Принцип наименьшего действия

Loading...

Из курса от партнера National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

7 оценки

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

7 оценки

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

Из урока

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений вариационным методом

Во многих случаях, задача о решении дифференциального уравнения - даже довольно сложного - может быть эквивалентно представлена в виде вариационной задачи о нахождении экстремума некоторого функционала. Такое представление часто оказывается очень плодотворным, ведь находить минимум или максимум функционала можно приближенно - на классе правильным образом выбранных пробных функций. Полученное решение, не являясь параметрически точным, дает качественное представление о характере решения исходного дифференциального уравнения. В этом модуле, Вы научитесь реализовывать описанную схему на практике. В качестве примеров, мы рассмотрим принцип наименьшего действия в классической механике, а также поговорим о вариационных решениях электростатических задач. Завершится модуль тестом, в котором Вам будут предложены четыре упражнения на вариационные методы, мотивированные различными физическими задачами.

Вариации функционалов13:44

Принцип наименьшего действия11:56

Пробные функции12:15

Вариационная формулировка электростатики15:43

Использование вариационной формулировки для замены переменных в дифференциальных операторах. Лапласиан в сферических координатах16:58

Пробные функции в электростатике12:59

Познакомьтесь с преподавателями

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] Я поясню,

что я имею в виду вот на самом простейшем примере функционала,

который мы только что решали.

Я его сейчас перепишу.

Давайте вот уже не буду писать,

что он Φ3 — просто Φ[f],

интеграл от 0 до 1, здесь квадрат производной.

И ограничено условием: f(0) = 0,

f(1) = 1.

Представим себе, что мы вообще не умеем решать дифференциальных уравнений,

а нам нужно найти минимум этого функционала.

Тогда мы будем подбирать пробные функции — какой-то класс пробных функций,

и на этом классе пробных функций будем искать минимум.

Нужно, конечно, чтобы выполнялись граничные условия.

И, например, вот самый простой класс функций — это степенные функции,

f(x) = x в степени α.

α > 0, поэтому граничное условие в 0 удовлетворено,

в 1 удовлетворено, α — мы не знаем.

Давайте ее найдем из условия того, что это φ на этом классе достигает минимума.

Если он вообще на функциях достигает минимум,

то минимум на подклассе будет каким-то приближением.

И истинный минимум будет, скажем, заведомо ниже,

заведомо не выше — точнее, лучше так сказать, чем тот,

который мы найдем, вот так вот угадывая, используя подкласс.

Значит, берем f' = αx в степени α − 1.

Подставляем наш интеграл и вычисляем

Φ = α² / 2α − 1.

Вот такая вот — это уже вместо функционала получили функцию переменной α.

Поиск минимума на этом подклассе

сводится в данном случае к поиску минимума этой фукнции

как функции параметра α, то есть дифференцируем по α.

Так вот я обозначаю производную по α.

Это у нас будет 2α / 2α − 1 −

α² / (2 α − 1)².

И, приравнивая эту производную к 0,

мы найдем совершенно просто, что α = 1.

В нашем случае, конечно,

мы ответ как бы знали — что ответ был степенной,

и значит на классе, на подклассе степенной функции мы

таким образом должны были найти точный ответ.

Мы его и нашли, точный ответ.

Это простейшая демонстрация того, как работает вообще вариационный подход.

Теперь давайте уже рассмотрим более

серьезную задачу, и более важную

— рассмотрим траектории в пространстве,

в одномерном, двумерном или трехмерном — это пока не важно.

Значит, итак, у нас есть траектория — это

функция времени, вектор функции времени.

Две точки траектории зажаты: x

в момент времени 1 = x1, x в момент времени

2 (t2) = x2.

И на этом классе траекторий, пока абы каких, лишь бы там производные

существовали, мы ищем экстремум — я не говорю минимум,

— экстремум вот такого функционала: S[x]

= ∫ от t1 до t2 dτ,

здесь 1 / 2x с точкой в квадрате — точка означает производную по времени t.

− некое U(x).

Экстремальная траектория,

экстремальная траектория

— дайте я так просто отделю — это какая траектория?

Эта вариация нашего функционала S вблизи этой траектории = 0, в первом порядке = 0.

То есть мы говорим, что наш x(t),

удовлетворяющий этим граничным условиям — это

наша экстремальная траектория, — + некое δx.

Как раньше, граничные условия на x(t) наследуются,

естественным образом наследуются этой самой экстремальной траектории.

Значит, δx не должна их нарушать, и вот δx, таким образом,

в момент времени 1 и в момент времени 2 должна быть зажата, = 0.

А во всем остальном эта δx-вариация — малая, но произвольная.

Вот как функция — амплитуда ее мала, а форма уже произвольная.

Тогда вариация действия, что такое вариация действия?

Значит, мы пишем S, S — это функционал действия,

сразу скажу, если кто не знает,

— S[x* + δ x] = S

[x*] + δS.

Это в общем случае, такая для произвольной как бы x*.

Так вот, x* — экстремальная, если δS = 0.

Что это за условие?

Сначала просто напишем, что такое δS.

δS как мы получаем?

Мы подставляем x = x*

+ δx,

уделяем первый порядок — давайте явно это сделаем.

чтобы не было: t1, t1, dτ,

здесь у нас будет x* с точкой

δ x с точкой − δx градиент на O.

Производную с δx перебрасываем на x*,

а ту, что у нас граничные значения вариации = 0,

означает, что у нее интегральные члены не возникают при этом.

И мы получаем для δS выражение вот такое вот: от t1,

t2 ∫dτ, здесь стоит δx(τ),

а здесь в скобке — x* с двумя точками

+ градиент

U вычисляемый.

U — это функция от x, просто функция от x,

и вычисляемая здесь на той же самой траектории x со звездой.

Итак, эта штука должна быть равна 0, δx — произвольная,

значит = 0, Вот это вот скобочка.

Что мы получили?

Мы получили равенство 0 этой скобки, это вторая производная x = − градиенту U.

Если U — потенциал, то это просто уравнение Ньютона.

Для единичной массы — массу всегда можно ввести,

вот сюда поставим букву m и получим буквально уравнение Ньютона.

Итак, условие экстремальности вот этого вот функционала эквивалентно

[ШУМ] уравнению классической механики.

Этот функционал называется действием,

условие экстремальности его называется принципом наименьшего действия.

И мы видим, что принцип наименьшего действия приводит к уравнению

движения для частиц и которое просто уравнение Ньютона

для частицы в потенциале U(x).

Здесь мы получили, просто этот функционал написали как бы из головы.

И увидели, что он эквивалентен как бы нашему известному уравнению Ньютона.

На самом деле, это еще вопрос, что первично, а что вторично.

Поскольку из классической механики, как вы знаете,

является предельным случаем для

относительно больших расстояний — пока так скажем,

— предельным случаем квантовой теории.

В квантовой теории нет уравнения Ньютона.

Уравнение Ньютона возникает в результате вот этого классического перехода.

Так вот, оказывается, что, на самом деле,

в результате классического перехода естественным образом возникает именно

принцип наименьшего действия, из которых следуют эти уравнения Ньютона.

В каком-то смысле он более фундаментален, нежели они самые.

Но давайте пока не будем говорить, что там раньше курица али яйцо,

и просто ограничимся констатацией факта: что условие экстремальности функционала

действия эквивалентно классическим уравнениям движения.

Это можно использовать для ситуаций,

когда мы не можем точно решить уравнение движения, а большей частью мы их,

в общем-то, решить аналитически не можем.

Не всегда это можно даже и численно, по крайней мере легко.

Но можно использовать так, чтобы мы снова можем

подбирать разумные классы пробных функций и

на этих классах искать экстремаль действия.

Получившиеся такие приближенные траектории —

они могут ни в одной точке там не совпадать с истиной, но быть каким-то

приближением: либо количественным, либо по крайней мере качественным.

А для многих задача это уже как бы достаточна,

качественный анализ ситуации — это может оказаться достаточным.

Вот ниже будет пример,

как эта программа реализуется для гармонического осциллятора.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

Ознакомьтесь с нашим каталогом

Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.

Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.

© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.

Загрузить из App Store

Загрузить в Google Play