вместе образуют достоверные события.
Для событий, как и для любых множеств, определены операции: объединение,
пересечение и дополнение.
Дополнением, или отрицанием, события называется такое событие не-A,
состоящее в том, что A не совершилось.
Суммой, или объединением, событий A и B называется событие,
состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий A и B.
Пересечением, или произведением, событий A и B называется событие,
состоящее в том, что совершилось и событие A, и событие B.
Существует несколько подходов формального определения того,
чем является вероятность.
Но прежде чем мы перейдем к ним, можно сформулировать некоторые общие принципы.
Вероятностью называют некоторую меру возможности
наступления некоторого события.
Для определенности считают вероятность достоверного события равной 1,
а вероятность невозможного события равной 0.
Все остальные вероятности лежат между этими двумя величинами.
Для описанных нами основных операций над событиями вероятность результата
операции можно вероятности аргументов операции.
Например, поскольку событие A и не-A всегда образуют полную группу событий,
то вероятность A + вероятность не-A = 1, и, следовательно,
вероятность не-A = 1 − вероятность A.
Вероятность для пересечения событий тесно связана с
вероятностью независимости событий и условной вероятностью.
События называют независимыми,
если вероятностью пересечения этих событий = произведению вероятностей этих событий.
То есть P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Это равенство также называют правилом произведения для вероятностей и говорят,
что вероятность произведения события = произведению вероятностей события.
Если это равенство не выполняется,
то говорят об условной вероятности события A при условии B.
Мы договариваемся считать, что вероятность A при условии B имеет такое числовое
значение, что вероятность A ∩ B = вероятность A при условии
B × вероятность B, а также вероятность B при условии A × вероятность A.
Итак, условной вероятностью B при условии A называется вероятность
наступления события B, в случае если мы знаем, что событие A уже произошло.
Исходя из требования получить равенство P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A),
мы получаем следующее равенство при условной вероятности.
Вероятность B при условии A = вероятность B ∩ A / вероятность A.
Если A и B — независимые события,
то вероятность B при условии A равно просто вероятности B.
Это подтверждает наше интуитивное представление о независимости событий,
которое гласит, что события A и B — независимы,
если появление события A не влияет на вероятность появления события B.
Хотелось бы особо подчеркнуть разницу между независимыми
и несовместными событиями.
Например, события того, что некоторый текст содержит слово «абракадабра»,
и того, что этот текст слова «абракадабра» не содержит,
являются несовместными, но при этом они не являются независимыми.
Как мы говорили, вероятность объединения событий — это вероятностью наступления
хотя бы одного из них.
Если события являются несовместными,
то вероятность объединения A и B = сумме вероятностей A и B.
Это называется правилом суммы для вероятностей.
Это свойство также можно обобщить на любое число событий.
Например, для полной группы событий A1, A2,
..., Ak вероятность объединения этих событий = 1,
что равно сумме вероятностей этих событий.
В случае когда события не обязательно являются несовместными, используется
формула, которая в общем случае называется принципом влючений-исключений.
Она говорит,
что вероятность A ∪ B = вероятность A + вероятность B − вероятность A ∪ B.
При обобщении на произвольное число объединяемых событий,
эта формула принимает следующий вид: здесь вероятности пересечения всех
возможных подмножеств множества событий складываются с определенными знаками
в зависимости от количества пересекаемых событий.
Используя полученные нами равенства,
можно вывести две фундаментальные формулы теории вероятности.
Пусть A1, A2, ..., An — это некоторая полная группа событий,
то есть таких событий, что их объединение является достоверным событием.
Тогда достоверным является и событие A при условии какого-то события B.
Следовательно, можно записать,
что сумма вероятностей P(Ai|B) = 1.
С другой стороны это равно ∑ по i от 1 до n
P(B|Ai) × P(Ai) / P(B).
Домножив левую и правую часть полученного равенства на P(B),
мы можем получить формулу полной вероятности, которая гласит,
что P(B) = ∑ по i от 1 до n P(Ai) × P(B|Ai).
Используя формулу для условной вероятности, можно вывести формулу Байеса,
которая имеет большое значение для теории вероятности и математической статистики.
Действительно, поскольку P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) и это
же равно P(B) × P(A|B), мы можем вывести,
что P(A|B) = P(A) × P(B|A) и / P(B).
Эта формула показывает,
как могут измениться наши знания при поступлении дополнительной информации.
Вероятность A при условии B здесь выражается через вероятность
наступления события A, вероятность наступления события B при условии,
что A уже произошло, и вероятность наступления именно такого события B.
Применив формулу полной вероятности к знаменателю формулы Байеса,
можно привести ее к следующему виду.
[БЕЗ_ЗВУКА]
Блеканов Иван Станиславовичдоцент
Севрюков Сергей Юрьевичстарший преподаватель
Просолупов Евгений Викторовичк.ф.-м.н., доцент
Коротков Павел Алексеевичстарший преподаватель
Мишенин Алексей Николаевичстарший преподаватель
Утешев Алексей Юрьевичпрофессор
Вольф Дмитрий Александровичассистент
Малютин Евгений Алексеевичассистент
Камалов Михаил ВалерьевичАспирант
