[МУЗЫКА] Я поясню, что я имею в виду вот на самом простейшем примере функционала, который мы только что решали. Я его сейчас перепишу. Давайте вот уже не буду писать, что он Φ3 — просто Φ[f], интеграл от 0 до 1, здесь квадрат производной. И ограничено условием: f(0) = 0, f(1) = 1. Представим себе, что мы вообще не умеем решать дифференциальных уравнений, а нам нужно найти минимум этого функционала. Тогда мы будем подбирать пробные функции — какой-то класс пробных функций, и на этом классе пробных функций будем искать минимум. Нужно, конечно, чтобы выполнялись граничные условия. И, например, вот самый простой класс функций — это степенные функции, f(x) = x в степени α. α > 0, поэтому граничное условие в 0 удовлетворено, в 1 удовлетворено, α — мы не знаем. Давайте ее найдем из условия того, что это φ на этом классе достигает минимума. Если он вообще на функциях достигает минимум, то минимум на подклассе будет каким-то приближением. И истинный минимум будет, скажем, заведомо ниже, заведомо не выше — точнее, лучше так сказать, чем тот, который мы найдем, вот так вот угадывая, используя подкласс. Значит, берем f' = αx в степени α − 1. Подставляем наш интеграл и вычисляем Φ = α² / 2α − 1. Вот такая вот — это уже вместо функционала получили функцию переменной α. Поиск минимума на этом подклассе сводится в данном случае к поиску минимума этой фукнции как функции параметра α, то есть дифференцируем по α. Так вот я обозначаю производную по α. Это у нас будет 2α / 2α − 1 − α² / (2 α − 1)². И, приравнивая эту производную к 0, мы найдем совершенно просто, что α = 1. В нашем случае, конечно, мы ответ как бы знали — что ответ был степенной, и значит на классе, на подклассе степенной функции мы таким образом должны были найти точный ответ. Мы его и нашли, точный ответ. Это простейшая демонстрация того, как работает вообще вариационный подход. Теперь давайте уже рассмотрим более серьезную задачу, и более важную — рассмотрим траектории в пространстве, в одномерном, двумерном или трехмерном — это пока не важно. Значит, итак, у нас есть траектория — это функция времени, вектор функции времени. Две точки траектории зажаты: x в момент времени 1 = x1, x в момент времени 2 (t2) = x2. И на этом классе траекторий, пока абы каких, лишь бы там производные существовали, мы ищем экстремум — я не говорю минимум, — экстремум вот такого функционала: S[x] = ∫ от t1 до t2 dτ, здесь 1 / 2x с точкой в квадрате — точка означает производную по времени t. − некое U(x). Экстремальная траектория, экстремальная траектория — дайте я так просто отделю — это какая траектория? Эта вариация нашего функционала S вблизи этой траектории = 0, в первом порядке = 0. То есть мы говорим, что наш x(t), удовлетворяющий этим граничным условиям — это наша экстремальная траектория, — + некое δx. Как раньше, граничные условия на x(t) наследуются, естественным образом наследуются этой самой экстремальной траектории. Значит, δx не должна их нарушать, и вот δx, таким образом, в момент времени 1 и в момент времени 2 должна быть зажата, = 0. А во всем остальном эта δx-вариация — малая, но произвольная. Вот как функция — амплитуда ее мала, а форма уже произвольная. Тогда вариация действия, что такое вариация действия? Значит, мы пишем S, S — это функционал действия, сразу скажу, если кто не знает, — S[x* + δ x] = S [x*] + δS. Это в общем случае, такая для произвольной как бы x*. Так вот, x* — экстремальная, если δS = 0. Что это за условие? Сначала просто напишем, что такое δS. δS как мы получаем? Мы подставляем x = x* + δx, уделяем первый порядок — давайте явно это сделаем. чтобы не было: t1, t1, dτ, здесь у нас будет x* с точкой δ x с точкой − δx градиент на O. Производную с δx перебрасываем на x*, а ту, что у нас граничные значения вариации = 0, означает, что у нее интегральные члены не возникают при этом. И мы получаем для δS выражение вот такое вот: от t1, t2 ∫dτ, здесь стоит δx(τ), а здесь в скобке — x* с двумя точками + градиент U вычисляемый. U — это функция от x, просто функция от x, и вычисляемая здесь на той же самой траектории x со звездой. Итак, эта штука должна быть равна 0, δx — произвольная, значит = 0, Вот это вот скобочка. Что мы получили? Мы получили равенство 0 этой скобки, это вторая производная x = − градиенту U. Если U — потенциал, то это просто уравнение Ньютона. Для единичной массы — массу всегда можно ввести, вот сюда поставим букву m и получим буквально уравнение Ньютона. Итак, условие экстремальности вот этого вот функционала эквивалентно [ШУМ] уравнению классической механики. Этот функционал называется действием, условие экстремальности его называется принципом наименьшего действия. И мы видим, что принцип наименьшего действия приводит к уравнению движения для частиц и которое просто уравнение Ньютона для частицы в потенциале U(x). Здесь мы получили, просто этот функционал написали как бы из головы. И увидели, что он эквивалентен как бы нашему известному уравнению Ньютона. На самом деле, это еще вопрос, что первично, а что вторично. Поскольку из классической механики, как вы знаете, является предельным случаем для относительно больших расстояний — пока так скажем, — предельным случаем квантовой теории. В квантовой теории нет уравнения Ньютона. Уравнение Ньютона возникает в результате вот этого классического перехода. Так вот, оказывается, что, на самом деле, в результате классического перехода естественным образом возникает именно принцип наименьшего действия, из которых следуют эти уравнения Ньютона. В каком-то смысле он более фундаментален, нежели они самые. Но давайте пока не будем говорить, что там раньше курица али яйцо, и просто ограничимся констатацией факта: что условие экстремальности функционала действия эквивалентно классическим уравнениям движения. Это можно использовать для ситуаций, когда мы не можем точно решить уравнение движения, а большей частью мы их, в общем-то, решить аналитически не можем. Не всегда это можно даже и численно, по крайней мере легко. Но можно использовать так, чтобы мы снова можем подбирать разумные классы пробных функций и на этих классах искать экстремаль действия. Получившиеся такие приближенные траектории — они могут ни в одной точке там не совпадать с истиной, но быть каким-то приближением: либо количественным, либо по крайней мере качественным. А для многих задача это уже как бы достаточна, качественный анализ ситуации — это может оказаться достаточным. Вот ниже будет пример, как эта программа реализуется для гармонического осциллятора. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]
