nous obtenons la convergence du premier morceau,
vers
quelque chose que nous connaissons
déjà, qui est l'intégrale
de moins R à R de phi de x moins phi de
zéro sur x dx, et que nous avons appelée la
valeur principale de 1 sur x appliquée à phi.
Donc le premier morceau dans la décomposition de fn appliqué à phi
donne tout simplement la valeur principale de 1 sur x appliqué à phi.
Considérons maintenant
le deuxième morceau, donc c'est phi de zéro fois une intégrale,
donc il suffit de calculer maintenant la limite de cette intégrale.
Pour cela nous allons faire un calcul simple, qui consiste en multiplier
le quotient dx sur x plus i sur n, par le conjugué de x plus i sur n.
Donc x moins i sur n
divisé par le module au carré de x plus i sur
n, c'est-à-dire x au carré plus un sur n au carré, dx.
Donc vous voyez facilement que la partie réelle de cette intégrale
s'annule, puisque c'est l'intégrale sur moins R, R d'une fonction impaire.
En revanche la partie imaginaire ne s'annule pas et se calcule facilement,
et nous obtenons moins i multiplié par l'intégrale
de moins R à R de n, dx sur nx au carré plus 1.
Vous voyez j'ai préparé en multipliant par n au carré le changement de variable
ou du moins le, j'ai préparé le, la fonction à être intégrée facilement.
Et donc ce calcul-là me donne moins i, arc tangente de
nx, entre
moins R et R. Et donc ça donne tout
simplement moins i, arc tangente
de nR, moins arc tangente
de moins nR. Grâce aux propriétés
de l'arc tangente, quand n tend vers l'infini, grand R
positif étant fixé, cette expression converge vers moins i fois pi.
Ainsi, maintenant que nous connaissons la limite des deux morceaux de la
décomposition de fn phi, nous connaissons la limite de fn phi, limite quand n tend
vers l'infini de fn appliquée à phi, est égal à valeur principale
de 1 sur x appliquée à phi, moins i pi, phi de zéro.
Et donc nous obtenons que fn converge vers valeur principale de 1 sur
x, moins i pi, la masse de Dirac au point zéro,
et cette distribution est notée 1 sur x plus i zéro.