Alors, dans la deuxième partie de ce cours nous allons maintenant étendre la définition du produit de convolution à deux distributions. Alors, pas deux distributions quelconques. Nous allons définir le produit de convolution d'une distribution par une distribution à support compact. Alors, avant de définir ce produit de convolution nous aurons besoin de quelques outils ou de quelques notions d'analyse fonctionnelle, que je vais rappeler sans démonstration parce qu'à la vérité ce sont des points un peu subtils d'analyse fonctionnelle. Alors, le premier point que nous devons avoir en mémoire c'est le principe de la borne uniforme. Alors, je vais rappeler de quoi il s'agit et je vais commencer par énoncer ce principe de la borne uniforme dans un cas plus simple que celui des distributions qui nous occupe, qui est le cas des espaces de Banach. Donc, dans le cas des espaces de Banach, on connaît bien le Théorème de Banach-Steinhaus qui dit la chose suivante: soit E espace de Banach et L n, n supérieur ou égal à 1, une suite de formes linéaires continues sur l'espace de Banach E. Supposons que pour tout x, dans l'espace E la suite de nombres L n de x converge vers un nombre qu'on va noter L de x. Autrement dit, supposons que la suite de formes linéaires qui sont des fonctions sur E converge simplement sur E. Alors, évidemment la fonction qui à x associe L de x ainsi définie est une forme linéaire sur E, le point crucial du Théorème de Banach-Steinhaus, ce qui n'est absolument pas évident c'est que cette forme linéaire est en réalité continue sur E. Bien. Alors, maintenant, les distributions sont des formes linéaires sur l'espace des fonctions de classe C infini à support compact sur un ouvert et comme on l'a déjà vu, les fonctions de classe C infini à support compact sur un ouvert ne sont pas un espace de Banach. Malgré tout il y a quelque chose qui est analogue au théorème de Banach-Steinhaus dans le cadre des distributions et je vais énoncer ce principe de la borne uniforme qui porte sur la propriété de continuité des distributions. Alors, voici donc le principe de la borne uniforme dans l'espace de distribution. Soit oméga ouvert de R N, soit T n une suite de distributions sur oméga et fixons un compact K inclut dans oméga. Supposons que pour toute fonction test phi à support dans K, un compact qu'on vient de choisir, la suite de nombres T n appliquée à phi converge. Alors dans ce cas, il existe une constante C positive, il existe un entier positif ou nul petit p, telle que pour tout phi de classe C infini à support dans K T n de phi en valeur absolue est majoré par C fois la norme de phi d'indice p K, uniformément en n supérieur ou égal à 1. Alors, une conséquence importante de ce principe de la borne uniforme dans D prime c'est qu'il y a un analogue du Théorème de Banach-Steinhaus dans D prime, bien que D prime ne soit le dual d'un espace de Banach qui s'énonce de la manière suivante: soit T n suite de distributions dans un ouvert oméga de R N eh bien, si la suite de nombres T n de phi T n appliqué à phi est convergente pour toute fonction test phi de classe C infini à support compact sur oméga eh bien, il existe une distribution limite sur oméga, une distribution T sur oméga telle que T n converge vers T au sens des distributions dans oméga. Si vous vous souvenez, lorsqu'on a défini la notion de convergence au sens des distributions, on se donnait une suite de distributions T n et une distribution limite et on définissait la convergence des distributions comme le fait que T n appliqué à phi fonction test quelconque sur oméga converge vers T appliqué à phi. Bien. Ici, ce que nous apporte le Théorème de Banach-Steinhaus c'est que il suffit de savoir que la suite de nombres T n de phi converge, quel que soit phi, fonction test pour savoir que nécessairement la suite de distributions T n converge au sens des distributions vers une distribution limite sur oméga. Alors, une autre conséquence du principe de la borne uniforme c'est que le crochet de dualité est une application séquentiellement continue de ces deux arguments. Ce que je veux dire par là, c'est que si on se donne T n suite de distribution sur oméga ouvert de R N est phi n suite de fonctions test de classe C infini à support compact sur oméga, eh bien, si on suppose que phi n converge vers phi dans C infini à support compact de oméga au sens où cela a été défini dans le cours précédent et si on suppose que T n converge vers T au sens des distributions dans oméga, alors, la suite de nombres T n appliqué à phi n converge vers le nombre T appliqué à phi. La démonstration n'est pas bien compliquée, ici on peut se ramener très simplement au cas où T n converge vers zéro et c'est ensuite une application presque directe du principe de la borne uniforme. Enfin, je vais énoncer un Lemme, qui est un tout petit peu plus technique que les points 1 et 2 qui sont des conséquences vraiment presque immédiates du principe de la borne uniforme. Le Lemme 2, lui, il est un peu plus compliqué, mais il nous sera très utile pour la suite. Ce Lemme dit que si on considère une suite de distributions T n sur R N et si on considère un fonction test de classe C infini à support compact sur R N eh bien, si on suppose que la suite T n converge au sens des distributions sur R N vers une distribution T eh bien, le produit de convolution de T n par phi converge vers T convolé avec phi, mais converge beaucoup mieux, converge uniformément sur tout compact. Autrement dit, on voit que dans cet énoncé la convergence au sens des distributions qui est une notion finalement très faible de convergence, lorsqu'on a pris le produit de convolution de T n par phi, cette convergence a été améliorée en quelque sorte pour devenir de la convergence uniforme sur tout compact. Eh bien évidemment, comme les monômes différentiels, lorsqu'on les applique à un produit de convolution portent indifféremment sur chacun des termes du produit de convolution eh bien en répétant cet argument à d rond alpha de T n qui converge au sens des distributions vers d rond alpha de T, eh bien, on obtient tout de suite que d rond alpha de T n convolé avec phi converge uniformément sur tout compact de R N vers d rond alpha de T convolé avec phi. C'est ce dernier énoncé dont nous aurons besoin dans la suite. Voilà, donc, avec ces outils que nous venons d'introduire, nous sommes prêts à définir la convolution des distributions. Une distribution quelconque par une distribution à support compact sur R N. Donc je vais rappeler la notation pour la composition avec l'antipodie, avec la symétrie par rapport à l'origine dans R N moins l'identité. Pour T distribution sur R N, je noterai T tilda la composée de T avec l'application moins l'identité dans R N qui est donc une distribution sur R N et qui est définie de la manière suivante: T tilda appliqué à un fonction test phi de classe C infini à support compact sur R N, c'est T appliqué à phi tilda où je rappelle, notation qu'on a déjà utilisée, que phi tilda de x c'est tout simplement phi de moins x, autrement dit c'est phi composé avec moins l'identité. Maintenant on peut définir le produit de convolution de deux distributions. Soient T distribution sur R N S distribution à support compact sur R N, eh bien on définit T étoile S qui va être une distribution sur R N par la formule suivante: T étoile S appliqué à phi fonction S quelconque de classe C infini à support compact sur R N est égal par définition à la distribution T appliquée à la fonction test S tilda étoile phi. En effet, S est une distribution à support compact sur R N, S tilda aussi, phi est une fonction de classe C infini à support compact sur R N. S tilda étoile phi est donc une fonction de classe C infini et elle est à support compact, à support inclus dans l'addition du support de S tilda et du support de phi, on additonne deux compacts eh bien, on voit donc que S tilda étoile phi est bien à support compact. Donc, le membre de droite est bien défini. Alors, nous allons considérer un exemple fondamental qui nous servira à plusieurs reprises dans la suite, Pour a quelconque vecteur de R N je vais noter tau indice a, la translation qui à x associe x plus a, sur R N. Alors on vérifie, et c’est un calcul assez simple, que le produit de convolution de T distribution quelconque sur R N par la masse de Dirac au point a, qui est une distribution à support compact, puisque c’est un support dans le singleton petit a, donc T étoile delta a, c’est la même chose que T composé avec la transaction de vecteur moins a. Et en particulier, pour a égal zéro, on voit que T convolé avec delta en zéro, est égal à T. Autrement dit, le produit de convolution des distributions admet un élément neutre qui est la masse de Dirac en l’origine. Contrairement au cas des fonctions, par exemple des fonctions L1 sur R N, on sait que l’espace des fonctions L1 sur R N muni du produit de convolution n’admet pas d’élément neutre. Bien, alors passons en revue les propriétés élémentaires de cette notion de produit de convolution de deux distributions. Et bien on a une majoration du support du produit de convolution qui fonctionne exactement comme dans le cas, euh, du produit de convolution de deux fonctions ou du produit de convolution d’une distribution par une fonction de classe C infini à support compact. En effet pour tout T distribution quelconque sur R N et pour tout S distribution à support compact sur R N, le support du produit de convolution T étoile S est contenu dans l’addition du support de T et du support de S. Deuxième propriété, le produit de convolution sur les distributions est commutatif. Alors, on a défini T étoile S, avec T qui est une distribution quelconque et S une distribution à support compact, sur R N, voyons comment on peut definir S étoile T. On va définir S étoile T par la même formule, à savoir que S étoile T appliqué à phi fonction test classé infini à support compact sur R N est défini comme l’évaluation de la distribution S sur la fonction T tilda étoile phi. Il faut faire attention bien sûr que maintenant, phi est bien à support compact, mais T n’est pas à support compact. Donc T tilda étoile phi, produit de convolution d’une distribution quelconque par une fonction de classe C infini à support compact, c’est tout simplement une fonction de classe C infini. Mais ça tombe bien, parce que cette fonction de classe C infini, on lui applique la distribution S qui elle est à support compact. Or on a vu, au dernier cours, que les distributions à support compact sur R N agissent sur les fonctions de classe C infini qui ne sont pas forcément à support compact. Donc, le membre de droite de cette égalité est bien défini et il définit le membre de gauche et on vérifie, sans difficultés, que le produit de convolution ainsi défini est bien commutatif, à savoir que pour tout T distribution sur R N et pour tout S distribution à support compact sur R N, T étoile S est bien égal à S étoile T. La démonstration consiste tout simplement à régulariser la distribution S et à intégrer sous le crochet dualité, autrement dit à permuter intégration et crochet de dualité, procédure qui a été commentée dans le cours précédent. Que nous avons rencontré, par exemple, dans la procédure de régularisation des distributions. Bien, alors poursuivons sur les propriétés du produit de convolution. Et maintenant passons aux propriétés de continuité, de continuité séquentielle. Cette nouvelle opération que nous venons de définir sur les distributions, eh bien elle est séquentiellement continue avec une petite restriction que j’énonce dans le théorème 4. Donc je considère des suites de distributions, TN convergeant vers T et SN convergeant vers S suite de distributions convergeant dans D prime de R N. Alors évidemment je vais supposer que l'un des deux termes du produit Sn ou Tn est à support compact. Mais plus que cela je vais supposer qu’il existe un compact K de R N qui est fixe et indépendant de n tel que le support de Sn, par exemple, est contenu dans K pour tout n. Alors, sous cette hypothèse-là, et sachant que Tn converge vers T au sens des distributions et que Sn converge vers S au sens des distributions, le produit de convolution Tn étoile Sn passe à la limite et converge vers T étoile S dans D prime de R N la démonstration se fait en utilisant le, la définition du produit de convolution ainsi que le, l'M deux, qui dit que lorsque je prends le produit de convolution de Sn tilda avec une fonction test classe C infini à support compact phi, eh bien les dérivées successives de ce produit de convolution convergent uniformément sur tout compact et d’autre part, Sn tilda convolé avec phi, bien sûr, sera à support dans un compact fixe qui va être l’addition du compact symétrique de K par rapport à l’origine et du support de la fonction test petit phi. Enfin, une dernière propriété fondamentale de la convolution des distributions, c’est la façon dont ce produit de convolution se comporte vis-à-vis de l’opération de dérivation. Alors, on sait sur les fonctions, on l’a vu dans le cas du produit de convolution d’une distribution par une fonction test que la dérivée d’un produit de convolution se calcule en dérivant indifféremment l’un ou l’autre des deux termes du produit de convolution. Eh bien cette formule vaut encore pour un produit de convolution de distribution et plus précisément, théorème: pour toute distribution T sur R N, pour toute distribution S à support compact sur R N, eh bien on a la formule, pour tout monôme différentiel d rond alpha, autrement dit pour tout multiindice à N composantes d rond alpha de T étoile S est égal à d rond alpha T, étoile S et lui-même égal à T étoile d rond alpha S. Exemple fondamental, et qui nous servira dans la suite de ce cours, notamment lorsque nous parlerons d’équation à dérivée partielle, c’est le cas de la convolution par les distributions de Dirac. En effet, si on applique la formule du théorème au cas où S est la masse de Dirac en zéro, eh bien on voit que pour toute distribution T sur R N et pour tout multiindice à N composante, eh bien, d rond alpha de la masse de Dirac en zéro, convolé avec T, bien sûr c’est la même chose, puisque le produit de convolution est commutatif, c’est la même chose que T convolé avec d rond alpha de Dirac en zéro et c’est égal à d rond alpha T. Autrement dit, la dérivation des distributions est un cas particulier de produit de convolution. Le produit de convolution des distributions contient comme cas particulier la dérivation au sens des distributions. Évidemment, à nouveau, ceci est absolument impossible dans le cadre des fonctions puisque, on voit que, pour dériver il faut convoler par une distribution particulière qui est une distribution de Dirac, d alpha de Dirac en zéro. Alors maintenant nous allons poursuivre dans ce sens en montrant que le produit de convolution des distributions permet de définir une opération quelque peu étrange, qui consiste à prendre une dérivée d’ordre non entier d’une fonction ou d’une distribution. Et quand on dit dérivation d'ordre fractionnaire, on pense évidemment à des dérivées d’ordre un demi, un tiers mais plus généralement comme on va le voir, il s’agit même de dérivées d’ordre à nombre réel quelconque. Expliquons comment cela fonctionne. Et je vais commencer par rappeler la définition de la fonction gamma, qui est la fonction eulérienne qui est donnée pour tout nombre complexe z de partie réelle strictement positive par la formule bien connue : gamma de z égal, intégrale de zéro à l’infini de t puissance z, e puissance moins t, dt sur t. Bien alors, on connaît les propriétés de cette fonction gamma, je les rappelle ici : gamma de z plus 1 est égal à z gamma de z, de sorte que en fait, gamma de n plus 1 c’est factoriel n. La fonction gamma a été introduite par Euler pour généraliser à des nombres non entiers la notion de factoriel. Autre propriété importante de la fonction gamma, propriété dans le champ complexe, c’est que, bien, cette fonction gamma c’est une fonction méromorphe, même un peu plus que ça si on considère la fonction 1 sur gamma qui est défini pour partie réelle de z, strictement positif, par la formule ci-dessus. Eh bien, cette fonction 1 sur gamma se prolonge en une fonction holomorphe entière, c'est-à-dire, holomorphe sur le plan complexe tout entier. Autrement dit, cette fonction gamma ne s'annule pas sur le plan complexe tout entier, ne s'annule jamais. C'est pour cela que 1 sur gamma se prolonge en une fonction holomorphe sur C. Bien, avec ces deux propriétés, nous allons définir une classe particulière de distributions, qui, au départ, vont être des fonctions. Donc, je vais introduire les distributions khi plus d'ordre petit a. Et pour tout réel petit a plus grand que moins 1, je vais poser khi plus d'ordre a de x, je vais le définir comme étant x plus à la puissance petit a divisé par la fonction gamma de a plus 1, où x plus, c'est le max de x et de zéro. Bon, on voit que pour x strictement positif, on a x puissance a sur gamma de a plus 1. C'est évidemment bien défini pour x strictement positif, puisqu'on prend une puissance réelle d'un nombre positif. Ça, c'est parfaitement défini. Et évidemment, pour x négatif ou nul, khi plus a de x est égal à zéro. Bien. Alors, cette formule, on voit que lorsque a est un entier, cette formule consiste à regarder la fonction x puissance n sur factoriel n. Et la fonction x puissance n sur factoriel n, c'est une fonction tout à fait remarquable qui a la propriété que lorsqu'on la dérive, on trouve x puissance n moins 1 sur factoriel n moins 1. Bien. Donc, on va utiliser cette remarque-là pour plonger cette famille de fonctions localement intégrables dans une famille de distributions qui, elle, va être définie pour tout ordre petit a réel, de la manière suivante. Donc, pour a plus grand que moins 1, la fonction khi a plus qu'on vient de définir, elle est localement intégrable. Et puis ensuite, à partir de là, eh bien, on va définir khi a plus, comme distribution sur R, pour tout a dans R, par la formule suivante. Eh bien, khi a plus sera la dérivée au sens des distributions de khi a plus 1 plus, mais, etcetera, par récurrence, ça sera aussi la dérivée d'ordre n au sens des distributions de khi a plus n plus. Alors évidemment, si je prends un nombre réel petit a, il existe un entier n suffisamment grand pour que a plus n soit supérieur strictement à moins 1. Et donc, pour n assez grand, khi a plus n plus, c'est bien une fonction localement intégrable sur R, elle définit une distribution sur R. J'en prend la dérivée n-ième, et je définis ainsi khi a plus comme distribution sur R, ce coup-ci, pas comme fonction comme distribution sur R. Bien. Alors, avec ces distributions khi a plus, on va pouvoir définir cette notion de dérivée d'ordre fractionnaire. Mais commençons par regarder ce qui se passe lorsque a est entier. En effet, et un cas particulier important, c'est que pour a égale zéro, on vérifie sur la formule que khi plus d'ordre zéro, c'est tout simplement la fonction de Heaviside, qui est la fonction indicatrice de R plus. Et donc, pour k supérieur ou égal à 1, on vérifie que khi plus d'ordre moins k, eh bien, c'est tout simplement la dérivée d'ordre k moins 1 de Dirac en zéro, la distribution de Dirac d'ordre k moins 1 en zéro. En particulier, khi plus moins 1, c'est la dérivée d'ordre 1 de la fonction d'Heaviside, et on sait bien que ça, ça vaut la masse de Dirac en zéro. Bien, alors, avec ça, la notion de dérivation fractionnaire est immédiate. En effet, on a vu que, si on prend T une distribution quelconque dans R, les dérivées successives de T, donc, d sur dx, d'ordre k de T, c'est la distribution de Dirac en zéro d'ordre k, convolée avec T. Donc, d'après ce qui précède, c'est khi plus d'ordre moins k moins 1, convolé avec T, pour k dans n étoile. Eh bien, il suffit de copier cette formule, en remplaçant k, qui est un entier, par un nombre réel petit a quelconque, et cela suggère de définir pour toute distribution à support compact sur R, la dérivée d'ordre petit a nombre réel quelconque de T, comme étant le produit de convolution de la distribution khi plus d'ordre moins a moins 1 avec T. Ici, a est un réel non nul quelconque. Alors, une petite remarque. Contrairement au cas de la dérivée usuelle, et des dérivées d'ordre entier usuelles, eh bien, ici, il faut supposer que la distribution T est à support compact, parce que dans le cas des dérivées usuelles, la distribution par laquelle on convole T, c'est une distribution de Dirac en zéro, qui est donc à support compact, à support dans zéro, dans le singleton zéro. Évidemment, ce n'est pas le cas avec les distributions khi plus a moins 1 qui, elles, sont à support dans la demi-droite R plus, et de sorte que, eh bien, le produit de convolution n'est défini que pour des distributions à supports compacts. Alors, en réalité, on pourrait étendre la définition à des distributions T qui seraient à supports dans la demi-droite positive, mais cela nécessiterait un formalisme un petit peu plus compliqué pour le produit de convolution, en faisant intervenir la notion de support convolutif, et un petit peu trop technique pour qu'on en parle dans ce cours d'initiation. Le cas a égale moins 1 correspond évidemment au cas où on prend le produit de convolution de T par la fonction de Heaviside. Autrement dit, d sur dx d'ordre moins 1 de T, c'est le produit de convolution de la distribution T avec la fonction d'Heaviside. Et évidemment, lorsque T est une fonction, ce produit de convolution, c'est simplement la fonction qui à x associe l'intégrale de moins l'infini à x de T de y, dy. Autrement dit, la primitive de T qui est nulle en moins l'infini. Alors évidemment, ceci est bien cohérent avec le fait que l'opérateur intégrale de moins l'infini à petit x est l'opérateur inverse de la dérivation par rapport à x. En tout cas, lorsqu'on applique ces opérateurs à des fonctions suffisamment régulières. Bien. Alors, on va terminer ce panorama du produit de convolution des distributions par une dernière propriété importante de ce produit de convolution qui est l'associativité. Alors, il faut faire un petit peu attention à cette propriété d'associativité. Voici l'énoncé du théorème. Soit T, S et R, distributions sur R N, et je suppose que sur ces trois distributions, il y en a deux, au moins, d'entre elles qui sont à support compact. Alors, dans ce cas-là, eh bien, le produit de convolution de T par S convolé avec R est égal à T convolé avec le produit de convolution de S par R, ce qui est bien la propriété d'associativité du produit de convolution, telle qu'on la connaît. Alors, on vérifie, évidemment, que les deux membres de cette égalité ont bien un sens, parce que si deux des distributions T, S, et R sont à support compact, eh bien forcément, tous les produits de convolutions qui interviennent dans cette égalité mettent en jeu au moins une distribution à support compact. Mais, il faut faire bien attention au fait que cette formule peut être fausse si un seul des support est compact. Alors, voici un exemple, bien classique, où on fait intervenir la distribution constante 1, la fonction de Heaviside. On a là deux distributions qui ne sont pas à support compact avec une troisième distribution qui, elle, est à support compact, qui est la dérivée de la masse de Dirac en zéro. Et on fait ce calcul-là dans R, en dimension 1. Alors, commençons par calculer le produit de convolution de 1 par delta prime en zéro, chose que l'on convole ensuite par H. Eh bien, 1 convolé par delta prime en zéro, c'est la dérivée de 1, puisqu'on a vu que dériver, c'est la même chose que convoler par la dérivée de la masse de Dirac. Donc, le produit de convolution de 1 par delta prime en zéro, c'est zéro, chose que l'on convole, à nouveau, avec H, et on trouve zéro, bien sûr. Maintenant, à l'inverse, si je fais d'abord le produit de convolution de delta prime en zéro par H, eh bien ça, ça revient à dériver la distribution H. Autrement dit, on effectue le produit de convolution de 1 avec la dérivée de H, qui est la masse de Dirac en zéro. Mais 1 convolé avec Dirac en zéro, c'est égal à 1, parce que Dirac en zéro est l'élément neutre pour la convolution des distributions. Donc, s'il y avait associativité, en général, dans le produit de convolution des distributions, sans avoir à supposer que deux distributions dans le produit sont à support compact, eh bien, on démontrerait que 1 égale zéro. Bien. Alors, évidemment, cet énoncé se généralise à un nombre quelconque petit m de distributions, à condition de supposer que sur ces m distributions, il y en a m moins une d'entre elles qui sont à support compact.
