[МУЗЫКА] Добрый день, уважаемые слушатели! Сегодняшняя лекции посвящена теории возмущений в линейной алгебре. [СКРИП] [СКРИП] [СКРИП] Линейная алгебра здесь означает, что речь идёт о решение задачи на собственные значения и собственные векторы некоторой квадратной матрицы. Пусть у нас есть матрица A. Матрицу я буду обозначать буквой со шляпкой. Матрица умеет действовать на векторы. Вот, скажем, вектор v, то есть это такой вектор-столбец. И, вообще говоря, получается какой-то другой вектор, но для некоторых специальных векторов — я их обозначу буквой i — это действие сводится к домножению вектора на число. λi на тот же самый вектор vi, вот тогда мы говорим, что λi — это собственное значение матрицы или — что то же самое — собственное число, а vi — это собственный вектор. Мы будем говорить про матрицы A, которые, вообще говоря, содержат комплексные коэффициенты, то есть их элементы могут быть комплексными и, соответственно, могут быть комплексными вектора, на которые эти матрицы действуют, а также собственные значения могут быть комплексными. И нам нужно определить, для какого класса матриц будет справедлива та теория возмущений, которую мы разовьём чуть позже. И чуть позже я скажу, что такое теория возмущений, потому что это не совершенно универсально применимый метод, надо всё-таки некоторый класс матриц задавать. Речь пойдёт в нашем случае о матрице, которая называется нормальной матрицей. И вот первый раздел, вводный, он посвящён определению того класса матриц, о которых мы будем говорить. [СКРИП] Но прежде чем я скажу, что такое нормальные матрицы, которые нас интересуют, мне нужно дать несколько вспомогательных определений. Первое вспомогательное определение — это определение операции, которая называется коммутатор. Вот если у нас есть две матрицы, то мы можем определить такой объект, который называется коммутатор. Обозначается он так: в квадратных скобках две матрицы пишутся через запятую. И по определению это произведение матриц в прямом порядке, A на B, минус их произведение в обратном порядке. Как вы знаете, матричные произведение не перестановочны, переставлять сомножители, вообще говоря, нельзя, поэтому результат вычисления этого коммутатора — это не ноль. То есть это некоторая матрица, для квадратных матриц — это тоже квадратная матрица того же самого размера, но не нулевая. Если оказывается, что коммутатор равен нулю, то тогда говорят, что матрица коммутирует. Это удобно. Это значит, что если у нас встретится произведение, где они стоят рядом, то их можно переставлять между собой. Второе определение, которое нам понадобится, — это определение операции, которая называется эрмитово сопряжение. [БЕЗ_ЗВУКА] Эрмитово сопряжение обозначается так. Если у нас есть матрица A, то мы можем к ней применить операцию, которую обозначают крестиком или плюсиком. И по определению это следующее. Это значит, что нам надо матрицу транспонировать и комплексно сопрячь. В каком порядке две эти операции производить — это не важно, поэтому давайте я в скобках напишу, что это то же самое, что, если бы мы сначала комплексно сопрягли, а затем транспонировали. Вот эта операция, которая называется эрмитово сопряжение. Поскольку у нас матрица, вообще говоря, комплесными элементами, то комплексное сопряжение здесь — это операция нетривиальная. И третье определение, которое мне понадобится. Это определение скалярного произведения векторов. [БЕЗ_ЗВУКА] [СКРИП] Если у нас есть два вектора v1 и v2, то их скалярное произведение определяется следующим образом. Используя определение эрмитова сопряжения, я могу написать так. Мне надо первый вектор эрмитово сопрячь и умножить на второй вектор. Давайте, чтобы было более наглядно, осознаем структуру этого выражения. Значит, v2 — это у нас некоторый вектор-столбец, а v1, во-первых, содержит в себе транспонирование, поэтому это уже будет строка, и во-вторых, комплексное сопряжение, то есть мы из вектора v1 делаем строку, комплексно сопрягаем и умножаем матрично на v2, ну и поскольку размеры одинаковы, то мы получаем просто число. То есть скалярное произведение — это, конечно, число, по таким правилам составленное. Если у нас элементы векторов v чисто вещественные, то тогда звёздочка не важна, важно здесь только транспонирование. И мы получаем обычное определение скалярного произведения как в обычной евклидовой геометрии. А если же элементы комплексные, то вот такое определение более общее. Можно его написать поэлементно, что это такое будет. Давайте посмотрим, держа в голове такую структуру со строкой и столбцом, у нас у каждого вектора есть некоторое количество элементов. И вот, если мы берём первый элемент вектора v1, мы его комплексно сопрягаем, домножаем на первый элемент вектора v2. Дальше мы берём второй элемент вектора v1, комплексно сопрягаем и на второй элемент вектора v2, и так далее. Со всеми элементами так делаем. И вот, если у нас все элементы вещественные, то звёздочка не важна, это просто сумма квадратов элементов как в обычной евклидовой геометрии. Если же у нас элементы комплексные и мы посмотрим, скажем, квадрат вектора, то есть скалярное произведение вектора самого на себя, то такая сумма даст нам просто сумму квадратов модулей его элементов. Поэтому вот такое определение, оно довольно естественное, именно с ним мы будем работать. Итак, мы готовы к основному определению нашей вводной части. Давайте определим, что же такое нормальная матрица. [БЕЗ_ЗВУКА] Определение формулируется очень просто. Нормальной матрицей называется такая матрица, которая коммутирует со своей эрмитово сопряжённой, то есть мы берём матрицу A, делаем матрицу A крест, и если этот коммутатор равен нулю, то вот такая матрица является нормальной. Определение звучит довольно просто и довольно формально, и чтобы получше познакомиться с такими матрицами, давайте мы рассмотрим примеры нормальных матриц, то есть некоторые особые классы, которые являются нормальными. [СКРИП] Первый пример — это эрмитовы матрицы. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] То есть такие матрицы, для которых A крест просто совпадает с A. Вот. Очевидно, что тогда коммутатор равен нулю, такие матрицы называются эрмитовыми, и они особенно важны в физике, потому что в квантовой механике именно такими матрицами описываются операторы, соответствующие физически измеримым величинам. Я, кстати говоря, всё время во время сегодняшней лекции буду иметь ввиду приложение нашей темы к квантовой механике, и даже когда дойдёт речь до разбора непосредственно теории возмущений, буду использовать такие же обозначения, как в квантовой механике. И это я буду делать специально, чтобы потом, когда — если вы студент младшего курса — потом, когда вы дойдёте до изучения квантовой механики, чтобы вы узнали, что это ровно те же самые методы там и применяются. Второй важный класс матриц — это матрицы антиэрмитовы. [ЗВУК] [ЗВУК] Это такие матрицы, для которых A+ выдает −A. Ну и, наконец, третий класс — это матрицы унитарные. [ЗВУК] [ЗВУК] Это означает, что A+ совпадает с матрицей, обратной к A, то есть A+ = A ^ (−1). Ну или полезно еще это переписать в другом виде. Мы можем все собрать в одну сторону, и это будет означать, что (A+) * A — это то же самое, что A * (A+), и это равно единице, единичной матрице. Унитарные матрицы также очень важны в физике, в квантовой механике, в частности, и их можно себе представлять как матрицы поворота. Вот в каком смысле. Давайте я напишу, что про них можно думать, как про матрицы поворота. В том смысле, что они сохраняют неизменным скалярное произведение векторов. То есть если мы взяли два вектора... Точнее, давайте так я скажу: если мы взяли какой-то вектор и подействовали на него матрицей A, мы получили какой-то другой вектор. Давайте представим себе, что мы так проделали для всех векторов и посмотрели, как меняется скалярное произведение. Вот раньше у нас было скалярное произведение (v1+) * v2, а теперь оно перешло в скалярное произведение, которое давайте мы запишем подробно. Вместе v1 у нас получилось A * v1, и теперь сюда надо применить эрмитово сопряжение, а вместо v2 у нас получилось A * v2. Вот. Теперь давайте сообразим, как действует эрмитово произведение на произведение матриц, ну или матрицы и вектора. Вектор можно рассматривать как частный случай матрицы, в этом смысле тут ничего особенного нет. Там есть транспонирование, а мы знаем, как действует транспонирование: надо транспонировать все сомножители и поменять их местами, и комплексное сопряжение. Ну а комплексное сопряжение просто действует на все сомножители. Поэтому в этом смысле эрмитово сопряжение действует так же, как транспонирование. Нам надо применить его ко всем элементам и переставить местами. Поэтому у нас получится (v1+) * (A+), а во второй части я просто уберу скобки, A * v2. Ну и теперь мы вспоминаем, что поскольку A — это унитарная матрица, у нас есть у нее такое свойство, то это означает, что в серединке стоит единичная матрица, поэтому результат можно записать просто как (v1+) * v2. То есть действительно, если мы все матрицы повернули унитарной матрицей, то у нас скалярное произведение не изменилось. Вот в этом их важность. [ЗВУК] [ЗВУК]