[МУЗЫКА] В этот раз мы с вами поговорим о том,
как брать интегралы от быстро осциллирующих и быстро меняющихся функций.
Во многих случаях оказывается, что в зависимости от ситуации
можно достаточно простыми элементарными способами узнать,
как эти интегралы ведут себя в зависимости от параметров,
от которых зависит подынтегральное выражение.
Начнём мы со следующего примера.
Пример один.
[БЕЗ_ЗВУКА] Рассмотрим следующий интеграл.
Интеграл от a до бесконечности dx e в
степени минус x на f от x.
Обозначим эту неизвестную нам функцию I от а.
При этом будем считать, что функция f достаточно медленно меняется.
Так что её производные малы по сравнению со значением самой функции.
Тогда в этой ситуации можно применить следующий приём.
Давайте преобразуем это выражение по частям.
Напишем следующую цепочку равенств.
Интеграл от a до бесконечности d e в степени минус x f от x,
это же равняется e
в степени минус a f, да, вот здесь я забыл минус,
f от a плюс интеграл
от a до бесконечности
dx e в степени минус x f' от x.
Ну а теперь может дальше применить опять к этому интегралу
второй раз взятие по частям, при этом всё, чем этот интеграл
отличается от того, с которого мы начали, это заменой f на f'.
Поэтому ясно, что у нас получится следующее выражение в итоге.
e в степени минус a f от a плюс
f' от a плюс
f'' от a, и так далее.
Таким образом, получается
следующий ответ для нашего интеграла
в виде разложения по производным от функции f.
При этом, чтобы это выражение было справедливым, естественно,
следующие члены ряда должны быть малы, что означает, например, такое условие,
что производная в точке a функции f по модулю должна быть много меньше,
чем значение самой функции по модулю в этой же точке a.
Частный случай этого примера мы сейчас рассмотрим, это будет пример два.
И мы сейчас обсудим,
как говорят, асимптотику интегральной экспоненты.
Интегральная экспонента.
Она задаётся следующим интегралом.
Интеграл от единицы до бесконечности dx на x
в степени m e в степени минус Zx.
Эта функция обозначается E с индексом m от Z и называется
интегральной экспонентой, при этом m может быть
положительным действительным числом: один, два, и так далее.
И мы сейчас применим к этой функции формулу,
которая вот здесь обведена в рамочку.
Для этого сначала мы преобразуем наше выражение,
заменим x на y, делённое на Z.
Тогда функция От Z станет
равной интегралу
от Z до бесконечности dy на y
в степени m e в степени минус y.
И, соответственно, здесь будет стоять Z
в степени m минус один.
А после этого мы скажем, что у нас есть функция f от y,
которая равняется y в степени минус m, и применим вот это выражение.
Тогда получим, что