Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.
Corrigé exercice 2
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Initiation à la théorie des distributions
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Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
On considère dans cet exercice l'équation de Hoff qui a été vue, déjà,
dans le cours numéro 1 et qui s'écrit d t u plus u d x u est
égale à zéro, où d t u désigne la dérivée partielle de u par rapport
au temps et d x u désigne la dérivée partielle de u par rapport à x.
Je vais d'abord rappeler, pour cette équation, la définition
de courbes caractéristiques. Donc, on appelle gamma, une
courbe caractéristique. Voilà l'équation de gamma.
Déjà, gamma de zéro est égal à y, où y est un point donné de R.
Et, la dérivée de gamma, par rapport au temps, est
égale à u deux t,
de gamma de t.
L'intérêt de, des courbes caractéristiques c’est que
u est constant le long des courbes caractéristiques.
En effet, si on dérive, par rapport au temps,
u deux t et de gamma de t, on trouve,
d'une part, la dérivée de u par rapport
au temps, en t et gamma de t, plus,
par dérivation composée, gamma prime de t
multiplié par d x, u de t, de
gamma de t. Et en remplaçant gamma prime de t
par u de t, de gamma de t, on voit que l'on
retrouve l'équation de u, c'est-à-dire que cette quantité est égale à zéro.
Cela signifie que u est constant le long des courbes caractéristiques,
et ça a une conséquence très importante, bien sûr, c'est que, on
trouve, ici, u initial au point y.
Cela signifie
que les courbes caractéristiques sont des droites et que u est
constant le long de droites. Ainsi, l'équation de ces courbes
caractéristiques s'écrit gamma de t est égale à y, la condition initiale, le
point de départ de la courbe caractéristique, plus t multiplié
par u initial du point y.
L'exercice consiste à, à considérer
w gamma de t, qui est la dérivée de u par rapport à x le long
d'une courbe caractéristique, le long de la courbe caractéristiques qu’est gamma.
Donc on pose, w, gamma de t est égal à d x u, le long de la
courbe caractéristique, donc en t, gamma de t.
Et on nous demande de calculer l'équation de w gamma de t.
Et donc on va calculer la dérivée de w gamma par rapport au temps.
Donc c'est une dérivée, donc w ne dépend que du temps.
Donc, dans ce calcul, il est très similaire au calcul précédent,
on va d'abord dériver par rapport à la variable de temps.
Donc, on va trouver d t, d x u plus, maintenant je dérive par
rapport à la variable d'espace, on va trouver gamma prime de t,
dérivée seconde de u par rapport à x, le tout pris le long de la courbe
caractéristique, c'est-à-dire en t, gamma de t.
Maintenant, par, si je suppose que u est de classe C2, disons, je peux inverser
la dérivée par rapport au temps, la dérivée
par rapport à x, dans la première expression.
Donc, d t, d x u, c'est la même chose que d x, d t
u et d t u, je le remplace
par son expression venant de l'équation, c'est-à-dire, donc,
j'obtiens d x, moins u, d x u, puisque u vérifie l'équation de Hoff.
Et dans le deuxième terme, je remplace seulement gamma prime de t par u, donc
j'obtiens cette formule, et ceci étant toujours
pris le long de la courbe caractéristique c'est-à-dire, pour, en t, gamma de t.
Maintenant si j'observe que si je développe la première dérivée,
j'utilise la dérivée du produit, j'obtiens moins d x u
au carré, en t, gamma de t.
Et ce qui est très important c'est que, quand je continue
à développer la dérivée du produit, je trouve moins u, dérivée seconde
de u par rapport à x, mais ce terme s'annule
avec le deuxième terme, ici, u d x carré, u.
Et donc, en fait, on vient de calculer l'équation de w,
et ceci est égal à moins w, gamma carré de t, seulement.
Donc, on se rend compte qu'on a une équation très
simple, ça s'appelle une équation de Riccati sur w, y.
Quand on résout cette équation, c'est une équation
à variables séparées, très simple à résoudre, on retrouve la solution suivante
: w, gamma de t est égal à w, gamma de zéro, divisé
par 1 plus w, gamma de zéro, multiplié
par t. Avec une condition initiale, qui est w,
gamma de zéro qui vaut d x de u
initial au point y, le point de départ de la courbe caractéristique.
Si w, gamma de zéro est positif ou nul, alors
w, gamma de t est bien
défini, quel que soit
t positif. En quelque sorte,
il n'y a pas de problème le long de cette courbe caractéristique.
Si au contraire, w, gamma de zéro est strictement
négatif, alors lorsque le temps
t s'approche de moins 1 sur w,
gamma de zéro, la limite
de w, gamma de t est égale à moins l'infinie, ce
qui veut dire que la solution u de t et de x
ne peut pas rester régulière au-delà de ce temps.
C'est-à-dire que la solution n'est pas une
solution classique de l'équation de Burgers jusqu'à
ce temps-là. Et donc, maintenant, si on définit grand
T, qui est égal à l’inf
sur les y de R, c'est-à-dire l’inf sur les
courbes caractéristiques, sur toutes les courbes caractéristiques
du temps moins 1 sur d x,
u initial, en y, on vient de calculer le temps grand
T et le temps aux delà duquel la solution u ne
peut pas être définie comme une fonction de classe C2 en
temps et en x, et comme solution de l'équation de Burgers.
Donc c'est un majorant du temps d'existence maximal de la solution.
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