Рассмотрим ещё один пример с гамма-функцией, похожий на предыдущий. Это будет пример два. Рассмотрим следующий интеграл от нуля до бесконечности dt e в степени минус λ t в квадрате t в степени два p. Это будет функция, которую мы обозначим I от p. Конечно же, она тоже зависит от λ, и вычислять мы её будем следующий образом. Давайте опять продифференцируем обе части по λ. dI по dλ равняется минус интеграл от нуля до бесконечности dt e в степени минус λ t в квадрате t два p плюс два или, что то же самое, минус I от p плюс один. В то же самое время мы можем легко установить зависимость интеграла I от p от λ, для этого сделаем замену переменных. Напишем, что t равняется u поделить на корень из λ. Тогда I от p будет равен λ в степени минус p минус одна вторая интеграл от нуля до бесконечности по du e в степени минус u квадрат u в степени два p. То есть мы получаем, что I от p и λ, и это то же самое, что λ в степени минус p минус одна вторая, на I от p и λ, равная единице. Собственно интеграл с λ, равной единице, нас и будет интересовать. Тогда подставляем вот это выражение в уравнение, полученное выше, и получаем, что минус p плюс одна вторая на I от p равняется минус I от p плюс один. Здесь я уже положил λ, равная единице. Решение соответствующего рекуррентного уравнения достаточно простое. Значит, у нас имеется уравнение I от p плюс один равняется p плюс одна вторая I от p, давайте дальше можем продолжать, будет p плюс одна вторая умножить на p минус одна вторая I от p минус один, и так далее. И это можно записать как I от нуля на произведение по k от нуля до p минус один k плюс одна вторая и ещё на p плюс одна вторая. Соответственно получаем, что I от p принимает следующий вид: I от нуля Γ от p плюс одна вторая. Γ — функция, которую мы только что с вами рассматривали в предыдущем примере. Поделить на Γ от одной второй. Теперь давайте посмотрим, что такое I от нуля при λ, равном единице. I от нуля при λ, равном единице, это такой интеграл от нуля до бесконечности dt e в степени минус t в квадрате, делаем замену переменных t, равное u, t, давайте сделаем замену переменных, t равно корень из u. И тогда получаем, что I от нуля равняется одной второй интеграла от нуля до бесконечности du u в степени минус одна вторая e в степени минус u. А это то же самое, что одна вторая Γ от одной второй. Таким образом получаем, что наш интеграл, который нас интересовал, I от p равен одной второй Γ от p плюс одна вторая. Это наш окончательный ответ. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]