Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.
Corrigé exercice 6
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Initiation à la théorie des distributions
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Cours 2
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Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Dans cet exercice nous allons calculer la limite, au sens des distributions,
de la suite de fonctions fn de x est égale à 1 sur x
plus i divisé par n. Donc on considère une fonction phi, une
fonction-test, que l'on suppose
à support inclus dans
moins R, R pour un R positif. Et nous
allons calculer quand, la limite quand n tend vers
l'infini de la suite fn appliquée à phi.
Pour ceci, comme nous voyons que quand n va tendre vers l'infini bien sûr, i sur n
va tendre vers zéro, et donc nous voyons
que nous allons faire apparaître la fonction 1sur x.
La fonction 1 sur x est singulière en zéro, donc on
voit déjà la valeur principale d'1 sur x, qui va apparaître.
Donc pour faire apparaître, euh, disons rigoureusement la valeur principale,
il nous paraît donc souhaitable de enlever à phi la valeur en zéro.
Donc dans un premier temps, nous allons simplement dire que fn appliquée
à phi, c'est tout simplement l'intégrale de, sur le support de phi,
ou du moins sur l'intervalle moins R, R qui contient le support de phi de 1
sur x plus in fois phi de x, dx.
Dans un deuxième
temps, on va retirer à phi sa valeur en zéro, en écrivant que,
cette intégrale peut se couper en deux parties, l'intégrale de
moins R à R, de phi de x moins phi de zéro
sur x plus i sur n, dx, plus la
valeur en zéro de phi intégrale de moins R
à plus R de dx divisé par x plus i sur n. Nous
allons maintenant traiter ces deux morceaux séparément.
Pour le premier, nous remarquons que par l'inégalité des accroissements finis,
phi de x moins phi de zéro en valeur absolue est majoré
par le sup de phi prime sur le support de phi ou
sur l'intervalle moins R, R multiplié par la valeur absolue de x.
Donc ce quotient
est majoré par x multiplié par
le sup de phi prime sur l'intervalle moins R,
plus R, divisé par le module de x
plus i sur n. Mais tout ceci est aussi majoré
par, tout simplement, le sup de phi prime sur
moins R, R. En effet, le module
de x plus i sur n au carré, est égal à x au carré
plus 1 sur n au carré, et donc il est plus grand que x au carré.
Donc le module de x plus i sur n est plus grand que le module de x, ou que
la valeur absolue de x, et donc le quotient x, en valeur absolue
sur le module de x plus i sur n, est majoré par 1.
Donc cette majoration nous permet de passer la limite, quand n tend
vers l'infini, en utilisant tout simplement
le théorème de convergence dominée, puisque
la fonction que nous avons ici, phi de x moins phi de
zéro sur x plus i sur n, est majorée indépendamment de n par
la fonction sup de phi prime sur moins R,
R, qui est une fonction intégrable sur moins R, R.
Donc par le théorème de convergence dominée,
nous obtenons la convergence du premier morceau,
vers
quelque chose que nous connaissons
déjà, qui est l'intégrale
de moins R à R de phi de x moins phi de
zéro sur x dx, et que nous avons appelée la
valeur principale de 1 sur x appliquée à phi.
Donc le premier morceau dans la décomposition de fn appliqué à phi
donne tout simplement la valeur principale de 1 sur x appliqué à phi.
Considérons maintenant
le deuxième morceau, donc c'est phi de zéro fois une intégrale,
donc il suffit de calculer maintenant la limite de cette intégrale.
Pour cela nous allons faire un calcul simple, qui consiste en multiplier
le quotient dx sur x plus i sur n, par le conjugué de x plus i sur n.
Donc x moins i sur n
divisé par le module au carré de x plus i sur
n, c'est-à-dire x au carré plus un sur n au carré, dx.
Donc vous voyez facilement que la partie réelle de cette intégrale
s'annule, puisque c'est l'intégrale sur moins R, R d'une fonction impaire.
En revanche la partie imaginaire ne s'annule pas et se calcule facilement,
et nous obtenons moins i multiplié par l'intégrale
de moins R à R de n, dx sur nx au carré plus 1.
Vous voyez j'ai préparé en multipliant par n au carré le changement de variable
ou du moins le, j'ai préparé le, la fonction à être intégrée facilement.
Et donc ce calcul-là me donne moins i, arc tangente de
nx, entre
moins R et R. Et donc ça donne tout
simplement moins i, arc tangente
de nR, moins arc tangente
de moins nR. Grâce aux propriétés
de l'arc tangente, quand n tend vers l'infini, grand R
positif étant fixé, cette expression converge vers moins i fois pi.
Ainsi, maintenant que nous connaissons la limite des deux morceaux de la
décomposition de fn phi, nous connaissons la limite de fn phi, limite quand n tend
vers l'infini de fn appliquée à phi, est égal à valeur principale
de 1 sur x appliquée à phi, moins i pi, phi de zéro.
Et donc nous obtenons que fn converge vers valeur principale de 1 sur
x, moins i pi, la masse de Dirac au point zéro,
et cette distribution est notée 1 sur x plus i zéro.
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