Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.
Partie 3 Distributions tempérées
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Initiation à la théorie des distributions
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Cours 5
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Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Je vais présenter maintenant une nouvelle classe de distribution, après les
distributions générales dans un ouvert de R N, on a découvert la classe des
distributions à supports compacts et maintenant,
je vais parler d'une nouvelle classe de
distribution, qui est, en quelque sorte,
est intermédiaire entre les distributions à supports
compacts et les distributions générales, qui est
la classe des distributions tempérées sur R N.
Alors, en réalité, la raison d'introduire cette nouvelle
classe de distribution, c'est que on souhaite définir une
transformation de Fourier qui est bien connue sur les
fonctions, mais on souhaite l'étendre au cas des distributions.
Alors, pourquoi faire ça? Eh bien, c'est que l'une des applications
de la transformation de Fourier, c'est que
pour étudier les équations à dérivées partielles,
ou les équations différentielles, mais plus généralement
les équations à dérivées partielles, eh bien,
la transformation de Fourier va servir à
décomposer les fonctions, ou les distributions lorsqu'on
aura défini sur les distributions, en superposition
linéaire de fonctions propres oscillantes, et ces
fonctions propres oscillantes c'est tout simplement les fonctions qui à
x dans R N associent e puissance x xi scalaire x
où xi est un vecteur de R N quelconque et ces
fonctions propres oscillantes sont des
fonctions propres de l'opérateur de dérivation.
En effet si j'applique un monôme différentiel d rond alpha ou
d rond x alpha, on dérive par rapport à la variable
x, d rond x alpha quelconque appliqué à cette fonction oscillante exponentielle de
x xi scalaire x, eh bien on trouve x xi puissance alpha,
monôme fois e puissance x xi scalaire x.
Donc je répète pour xi fixé on voit que la fonction
oscillante e puisssance x xi scalaire x est une fonction propre du
monôme différentiel d rond alpha, d rond x alpha pour la
valeur propre associée x i puissance alpha avec la notation habituelle des
multiindices ce qui veut dire que c'est le produit de x i
k puissance alpha k pour k allant de 1 jusqu'à grand N.
Alors maintenant la difficulté pour étendre la
transformation de Fourier aux distributions est la même
que pour faire cette opération sur les fonctions,
à savoir la transformation Fourier est une opération
globale, donc pour le cas des fonctions, on
sait bien que on sait définir la transformation de
Fourier sur les fonctions à condition que on
s'intéresse à des fonctions qui décroissent suffisament ou comme
on verra, qui ne croissent pas trop vite
à l'infini lorsque norme de x tend vers l'infini.
Bien.
Et donc c'est cette idée-là qu'il va falloir mettre en place dans le
cas des distributions et évidemment c'est pas
quelque chose d'évident puisque comme on l'a
vu on ne sait pas parler de la distribution d'un point, donc les
valeurs d'une distribution lorsque norme de x tend vers l'infini ça n'a aucun sens.
Alors, en réalité on va gérer ça en définissant un sous-espace
de D prime de R N bien adapté sur lequel on définira la transformation de Fourier.
Mais ce sous-espace de D prime de R N, ce sous-espace de distribution
sur R N, il va être défini par un procédé de dualité et
pour définir ce procédé de dualité, eh bien on va commencer par définir
une classe de fonctions qui va
être intermédiaire entre les fonctions de classe
C infini à support compact et les fonctions de classe C infini sur R N.
Cette classe de fonctions qui va servir à définir les distributions tempérées, ce
fameux sous-espace de distribution sur lequel on
définira la transformation de Fourier, donc cette
classe de fonctions particulières porte le nom de classe de Schwartz puisque elle a
été introduite par Laurent Schwartz pour définir
la transformation de Fourier sur les distributions.
Alors définissons
la classe de Schwartz S de R N.
Eh bien c'est l'ensemble des fonctions qui sont à décroissance rapide
ainsi que toutes leurs dérivées. Alors pour une fonction définie sur R N,
être à décroissance rapide ça veut dire que cette fonction est un petit
tau de norme de x à la puissance moins m, lorsque norme
de x tend vers plus l'infini quelque soit l'entier naturel petit m.
Et donc pour une fonction, être à décroissance
rapide sur R N ainsi que toutes ses dérivées, ça veut dire que si je prends
une fonction phi qui est de classe C infini sur R N, je vais demander que
pour tout multiindice alpha et bêta à grand N composante,
eh bien le sup lorsque x décrit
R N de la valeur absolue du monôme x puissance
alpha multipliant le monôme différentiel dx puissance bêta de phi de x, ce
sup soit fini, et on obtient ainsi l'ensemble de toutes les
fonctions appartenant à la classe de Schwartz autrement dit cette définition
c'est celle de la classe de Schwartz comme sous-ensemble de C infini de
R N.
Alors commençons par regarder quelques exemples
de fonctions qui appartiennent à la
classe de Schwartz, évidemment les fonctions
de classe C infini à support compact
dans R N sont toutes dans la classe de Schwartz puisque
le sup pour x dans R N de x puissance alpha d rond bêta de
phi de x, en réalité ce sup est fini puisque x
peut être réduit au support de phi qui est un compact,
donc on est en train de considérer une fonction qui est
continue sur un compact et donc par conséquent elle est bornée.
Mais s'il n'y avait que les fonctions de classe C infini
à support compact, la classe de Schwartz n'aurait pas beaucoup d'intérêt.
Alors voici une autre famille
de fonctions particulièrement importante dans le cas de Schwartz,
ce sont des fonctions de la forme P de x
e puissance moins a norme de x au carré où
P est un polynôme et a un réel strictement positif.
Alors ici évidemment la décroissance du facteur
gaussien e puissance moins 1 norme de x
au carré écrase la croissance du polynôme
à l'infini et comme lorsqu'on dérive une gaussienne,
on a des facteurs multiplicatifs polinomiaux
qui resortent, eh bien évidemment la
décroissance rapide vaut encore pour toutes
les dérivées d'une telle fonction phi.
Alors évidemment cette fonction phi elle est définie pour x variant
dans R mais si on prend un polynôme à plusieurs variables, ce
que je viens de dire dans le cas où grand N
égal 1, donc en dimension 1 sur la droite réelle, vaut encore,
vaut encore dans R N.
Alors examinons les premières propriétés standards de la classe de Schwartz.
Alors proposition, la première chose évidente et qui est essentiellement
dans la définition, c'est que la classe de Schwartz est stable par dérivation.
Si je prends n'importe quelle fonction phi qui appartient à la
classe de Schwartz sur R N, et n'importe quel monôme différentiel
d rond alpha, eh bien d rond alpha phi appartient également
à la classe de Schwartz sur R N, mais ça c'est contenu
dans la définition puisque la définition de la classe de Schwartz, c'est
les fonctions qui sont à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées.
Donc évidemment une telle définition automatiquement implique
que cette classe est stable par dérivation.
Deuxième propriété de stabilité. Eh bien
la classe de Schwartz est stable par multiplication par des
fonctions qui sont à croissance
polynomiale, ainsi que toutes leurs dérivées.
Autrement dit soit phi fonction de la classe
de Schwartz sur R N, soit f fonction
de classe C infini sur R N, dire que f est à croisance polynomiale ainsi que toutes
ses dérivées ça revient à dire que pour
tout monôme différentiel d rond alpha, eh bien
d rond alpha f de x est un grand tau de norme de x à la puissance
n alpha où n alpha est un entier positif ou nul qui dépend du multiindice alpha.
On demande une telle croissance à l'infini pour tout alpha
multiindice et si cette propriété de la fonction petit f
est vraie, eh bien f phi appartient à la classe
de Schwartz pour toute fonction phi dans la classe de Schwartz.
À nouveau c'est une vérification qui est
presque immédiate, qui repose sur la décroissance
rapide de phi ainsi que toutes ses dérivées
et sur la formule de Leibnitz pour évaluer les dérivées successives du produit f phi.
Enfin autre propriété, petit c, qui est également une propriété presque évidente.
C'est que la classe de Schwartz est
contenue dans tous les espaces de Lebesgue.
Autrement dit S
de R N est inclus dans Lp de R N
pour tout p compris entre 1 et l'infini au sens large.
Ce qui montre ça, bien sûr c'est le critère
de Rieman qui garantit la convergence des intégrales sur
un espace euclidien de dimension n pour la mesure
de Lebesgue, c'est une inclusion qui est essentiellement triviale.
Alors un point
qui lui est nettement moins évident, point petit d, c'est le fait que la classe
de Schwartz est stable par convolution, par
les distributions à support compact sur R N.
Autrement dit, si je prends phi, fonction de la classe de Schwartz sur R N, et si je
prends S, une distribution à support compact sur R
N, le produit de convolution S étoile phi, eh bien,
évidemment, c'est une fonction de classe C infini sur R N, produit de
convolution, d'une distribution à support compact
par une fonction de classe C infini.
Mais, en fait, en utilisant la propriété de continuité
des distributions à support compact, on montre que S étoile phi est une
fonction de classe C infini, qui est à décroissance rapide à l'infini.
Et d'autre
part, je rappelle que n'importe quel monôme différentiel
agissant sur S étoile phi, se calcule en faisant
opérer le monôme différentiel, indifféremment sur S et sur
phi, ces propriétés de base du produit de convolution.
Donc ce que je viens de dire pour S étoile phi, vaut encore pour d
rond alpha S étoile phi, et comme ça, eh bien on montre que S étoile phi
est à décroissance rapide, ainsi que toutes ses dérivées.
Autrement dit, c'est une fonction de la classe de Schwartz sur R N.
Bien, alors maintenant on a défini la classe
de Schwartz comme ensemble, même comme espace vectoriel, espace
vectoriel pour l'addition, et la multiplication par les
scalaires, réels ou complexes, suivant qu'on considère des fonctions
à valeur dans R ou dans C.
Disons quelques mots, puisqu'on fait de l'analyse, de
la notion de convergence dans S de R N.
Alors, de même que l'espace des fonctions de classe
C infini à support compact, sur un ouvert de
R N, eh bien la classe de Schwartz S de R N n'est pas un espace vectoriel normé.
Alors, cependant, la topologie de la classe de Schwartz est un petit peu
plus simple que celle des fonctions de
classe C infini à support compact, parce que
sa topologie, elle est définie par une
famille dénombrable, autrement dit une suite de normes.
Et, pour définir une famille de normes sur S de R N, bon il y a plusieurs choix
équivalents possibles, en voici un: étant donné p entier naturel, entier positif
ou nul, eh bien je définirai la norme Np sur S de R N par
la formule Np de phi, sera la somme pour tous les
multiindices alpha et beta de longueur inférieure ou égale à p,
du sup en x, de monôme x puissance alpha,
monôme différentiel d rond beta, appliqué à phi de x, en valeur
absolue. Bien, alors, maintenant avec cette suite
de normes, eh bien on peut définir la notion
de convergence des suites dans la classe de Schwartz.
En effet, prenons une suite phi n, dans la classe de
Schwartz sur R N, et prenons une fonction phi, elle-même dans la classe
de Schwartz sur R N, eh bien je dirai que la suite
phi n converge vers phi en S de R N, si et
seulement si, pour tout p entier positif ou nul, la norme Np
de phi n moins phi tend vers zéro, lorsque n tend vers l'infini.
Alors, avec cette notion de convergence dans S de R N,
on montre très facilement que pour toute fonction phi dans la classe de
Schwartz sur R N, eh bien il existe une suite de fonctions phi
n de classe C infini à support compact, sur R N, qui
converge vers la fonction phi dont on est parti, dans la classe de Schwartz.
Autrement dit, l'espace des fonctions de classe C infini à support compact sur R
N, qui est inclus dans S de R N, est en fait dense dans
S de R N, pour la topologie qui est définie par cette suite de normes Np.
Bon, après S de R N, il n'est pas très difficile
de voir que S de R N est elle-même dense dans Lp
de R N, alors attention, dense dans Lp de R N
pour tout p supérieur ou égal à 1, mais inférieur strictement à l'infini.
Evidemment le cas p égal à l'infini
doit être exclu, parce que toutes les fonctions de S
de R N sont des fonctions qui sont de classe C infini, et donc
en particulier continues sur R N. Eh bien, si je prends une suite de
fonctions continues, qui converge dans L infini de R
N, cette suite converge uniformément, et par conséquent, la limite
est forcément une fonction continue, comme
limite uniforme d'une suite de fonctions continues.
Donc, la densité de S de R N dans Lp de R N,
ne vaut que pour p strictement plus petit que l'infini, que pour p fini.
Bien, alors maintenant, avec le matériel que nous venons de mettre en
place, nous pouvons définir la notion de distribution tempérée, et, la définition
de cette nouvelle classe de distribution, se
fait par dualité avec la classe de Schwartz.
Une distribution tempérée, est une forme
linéaire continue sur la classe de Schwartz.
Autrement dit, je dirai que une forme linéaire T sur la classe de Schwartz est
une distribution tempérée, s'il existe un entier
p, positif ou nul, et une constante Cp,
positive ou nulle, tels que la valeur absolue de T appliquée
à phi soit inférieure ou égale à Cp norme d'indice
p de phi, pour tout phi appartenant à la classe de Schwartz sur R N.
Alors, l'espace des distributions tempérées sur R N,
puisque c'est le dual topologique de S de R N,
sera noté S prime de R N.
Maintenant, c'est presque la terminologie qui nous dicte cette
constatation, toute distribution tempérée est une distribution.
S prime de R N est un sous-espace de l'ensemble D prime de R N.
Alors vérifions ça: en effet, pour vérifier
que toute distribution tempérée est une distribution,
il faut que je vérifie que si je restreins la
forme linéaire T, à C infini à support compact de
R N, qui est un sous-espace de S de R
N, la forme linéaire que j'obtiens est bien une distribution.
Vérifions donc la propriété de continuité des distributions sur R N; eh bien
si je prends phi, qui est de classe C infini à support compact K dans
R N, où K est un compact choisi à l'avance, eh bien Np de phi est évidemment
inférieur ou égal à CK, p, norme de phi d'indice pK, c'est à
dire sup pour longueur des multiindices alpha inférieure ou égale à p, sup pour
x appartenant au compact K de d rond alpha de phi de x en valeur absolue,
bon module si on est à valeur complexe. Et ici, la constante C indice Kp,
pourra être prise égale à p plus 1, à la puissance deux n, max pour x
appartenant au compact K de 1 plus norme de x à la puissance p.
Eh bien, avec cette majoration, on établit
très simplement que, puisque T appliqué à phi
en valeur absolue est inférieur ou égal à Cp, norme d'ordre p de
phi, eh bien pour phi dans C infini K de R N, T appliqué à phi en
valeur absolue sera inférieur ou égal à Cp, que multiplie CK, p, que multiplie la
norme de phi d'indice pK, comme on l'a
rencontrée et définie plus tôt dans ce cours.
On a bien,
donc, la propriété de continuité des distributions qui
est vérifiée par toute distribution tempérée sur R N.
Alors prenons le temps de
regarder quelques exemples de distributions tempérées.
Alors déjà, toutes les fonctions qui appartiennent aux espaces de
Lebesgue, toutes les distributions à
support compact sont des distributions tempérées.
Autrement dit, Lp de R N pour
tout p compris entre 1 et l'infini inclus, est inclus dans
S prime de R N, et E prime de R N est inclus dans S prime de
R N. Par exemple, les fonctions continues
périodiques sur R, sont des fonctions bornées sur R.
Elles appartiennent à L infini de R. Les fonctions continues périodiques
sur R définissent donc des distributions tempérées sur R.
Autrement dit, l'ensemble des fonctions continues de période 2 pi sur R, en
particulier si on pense à la période 2 pi, est inclus dans S prime de R.
Alors cette remarque, évidemment, n'apporte rien par
rapport au point petit a, mais elle est
importante parce que, une fois qu'on aura
défini la transformation de Fourier sur les distributions
tempérées, eh bien grâce à cette remarque on aura un cadre unique qui
contiendra à la fois la transformée de Fourier des fonctions, même
des distributions tempérées, et les séries de Fourier, puisque toute fonction
continue de période 2 pi sur R pourra être vue comme une distribution tempérée.
Donc,
la série de Fourier, la théorie des séries de Fourier
sur la droite réelle, pour les fonctions continues périodiques, de période
de pi, par exemple, sera un cas particulier de la théorie
de la transformation de Fourier pour les distributions tempérées sur R.
Mais évidemment, il existe des fonctions, il existe des distributions,
et même des fonctions qui ne sont pas des distributions tempérées.
Aucune des fonctions exponentielles, cosinus hyperboliques, sinus
hyperboliques, ne définit d'éléments de S prime
de R N, parce que la croissance à l'infini de ces fonctions est trop forte.
Alors, examinons quelques propriétés de base des distributions tempérées.
Alors, dans tout ce qui suit, je vais considérer T qui va être
une distribution tempérée quelconque sur R N, et f
qui est de classe C infini sur R N.
Alors, première propriété immédiate, c'est que l'espace des distributions
tempérées est stable par dérivation au sens des distributions.
Autrement dit, T appartenant à S prime de R N, implique que d
rond alpha T appartient à S prime de R N pour tout multiindice alpha.
Cette propriété est évidemment duale,
du fait que la classe de Schwartz est stable par dérivation.
Deuxième propriété, l'espace des distributions
tempérées est stable par multiplication
par les fonctions à croissance
polynomiale, ainsi que toutes leurs dérivées.
En effet, si je prends une classe de C infini sur R N, et que je suppose
que d rond alpha f de x est un grand Tau de norme de x à la puissance n alpha,
pour un certain entier N qui dépend du multiindice
alpha, quelque soit le multiindice alpha que je choisis.
Évidemment, grand Tau de norme de x à la puissance
n alpha, lorsque norme de x tend vers plus l'infini.
Eh bien, pour toute distribution tempérée T, dans S prime de R N, fT, le
produit de la fonction de classe C infini f, par la distribution T, fT est,
en réalité, une distribution tempérée. Petit c, l'espace des distributions
tempérées est stable par convolution par les distributions à support compact.
Autrement dit, si je prends une distribution S qui a support compact sur
RN, S appartenant à E prime de R N, T, une distribution tempérée sur R N.
Eh bien,
forcément, le produit de convolution S étoile T appartient à S prime de R N.
C'est une distribution, puisque le produit de convolution d'une distribution
par une distribution à support compact, mais comme en plus, cette
distribution T par laquelle on convole la distribution à support compact
S est tempérée, eh bien, le résultat est une distribution tempérée.
À nouveau, les propriétés b et c s'obtiennent par dualité de ce que l'on
a déjà vu sur la classe de Schwartz
qui est stable par multiplication par les fonctions à
croissance polynomiale, ainsi que toutes leurs dérivées, et
stable par convolution par les distributions à support compact.
Donc, par dualité, on a les propriétés b et c, sur les distributions tempérées.
Alors, on a introduit les distributions tempérées comme distributions
qui avaient une croissance à l'infini, entre
guillemets, suffisamment faible ou suffisamment lente, comme
on voudra, pour pouvoir, ultérieurement, définir la
transformation de Fourier sur les distributions tempérées.
Mais sur cette question de croissance à l'infini, qui est,
en réalité, une notion de croissance à l'infini sur les distributions.
Je vais vous donner un exemple
important, je crois, intriguant, en tout cas,
qui montre que cette notion de croissance à
l'infini, n'est pas simple, n'est pas une notion
aussi simple que dans le cas des fonctions.
Et l'exemple est le suivant.
Comme on vient de le voir, la fonction exponentielle ne définit pas une
distribution tempérée sur R, parce que sa
croissance, en plus l'infini est trop rapide.
Maintenant,
considérons la fonction qui à x associe cosinus
de e puissance x, fois e puissance x.
Évidemment, la croissance en plus l'infini de cette fonction, on a
envie de dire que c'est la même que celle de la fonction
exponentielle, En effet, si on prend la valeur absolue de cosinus
de e puissance x, fois e puissance x, c'est évidemment majoré par
e puissance x. Mais en tous les points où le cosinus vaut
1, et de tels points, il y en a pour x allant à l'infini,
il suffit de prendre e puissance x de la forme pi sur 2,
plus k pi, avec k entier positif suffisamment grand.
Eh bien, pour de tels points, cette fonction coïncidera exactement
avec la fonction exponentielle. Mais contrairement à la fonction
exponentielle, cette fonction, elle, définit un élément de S prime de R.
Autrement dit, une distribution tempérée.
Pourquoi ça?
Eh bien, parce que cosinus de e puissance x que multiplie e puissance x, on
voit tout de suite que c'est la dérivée en x de sinus de e puissance x,
et sinus de e puissance x, en valeur absolue, c'est inférieur ou égal à 1.
Donc, sinus de e puissance x, c'est un élément de iii à l'infini de R.
Donc, c'est une distribution tempérée, lorsque je la dérive par rapport
à x, stabilité de la classe des distributions tempérées par dérivation.
Ce que j'obtiens, c'est une distribution tempérée.
Qu'est-ce qui se passe, ici?
Eh bien, ce qui se passe ici, c'est un phénomène un petit peu délicat.
C'est le fait que les oscillations de cosinus
de e puissance x, lorsque x tend vers
plus l'infini, compense la croissance de e puissance
x, toujours pour x tendant vers plus l'infini.
Et donc, pour x tendant vers plus l'infini, vu
comme distribution, eh bien, cosinus de e puissance x,
e puissance x se comporte très différemment de e
puissance x, puisque cette fonction, elle définit bien une
distribution tempérée sur la droite réelle.
Donc, il faut garder cet exemple à
l'esprit, pour bien comprendre que cette notion
de croissance à l'infini des distributions est
plus compliquée que dans le cas des fonctions.
Bien.
Alors on va terminer ce panorama des
distributions tempérées en étudiant la notion de convergence.
Alors, la définition est tout à fait simple.
C'est, définition de la convergence simple, exactement
comme dans le cas des distributions non tempérées.
Donc, je vais prendre Tn, une suite de distributions
tempérées sur R N, et T, une distribution tempérée
sur R N.
On dira que la suite Tn converge vers T dans
S prime de R N, au sens des distributions tempérées.
Si la suite de nombres Tn de phi converge vers le nombre T
de phi, pour tout phi appartenant à la classe de Schwartz de R N.
Autrement dit, c'est la même définition que pour les distributions standard.
Sauf que les fonctions test phi sont
autorisées à appartenir à la classe de Schwartz,
au lieu d'appartenir à l'espace des fonctions de classe C infini
à support compact sur R N qui est, évidemment, plus petit.
Bien.
Alors, examions les premières propriétés de cette notion de convergence.
Donc, je vais prendre une suite Tn qui converge vers T, dans S prime de R N.
Et la première observation, c'est que la
dérivation des distributions tempérées est continue sur
la classe des distributions tempérées S prime de R N.
En effet, pour tout alpha multiindice à N composante, si Tn converge vers T
dans S prime de R N, eh bien, forcément, d rond alpha de Tn converge vers
d rond alpha T, dans S prime de R N, conséquence de la définition de
la convergence des distributions tempérées, et de la
stabilité de la classe de Schwartz par dérivation.
Deuxième propriété, la multiplication par les fonctions à croissance
polynomiale, ainsi que toutes leurs dérivées est continue sur S prime de R N.
Autrement dit, si je choisis une fonction f de classe C infini sur
R N, et que je suppose que d rond alpha f de x
est un grand Tau de norme de x à la puissance n alpha,
lorsque norme de x tend vers plus
l'infini, quelque soit alpha, avec un certain
entier n indice alpha, dont la croissance par rapport à alpha
ne m'intéresse pas. Si on a cette propriété, eh bien
forcément, si Tn converge vers T dans S prime de R N, alors, f multiplié
en Tn converge vers f multiplié en T dans S prime de R N.
À nouveau, cette propriété est duale,
du fait que la multiplication par
les fonctions appelées croissances polynomiales, ainsi
que toutes leurs dérivées est une
opération qui stabilise la classe de Schwartz.
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