Интегральная экспонента

Loading...

Из курса от партнера National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

7 оценки

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

7 оценки

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

Из урока

Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций

В этом модуле Вы познакомитесь с методами приближенного и точного вычисления интегралов от быстро меняющихся функций. Такие функции могут иметь четко выраженные пики или же сильно колебаться от отрицательных значений к положительным. Вы научитесь аккуратно учитывать эти особенности при анализе интегралов. Кроме того, Вы научитесь работать с дельта-функцией Дирака, которая повсеместно возникает в приложениях. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

Интегральная экспонента6:27

Дельта-функция Дирака - 15:23

Дельта-функция Дирака - 26:24

Дельта-функция Дирака - 35:30

Познакомьтесь с преподавателями

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] В этот раз мы с вами поговорим о том,

как брать интегралы от быстро осциллирующих и быстро меняющихся функций.

Во многих случаях оказывается, что в зависимости от ситуации

можно достаточно простыми элементарными способами узнать,

как эти интегралы ведут себя в зависимости от параметров,

от которых зависит подынтегральное выражение.

Начнём мы со следующего примера.

Пример один.

[БЕЗ_ЗВУКА] Рассмотрим следующий интеграл.

Интеграл от a до бесконечности dx e в

степени минус x на f от x.

Обозначим эту неизвестную нам функцию I от а.

При этом будем считать, что функция f достаточно медленно меняется.

Так что её производные малы по сравнению со значением самой функции.

Тогда в этой ситуации можно применить следующий приём.

Давайте преобразуем это выражение по частям.

Напишем следующую цепочку равенств.

Интеграл от a до бесконечности d e в степени минус x f от x,

это же равняется e

в степени минус a f, да, вот здесь я забыл минус,

f от a плюс интеграл

от a до бесконечности

dx e в степени минус x f' от x.

Ну а теперь может дальше применить опять к этому интегралу

второй раз взятие по частям, при этом всё, чем этот интеграл

отличается от того, с которого мы начали, это заменой f на f'.

Поэтому ясно, что у нас получится следующее выражение в итоге.

e в степени минус a f от a плюс

f' от a плюс

f'' от a, и так далее.

Таким образом, получается

следующий ответ для нашего интеграла

в виде разложения по производным от функции f.

При этом, чтобы это выражение было справедливым, естественно,

следующие члены ряда должны быть малы, что означает, например, такое условие,

что производная в точке a функции f по модулю должна быть много меньше,

чем значение самой функции по модулю в этой же точке a.

Частный случай этого примера мы сейчас рассмотрим, это будет пример два.

И мы сейчас обсудим,

как говорят, асимптотику интегральной экспоненты.

Интегральная экспонента.

Она задаётся следующим интегралом.

Интеграл от единицы до бесконечности dx на x

в степени m e в степени минус Zx.

Эта функция обозначается E с индексом m от Z и называется

интегральной экспонентой, при этом m может быть

положительным действительным числом: один, два, и так далее.

И мы сейчас применим к этой функции формулу,

которая вот здесь обведена в рамочку.

Для этого сначала мы преобразуем наше выражение,

заменим x на y, делённое на Z.

Тогда функция От Z станет

равной интегралу

от Z до бесконечности dy на y

в степени m e в степени минус y.

И, соответственно, здесь будет стоять Z

в степени m минус один.

А после этого мы скажем, что у нас есть функция f от y,

которая равняется y в степени минус m, и применим вот это выражение.

Тогда получим, что

T от Z имеет вид Z в степени

m минус один e в степени минус Z.

Значение функции в точке Z — это один на Z в степени m.

Производная минус

m Z в степени m плюс один, и так далее.

Ну и приводя подобное, получаем следующее выражение.

Один на Z e в степени минус

Z один минус m делить на Z, и так далее.

Ну и видно, что, действительно,

это выражение справедливо,

когда Z оказывается много больше, чем m.

Ну и так, как обычно индекс m бывает один, два и не очень большим,

то это условие в этом случае становится эквивалентным просто условию,

что Z много больше единицы.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

Ознакомьтесь с нашим каталогом

Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.

Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.

© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.

Загрузить из App Store

Загрузить в Google Play