Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.
Partie 2 Convolution des distributions
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Initiation à la théorie des distributions
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Cours 5
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Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Alors, dans la deuxième partie de ce cours nous allons maintenant
étendre la définition du produit de convolution à deux distributions.
Alors, pas deux distributions quelconques.
Nous allons définir le produit de convolution d'une distribution par une
distribution à support compact. Alors, avant de définir ce produit
de convolution nous aurons besoin de quelques
outils ou de quelques notions d'analyse fonctionnelle, que je
vais rappeler sans démonstration parce qu'à la vérité
ce sont des points un peu subtils d'analyse fonctionnelle.
Alors, le premier point que nous devons avoir
en mémoire c'est le principe de la borne uniforme.
Alors, je vais rappeler
de quoi il s'agit et je vais commencer par
énoncer ce principe de la borne uniforme dans un
cas plus simple que celui des distributions qui nous
occupe, qui est le cas des espaces de Banach.
Donc, dans le cas des espaces de Banach, on
connaît bien le Théorème de Banach-Steinhaus qui dit la
chose suivante: soit E espace de Banach et L n, n supérieur ou égal à 1, une suite
de formes linéaires continues sur l'espace de Banach E.
Supposons que pour tout x, dans l'espace E la suite de nombres L
n de x converge vers un nombre qu'on va noter L de x.
Autrement dit, supposons que la suite de formes linéaires qui sont des fonctions
sur E converge simplement sur E. Alors, évidemment la fonction
qui à x associe L de x ainsi définie
est une forme linéaire sur E, le point crucial du
Théorème de Banach-Steinhaus, ce qui n'est absolument pas évident c'est
que cette forme linéaire est en réalité continue sur E.
Bien.
Alors, maintenant, les distributions sont des formes
linéaires sur l'espace des fonctions de classe
C infini à support compact sur un ouvert et comme on l'a déjà vu,
les fonctions de classe C infini à support compact
sur un ouvert ne sont pas un espace de Banach.
Malgré tout il y a quelque chose qui est analogue au théorème de Banach-Steinhaus
dans le cadre des distributions et je vais énoncer ce principe de la borne
uniforme qui porte sur la propriété de continuité des distributions.
Alors, voici donc le principe de la borne uniforme dans l'espace
de distribution. Soit oméga ouvert de R N, soit T n une
suite de distributions sur oméga et fixons un compact K inclut dans oméga.
Supposons que pour toute fonction test phi à support dans K, un compact
qu'on vient de choisir, la suite de nombres T n appliquée à phi converge.
Alors dans ce cas, il existe une
constante C positive, il existe un entier positif ou nul
petit p, telle que pour tout phi de classe C infini à support dans K T
n de phi en valeur absolue est majoré par C fois la norme
de phi d'indice p K, uniformément en n supérieur ou égal à 1.
Alors,
une conséquence importante de ce principe de la
borne uniforme dans D prime c'est qu'il y
a un analogue du Théorème de Banach-Steinhaus dans
D prime, bien que D prime ne soit le
dual d'un espace de Banach qui s'énonce de la manière suivante: soit T n suite
de distributions dans un ouvert oméga de R N eh bien, si la suite de nombres T n de
phi T n appliqué à phi est convergente pour toute fonction test
phi de classe C infini à support compact sur oméga eh bien,
il existe une distribution limite sur oméga, une distribution T sur oméga
telle que T n converge vers T au sens des distributions dans oméga.
Si vous vous souvenez, lorsqu'on a défini la notion de convergence
au sens des distributions, on se donnait une suite de distributions
T n et une distribution limite et on définissait la convergence
des distributions comme le fait que T n appliqué à phi
fonction test quelconque sur oméga converge vers T appliqué à phi.
Bien.
Ici, ce que nous apporte le Théorème de Banach-Steinhaus c'est
que il suffit de savoir que la suite de nombres
T n de phi converge, quel que soit
phi, fonction test pour savoir que nécessairement la
suite de distributions T n converge au sens
des distributions vers une distribution limite sur oméga.
Alors, une autre conséquence du principe de la borne uniforme c'est que
le crochet de dualité est une
application séquentiellement continue de ces deux arguments.
Ce que je veux dire par là, c'est que si on se donne T n suite de distribution sur
oméga ouvert de R N est phi n suite
de fonctions test de classe C infini à support compact
sur oméga, eh bien, si on suppose que phi n converge vers phi dans C infini à
support compact de oméga au sens où cela a été défini dans le cours précédent et
si on suppose que T n converge vers T au sens des distributions dans oméga, alors,
la suite de nombres T n appliqué à phi n converge vers le nombre T appliqué à phi.
La démonstration
n'est pas bien compliquée, ici on peut se ramener très simplement au cas où T n
converge vers zéro et c'est ensuite une application
presque directe du principe de la borne uniforme.
Enfin, je vais énoncer un Lemme, qui est un tout petit peu plus technique que les
points 1 et 2 qui sont des conséquences
vraiment presque immédiates du principe de la borne uniforme.
Le Lemme 2, lui, il est un peu plus
compliqué, mais il nous sera très utile pour la suite.
Ce Lemme dit que si on considère une suite de distributions
T n sur R N et si on considère un fonction test de classe C infini
à support compact sur R N eh bien, si on suppose que la suite
T n converge au sens des distributions sur R N vers une distribution
T eh bien, le produit de convolution de T n par phi converge vers T convolé
avec phi, mais converge beaucoup mieux, converge uniformément sur tout compact.
Autrement dit, on voit que dans cet énoncé la convergence au sens des distributions
qui est une notion finalement très faible
de convergence, lorsqu'on a pris le produit
de convolution de T n par phi, cette convergence a été améliorée
en quelque sorte pour devenir de la convergence uniforme sur tout compact.
Eh bien évidemment, comme les monômes différentiels,
lorsqu'on les applique à un produit de convolution
portent indifféremment sur chacun des termes du produit
de convolution eh bien en répétant cet argument
à d rond alpha de T n qui converge au sens des distributions
vers d rond alpha de T, eh bien, on obtient tout de suite
que d rond alpha de T n convolé avec phi converge uniformément sur
tout compact de R N vers d rond alpha de T convolé avec phi.
C'est ce dernier énoncé dont nous aurons besoin dans la suite.
Voilà, donc,
avec ces outils que nous venons d'introduire, nous
sommes prêts à définir la convolution des distributions.
Une distribution quelconque par une distribution à support compact sur R N.
Donc je vais rappeler la notation pour la composition avec
l'antipodie, avec la symétrie par rapport à l'origine dans R N moins l'identité.
Pour T distribution sur R N, je noterai T tilda
la composée de T avec l'application moins l'identité dans R
N qui est donc une distribution sur R N et
qui est définie de la manière suivante: T tilda appliqué
à un fonction test phi de classe C infini à
support compact sur R N, c'est T appliqué à phi
tilda où je rappelle, notation qu'on a déjà utilisée, que
phi tilda de x c'est tout simplement phi de moins x,
autrement dit c'est phi composé avec moins l'identité.
Maintenant on peut définir le produit de convolution de deux distributions.
Soient T distribution sur R N S distribution à support
compact sur R N, eh bien on définit T étoile S
qui va être une distribution sur R N par la
formule suivante: T étoile S appliqué à phi fonction S quelconque
de classe C infini à support compact sur R N est égal par définition à la
distribution T appliquée à la fonction test S tilda étoile phi.
En effet, S est une distribution à support compact sur R N, S tilda aussi,
phi est une fonction de classe C infini à support compact sur R N.
S tilda étoile phi est
donc une fonction de classe C infini et elle est à
support compact, à support inclus dans l'addition du support de S tilda
et du support de phi, on additonne deux compacts eh bien, on
voit donc que S tilda étoile phi est bien à support compact.
Donc, le membre de droite est bien défini.
Alors, nous allons considérer
un exemple fondamental qui nous servira à plusieurs reprises
dans la suite, Pour a quelconque vecteur de R
N je vais noter tau indice a, la translation
qui à x associe x plus a, sur R N.
Alors on vérifie, et c’est un calcul assez simple, que le produit de convolution de T
distribution quelconque sur R N par la masse
de Dirac au point a, qui est une distribution
à support compact, puisque c’est un support
dans le singleton petit a, donc T étoile
delta a, c’est la même chose que T composé avec la transaction de vecteur moins a.
Et en particulier, pour a égal zéro, on voit que
T convolé avec delta en zéro, est égal à T.
Autrement dit, le produit de convolution des distributions admet un élément
neutre qui est la masse de Dirac en l’origine.
Contrairement au cas des fonctions, par exemple des
fonctions L1 sur R N, on sait que
l’espace des fonctions L1 sur R N muni
du produit de convolution n’admet pas d’élément neutre.
Bien, alors passons en revue les propriétés
élémentaires de cette notion de produit de convolution
de deux distributions.
Et bien on a une majoration du support du produit de
convolution qui fonctionne exactement comme dans le cas, euh, du produit
de convolution de deux fonctions ou du produit de convolution d’une
distribution par une fonction de classe C infini à support compact.
En effet pour tout T distribution quelconque sur R N et pour
tout S distribution à support compact sur R N, le support du produit
de convolution T étoile S est contenu dans l’addition du support
de T et du support de S. Deuxième propriété,
le produit de convolution sur les distributions est commutatif.
Alors, on a défini T étoile S, avec T qui est
une distribution quelconque et S une distribution à support compact,
sur R N, voyons comment on peut definir S étoile T.
On va définir S étoile T par la même formule, à
savoir que S étoile T appliqué à phi fonction test classé
infini à support compact sur R N est défini comme l’évaluation
de la distribution S sur la fonction T tilda étoile phi.
Il faut faire attention bien sûr que
maintenant, phi est bien à support compact,
mais T n’est pas à support compact.
Donc T tilda étoile phi, produit de
convolution d’une distribution quelconque par une fonction de
classe C infini à support compact, c’est
tout simplement une fonction de classe C infini.
Mais ça tombe bien, parce que cette fonction de classe C infini,
on lui applique la distribution S qui elle est à support compact.
Or on a vu, au dernier cours, que les distributions à support compact
sur R N agissent sur les fonctions de classe
C infini qui ne sont pas forcément à support compact.
Donc, le membre de droite de cette égalité est bien défini et
il définit le membre de gauche et on vérifie, sans difficultés, que
le produit de convolution ainsi défini est bien commutatif, à savoir que
pour tout T distribution sur R N et pour tout S distribution à
support compact sur R N, T étoile S est bien égal à S étoile T.
La démonstration consiste tout simplement à régulariser la
distribution S et à intégrer sous le crochet dualité,
autrement dit à permuter intégration et crochet de dualité,
procédure qui a été commentée dans le cours précédent.
Que nous avons rencontré, par exemple,
dans la procédure de régularisation des distributions.
Bien, alors poursuivons sur les propriétés du produit de convolution.
Et maintenant passons aux propriétés de continuité, de continuité séquentielle.
Cette nouvelle opération que nous venons de définir sur les
distributions, eh bien elle est séquentiellement continue avec une petite
restriction que j’énonce dans le théorème 4.
Donc je considère des suites de distributions, TN convergeant vers T et SN
convergeant vers S suite de distributions convergeant dans D prime de R N.
Alors évidemment je vais supposer que l'un des deux termes
du produit Sn ou Tn est à support compact. Mais plus que cela je vais
supposer qu’il existe un compact K de R N qui est fixe et indépendant de
n tel que le support de Sn, par exemple, est contenu dans K pour tout n.
Alors, sous cette hypothèse-là, et sachant que Tn converge
vers T au sens des distributions et que Sn
converge vers S au sens des distributions, le produit
de convolution Tn étoile Sn passe à la limite
et converge vers T étoile S dans D prime de R N la démonstration
se fait en utilisant le, la définition du produit
de convolution ainsi que le, l'M deux, qui
dit que lorsque je prends le produit de convolution de Sn
tilda avec une fonction test classe C infini à support compact
phi, eh bien les dérivées successives
de ce produit de convolution convergent uniformément
sur tout compact et d’autre part, Sn tilda convolé avec phi, bien sûr, sera
à support dans un compact fixe qui va être l’addition du compact
symétrique de K par rapport à l’origine et du support de la fonction test petit phi.
Enfin, une dernière propriété fondamentale
de la convolution des distributions, c’est la façon dont ce produit
de convolution se comporte vis-à-vis de l’opération de dérivation.
Alors, on sait sur les fonctions, on l’a vu dans le cas
du produit de convolution d’une distribution par
une fonction test que la dérivée d’un produit de convolution se calcule
en dérivant indifféremment l’un ou l’autre des deux termes du produit de convolution.
Eh bien cette formule vaut encore pour un produit
de convolution de distribution et plus précisément, théorème: pour
toute distribution T sur R N, pour toute distribution
S à support compact sur R N, eh bien
on a la formule, pour tout monôme différentiel d rond alpha, autrement dit
pour tout multiindice à N composantes d rond alpha de T étoile S
est égal à d rond alpha T, étoile S et lui-même
égal à T étoile d rond alpha S. Exemple
fondamental, et qui nous servira
dans la suite de ce cours, notamment lorsque nous parlerons d’équation à
dérivée partielle, c’est le cas de
la convolution par les distributions de Dirac.
En effet, si on applique la formule du théorème au cas où S est la masse
de Dirac en zéro, eh bien on voit que pour toute distribution T sur R N et pour tout
multiindice à N composante, eh bien, d rond alpha de la
masse de Dirac en zéro, convolé avec T, bien sûr c’est la même chose, puisque le
produit de convolution est commutatif, c’est la même chose que T convolé avec d
rond alpha de Dirac en zéro et c’est égal à d rond alpha T.
Autrement dit, la dérivation des distributions
est un cas particulier de produit de convolution.
Le produit de convolution des distributions contient comme
cas particulier la dérivation au sens des distributions.
Évidemment, à nouveau, ceci est absolument impossible dans le cadre des fonctions
puisque, on voit que, pour dériver il faut convoler par une distribution particulière
qui est une distribution de Dirac, d alpha de Dirac en zéro.
Alors maintenant nous allons poursuivre dans ce sens en
montrant que le produit de convolution des distributions permet de
définir une opération quelque peu étrange, qui consiste à prendre
une dérivée d’ordre non entier d’une fonction ou d’une distribution.
Et quand on dit dérivation
d'ordre fractionnaire, on pense évidemment à des
dérivées d’ordre un demi, un tiers mais plus
généralement comme on va le voir, il s’agit
même de dérivées d’ordre à nombre réel quelconque.
Expliquons comment cela fonctionne.
Et je vais commencer par rappeler la définition de la fonction gamma, qui est
la fonction eulérienne qui est donnée pour
tout nombre complexe z de partie réelle strictement
positive par la formule bien connue : gamma de z égal, intégrale
de zéro à l’infini de t puissance z, e puissance moins t, dt sur t.
Bien alors, on connaît les propriétés de cette fonction gamma,
je les rappelle ici : gamma de z plus 1
est égal à z gamma de z, de sorte que en fait, gamma de n plus 1 c’est factoriel n.
La fonction gamma
a été introduite par Euler pour généraliser à
des nombres non entiers la notion de factoriel.
Autre propriété importante de la fonction gamma,
propriété dans le champ complexe, c’est que, bien, cette fonction gamma c’est une
fonction méromorphe, même un peu plus que ça si on
considère la fonction 1 sur gamma qui est défini pour partie
réelle de z, strictement positif, par la formule ci-dessus.
Eh bien, cette fonction 1 sur gamma se prolonge en une
fonction holomorphe entière, c'est-à-dire, holomorphe
sur le plan complexe tout entier.
Autrement dit, cette fonction gamma ne s'annule pas sur le plan
complexe tout entier, ne s'annule jamais. C'est pour cela que 1 sur gamma se
prolonge en une fonction holomorphe sur C.
Bien, avec ces deux propriétés, nous allons définir une classe
particulière de distributions, qui, au départ, vont être des fonctions.
Donc, je vais introduire les distributions khi plus d'ordre petit a.
Et pour tout réel petit a plus grand que
moins 1, je vais poser khi plus d'ordre a de
x, je vais le définir comme étant x plus à la puissance petit a divisé par la
fonction gamma de a plus 1, où x plus, c'est le max de x et de zéro.
Bon, on voit que pour x strictement positif, on
a x puissance a sur gamma de a plus 1.
C'est évidemment bien défini pour x strictement
positif, puisqu'on prend une puissance réelle d'un nombre positif.
Ça, c'est parfaitement défini.
Et évidemment, pour x négatif ou nul, khi plus a de x est égal à zéro.
Bien.
Alors, cette formule, on voit que lorsque a est un entier, cette
formule consiste à regarder la fonction x puissance n sur factoriel n.
Et la fonction x puissance n sur factoriel n,
c'est une fonction tout à fait remarquable qui a
la propriété que lorsqu'on la dérive, on trouve x
puissance n moins 1 sur factoriel n moins 1.
Bien.
Donc, on va utiliser cette remarque-là pour plonger cette famille
de fonctions localement intégrables dans une famille de distributions qui, elle,
va être définie pour tout ordre petit a réel, de la manière suivante.
Donc, pour a plus grand que moins 1, la fonction
khi a plus qu'on vient de définir, elle est localement intégrable.
Et puis ensuite, à partir de là, eh bien, on va définir khi a
plus, comme distribution sur R, pour tout a dans R, par la formule suivante.
Eh bien, khi a plus sera la dérivée au sens des distributions
de khi a plus 1 plus, mais, etcetera, par récurrence, ça sera aussi
la dérivée d'ordre n au sens des distributions de khi a plus n plus.
Alors évidemment, si je prends un nombre réel petit a, il existe un entier
n suffisamment grand pour que a plus n soit supérieur strictement à moins 1.
Et donc, pour n assez grand, khi a plus
n plus, c'est bien une fonction localement intégrable
sur R, elle définit une distribution sur R.
J'en prend la dérivée n-ième, et je définis ainsi khi a plus
comme distribution sur R, ce coup-ci, pas comme fonction comme distribution sur R.
Bien.
Alors, avec ces distributions khi a plus, on
va pouvoir définir cette notion de dérivée d'ordre fractionnaire.
Mais commençons par regarder ce qui se passe lorsque a est entier.
En effet, et un cas particulier important, c'est que
pour a égale zéro, on vérifie sur la formule que
khi plus d'ordre zéro, c'est tout simplement la fonction
de Heaviside, qui est la fonction indicatrice de R plus.
Et donc, pour k supérieur ou égal à 1, on vérifie
que khi plus d'ordre moins k, eh bien, c'est tout simplement
la dérivée d'ordre k moins 1 de Dirac en zéro,
la distribution de Dirac d'ordre k moins 1 en zéro.
En particulier, khi plus moins 1, c'est la dérivée d'ordre 1 de la fonction
d'Heaviside, et on sait bien que ça, ça vaut la masse de Dirac en zéro.
Bien, alors, avec ça, la notion de dérivation fractionnaire est immédiate.
En effet, on a vu que, si on prend T une distribution
quelconque dans R, les dérivées successives de T, donc, d sur dx,
d'ordre k de T, c'est la distribution de Dirac en zéro d'ordre k, convolée avec T.
Donc, d'après ce qui précède, c'est khi plus d'ordre moins
k moins 1, convolé avec T, pour k dans n étoile.
Eh bien, il suffit de copier cette formule, en remplaçant
k, qui est un entier, par un nombre réel petit a quelconque, et cela suggère
de définir pour toute distribution à support compact sur R, la
dérivée d'ordre petit a nombre réel quelconque de T, comme étant le produit
de convolution de la distribution khi plus d'ordre moins a moins 1 avec T.
Ici, a est un
réel non nul quelconque. Alors, une petite remarque.
Contrairement au cas de la dérivée
usuelle, et des dérivées d'ordre entier usuelles,
eh bien, ici, il faut supposer que la distribution T est à support compact,
parce que dans le cas des dérivées
usuelles, la distribution par laquelle on convole
T, c'est une distribution de Dirac en zéro, qui est donc à support compact,
à support dans zéro, dans le singleton zéro.
Évidemment, ce n'est pas le cas avec les distributions khi
plus a moins 1 qui, elles, sont à support dans la
demi-droite R plus, et de sorte que, eh bien, le produit
de convolution n'est défini que pour des distributions à supports compacts.
Alors, en réalité, on pourrait étendre la définition à des distributions T qui
seraient à supports dans la demi-droite positive, mais cela nécessiterait un
formalisme un petit peu plus compliqué pour le produit de convolution,
en faisant intervenir la notion de support convolutif, et un petit
peu trop technique pour qu'on en parle dans ce cours d'initiation.
Le cas a égale moins 1 correspond évidemment au cas
où on prend le produit de convolution de T par
la fonction de Heaviside.
Autrement dit, d sur dx d'ordre moins 1 de T, c'est
le produit de convolution de la
distribution T avec la fonction d'Heaviside.
Et évidemment, lorsque T est une fonction,
ce produit de convolution, c'est simplement la fonction
qui à x associe l'intégrale de moins l'infini à x de T de y, dy.
Autrement dit, la primitive de T qui est nulle en moins l'infini.
Alors évidemment,
ceci est bien cohérent avec le fait que l'opérateur intégrale de moins l'infini
à petit x est l'opérateur inverse de la dérivation par rapport à x.
En tout cas, lorsqu'on applique ces
opérateurs à des fonctions suffisamment régulières.
Bien.
Alors, on va terminer ce panorama du produit de convolution
des distributions par une dernière propriété importante
de ce produit de convolution qui est l'associativité.
Alors, il faut faire un petit
peu attention à cette propriété d'associativité.
Voici l'énoncé du théorème.
Soit T, S et R, distributions sur R N, et je suppose que sur ces trois
distributions, il y en a deux, au moins, d'entre elles qui sont à support compact.
Alors, dans ce cas-là, eh bien, le produit de convolution de
T par S convolé avec R est égal à T convolé avec
le produit de convolution de S par R, ce qui est
bien la propriété d'associativité du produit
de convolution, telle qu'on la connaît.
Alors, on vérifie, évidemment, que les deux membres de cette
égalité ont bien un sens, parce que si deux des distributions
T, S, et R sont à support compact, eh bien forcément, tous les produits de
convolutions qui interviennent dans cette égalité mettent en
jeu au moins une distribution à support compact.
Mais, il faut faire bien attention au fait que cette
formule peut être fausse si un seul des support est compact.
Alors, voici un exemple, bien classique, où on fait intervenir
la distribution constante 1, la fonction de Heaviside.
On a là deux distributions qui ne sont
pas à support compact avec une troisième distribution
qui, elle, est à support compact, qui est la dérivée de la masse de Dirac en zéro.
Et on fait ce calcul-là dans R, en dimension 1.
Alors, commençons par calculer le produit de
convolution de 1 par delta prime en zéro,
chose que l'on convole ensuite par H.
Eh bien, 1 convolé par delta prime en zéro, c'est la dérivée de 1, puisqu'on a
vu que dériver, c'est la même chose que
convoler par la dérivée de la masse de Dirac.
Donc, le produit de convolution de 1 par delta prime en zéro, c'est zéro,
chose que l'on convole, à nouveau, avec H, et on trouve zéro, bien sûr.
Maintenant, à l'inverse, si je fais d'abord
le produit de convolution de delta prime en zéro par H, eh bien ça, ça
revient à dériver la distribution H. Autrement
dit, on effectue le produit de convolution de 1 avec la
dérivée de H, qui est la masse de Dirac en zéro.
Mais 1 convolé avec Dirac en zéro, c'est égal à 1,
parce que Dirac en zéro est
l'élément neutre pour la convolution des distributions.
Donc, s'il y avait associativité, en général, dans le
produit de convolution des distributions, sans avoir à supposer
que deux distributions dans le produit sont à support
compact, eh bien, on démontrerait que 1 égale zéro.
Bien.
Alors, évidemment, cet énoncé se généralise à un nombre quelconque
petit m de distributions, à condition de supposer que sur
ces m distributions, il y en a m moins une d'entre elles qui sont à support compact.
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