[МУЗЫКА] Я поясню,
что я имею в виду вот на самом простейшем примере функционала,
который мы только что решали.
Я его сейчас перепишу.
Давайте вот уже не буду писать,
что он Φ3 — просто Φ[f],
интеграл от 0 до 1, здесь квадрат производной.
И ограничено условием: f(0) = 0,
f(1) = 1.
Представим себе, что мы вообще не умеем решать дифференциальных уравнений,
а нам нужно найти минимум этого функционала.
Тогда мы будем подбирать пробные функции — какой-то класс пробных функций,
и на этом классе пробных функций будем искать минимум.
Нужно, конечно, чтобы выполнялись граничные условия.
И, например, вот самый простой класс функций — это степенные функции,
f(x) = x в степени α.
α > 0, поэтому граничное условие в 0 удовлетворено,
в 1 удовлетворено, α — мы не знаем.
Давайте ее найдем из условия того, что это φ на этом классе достигает минимума.
Если он вообще на функциях достигает минимум,
то минимум на подклассе будет каким-то приближением.
И истинный минимум будет, скажем, заведомо ниже,
заведомо не выше — точнее, лучше так сказать, чем тот,
который мы найдем, вот так вот угадывая, используя подкласс.
Значит, берем f' = αx в степени α − 1.
Подставляем наш интеграл и вычисляем
Φ = α² / 2α − 1.
Вот такая вот — это уже вместо функционала получили функцию переменной α.
Поиск минимума на этом подклассе
сводится в данном случае к поиску минимума этой фукнции
как функции параметра α, то есть дифференцируем по α.
Так вот я обозначаю производную по α.
Это у нас будет 2α / 2α − 1 −
α² / (2 α − 1)².
И, приравнивая эту производную к 0,
мы найдем совершенно просто, что α = 1.
В нашем случае, конечно,
мы ответ как бы знали — что ответ был степенной,
и значит на классе, на подклассе степенной функции мы
таким образом должны были найти точный ответ.
Мы его и нашли, точный ответ.
Это простейшая демонстрация того, как работает вообще вариационный подход.
Теперь давайте уже рассмотрим более
серьезную задачу, и более важную
— рассмотрим траектории в пространстве,
в одномерном, двумерном или трехмерном — это пока не важно.
Значит, итак, у нас есть траектория — это
функция времени, вектор функции времени.
Две точки траектории зажаты: x
в момент времени 1 = x1, x в момент времени
2 (t2) = x2.
И на этом классе траекторий, пока абы каких, лишь бы там производные
существовали, мы ищем экстремум — я не говорю минимум,
— экстремум вот такого функционала: S[x]
= ∫ от t1 до t2 dτ,
здесь 1 / 2x с точкой в квадрате — точка означает производную по времени t.
− некое U(x).
Экстремальная траектория,
экстремальная траектория
— дайте я так просто отделю — это какая траектория?
Эта вариация нашего функционала S вблизи этой траектории = 0, в первом порядке = 0.
То есть мы говорим, что наш x(t),
удовлетворяющий этим граничным условиям — это
наша экстремальная траектория, — + некое δx.
Как раньше, граничные условия на x(t) наследуются,
естественным образом наследуются этой самой экстремальной траектории.
Значит, δx не должна их нарушать, и вот δx, таким образом,
в момент времени 1 и в момент времени 2 должна быть зажата, = 0.
А во всем остальном эта δx-вариация — малая, но произвольная.
Вот как функция — амплитуда ее мала, а форма уже произвольная.
Тогда вариация действия, что такое вариация действия?
Значит, мы пишем S, S — это функционал действия,
сразу скажу, если кто не знает,
— S[x* + δ x] = S
[x*] + δS.
Это в общем случае, такая для произвольной как бы x*.
Так вот, x* — экстремальная, если δS = 0.
Что это за условие?
Сначала просто напишем, что такое δS.
δS как мы получаем?
Мы подставляем x = x*
+ δx,
уделяем первый порядок — давайте явно это сделаем.
чтобы не было: t1, t1, dτ,
здесь у нас будет x* с точкой
δ x с точкой − δx градиент на O.
Производную с δx перебрасываем на x*,
а ту, что у нас граничные значения вариации = 0,
означает, что у нее интегральные члены не возникают при этом.
И мы получаем для δS выражение вот такое вот: от t1,
t2 ∫dτ, здесь стоит δx(τ),
а здесь в скобке — x* с двумя точками
+ градиент
U вычисляемый.
U — это функция от x, просто функция от x,
и вычисляемая здесь на той же самой траектории x со звездой.
Итак, эта штука должна быть равна 0, δx — произвольная,
значит = 0, Вот это вот скобочка.
Что мы получили?
Мы получили равенство 0 этой скобки, это вторая производная x = − градиенту U.
Если U — потенциал, то это просто уравнение Ньютона.
Для единичной массы — массу всегда можно ввести,
вот сюда поставим букву m и получим буквально уравнение Ньютона.
Итак, условие экстремальности вот этого вот функционала эквивалентно
[ШУМ] уравнению классической механики.
Этот функционал называется действием,
условие экстремальности его называется принципом наименьшего действия.
И мы видим, что принцип наименьшего действия приводит к уравнению
движения для частиц и которое просто уравнение Ньютона
для частицы в потенциале U(x).
Здесь мы получили, просто этот функционал написали как бы из головы.
И увидели, что он эквивалентен как бы нашему известному уравнению Ньютона.
На самом деле, это еще вопрос, что первично, а что вторично.
Поскольку из классической механики, как вы знаете,
является предельным случаем для
относительно больших расстояний — пока так скажем,
— предельным случаем квантовой теории.
В квантовой теории нет уравнения Ньютона.
Уравнение Ньютона возникает в результате вот этого классического перехода.
Так вот, оказывается, что, на самом деле,
в результате классического перехода естественным образом возникает именно
принцип наименьшего действия, из которых следуют эти уравнения Ньютона.
В каком-то смысле он более фундаментален, нежели они самые.
Но давайте пока не будем говорить, что там раньше курица али яйцо,
и просто ограничимся констатацией факта: что условие экстремальности функционала
действия эквивалентно классическим уравнениям движения.
Это можно использовать для ситуаций,
когда мы не можем точно решить уравнение движения, а большей частью мы их,
в общем-то, решить аналитически не можем.
Не всегда это можно даже и численно, по крайней мере легко.
Но можно использовать так, чтобы мы снова можем
подбирать разумные классы пробных функций и
на этих классах искать экстремаль действия.
Получившиеся такие приближенные траектории —
они могут ни в одной точке там не совпадать с истиной, но быть каким-то
приближением: либо количественным, либо по крайней мере качественным.
А для многих задача это уже как бы достаточна,
качественный анализ ситуации — это может оказаться достаточным.
Вот ниже будет пример,
как эта программа реализуется для гармонического осциллятора.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
