Интегральное представление гамма-функции - 2

Loading...

Из курса от партнера National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

9 оценки

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

9 оценки

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

Из урока

Дифференцирование интеграла по параметру

В этом модуле рассматривается метод точного и приближенного вычисления определенных интегралов, который полагается на дифференцирование по параметру, входящему в подынтегральное выражение. Довольно часто такое дифференцирование позволяет свести вычисление сложного или громоздкого интеграла к использованию уже известных ответов, полученных для более простых интегралов. Отдельное внимание в модуле уделяется вопросу о регуляризации расходящихся интегралов, то есть выделении из них конечной части, содержащей в себе всю зависимость интеграла от параметра. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

Интегральное представление гамма-функции - 19:35

Интегральное представление гамма-функции - 25:41

Интегральный логарифм5:24

Интеграл от осциллирующей функции - 14:58

Интеграл от осциллирующей функции - 23:05

Интеграл от осциллирующей функции - 37:33

Интеграл от функций Бесселя - 110:52

Интеграл от функций Бесселя - 22:00

Познакомьтесь с преподавателями

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

Рассмотрим ещё один

пример с гамма-функцией, похожий на предыдущий.

Это будет пример два.

Рассмотрим следующий интеграл от нуля до бесконечности

dt e в степени минус λ t в квадрате t в степени два p.

Это будет функция, которую мы обозначим I от p.

Конечно же, она тоже зависит от λ,

и вычислять мы её будем следующий образом.

Давайте опять продифференцируем обе части по λ.

dI по dλ равняется

минус интеграл от нуля до бесконечности dt e в степени

минус λ t в квадрате t два p плюс два или,

что то же самое, минус I

от p плюс один.

В то же самое время мы можем легко установить зависимость интеграла

I от p от λ, для этого сделаем замену переменных.

Напишем, что t равняется u поделить на корень из λ.

Тогда I от

p будет равен λ в

степени минус p минус одна вторая интеграл от

нуля до бесконечности по du e в степени минус

u квадрат u в степени два p.

То есть мы получаем, что I от p и λ,

и это то же самое, что λ в степени минус p минус одна вторая,

на I от p и λ, равная единице.

Собственно интеграл с λ, равной единице, нас и будет интересовать.

Тогда подставляем вот это выражение в уравнение,

полученное выше, и получаем,

что минус p плюс одна вторая

на I от p равняется

минус I от p плюс один.

Здесь я уже положил λ, равная единице.

Решение соответствующего рекуррентного уравнения достаточно простое.

Значит, у нас имеется уравнение I от p плюс один равняется p плюс

одна вторая I от p, давайте дальше можем продолжать,

будет p плюс одна вторая умножить

на p минус одна вторая I

от p минус один, и так далее.

И это можно записать как I от

нуля на произведение

по k от нуля до p минус один k плюс

одна вторая и ещё

на p плюс одна вторая.

Соответственно получаем,

что I от p принимает следующий вид:

I от нуля Γ от p плюс одна вторая.

Γ — функция, которую мы только что с вами рассматривали в предыдущем примере.

Поделить на Γ от одной второй.

Теперь давайте посмотрим, что такое I от нуля при λ,

равном единице.

I от нуля при λ, равном единице, это такой

интеграл от нуля до бесконечности dt e в степени минус t в квадрате,

делаем замену переменных t, равное u,

t, давайте сделаем замену переменных, t равно корень из u.

И тогда получаем, что I от нуля равняется

одной второй интеграла от нуля до бесконечности

du u в степени минус одна вторая e в степени минус u.

А это то же самое, что одна вторая Γ от одной второй.

Таким образом получаем, что наш интеграл, который нас интересовал,

I от p равен одной второй Γ от p плюс одна вторая.

Это наш окончательный ответ.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

Ознакомьтесь с нашим каталогом

Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.

Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.

© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.

Загрузить из App Store

Загрузить в Google Play