Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.
Corrigé exercice 16
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Initiation à la théorie des distributions
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Cours 5
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Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Dans cet exercice, nous allons faire un certain
nombre de calculs qui relient les masses de Dirac,
ou les distributions de Dirac à un certain
point, et leurs dérivées, avec le produit de convolution.
Le premier calcul est simple, il s'agit de calculer le produit
de convolution de la masse de Dirac en a, par la masse de Dirac en b, où a et b
sont deux points quelconques de R. Alors je rappelle que la masse
de Dirac en a appliquée à phi, donne tout simplement la valeur de phi au point a.
Je rappelle également par le cours, que la masse de Dirac convolée avec
une fonction test phi, donne une fonction, C infini, à support
compact, qui est exactement phi de x moins a.
Calculons maintenant la distribution, masse de Dirac en
a, convolée avec la masse de Dirac en b.
Par définition de la convolution des
distributions, ceci est égal à la masse de Dirac au point a,
appliquée à la masse de Dirac au point b tilda convolée
avec phi. Où la masse de Dirac en b tilda désigne
la masse de Dirac en b composée avec mon identité.
Donc ceci donne tout simplement la masse de Dirac au
point a appliquée à la masse de Dirac au point moins
b, convolée avec phi. Donc ceci nous donne la masse de
Dirac en a appliquée à la fonction test phi de x moins moins b.
Donc phi de x plus b. Et donc nous obtenons tout simplement phi
de a plus b, ce qui est la distribution delta de a plus b appliquée à phi.
Et donc nous avons démontré la formule, produit de convolution
de delta a avec delta b, est égal à delta de a plus b.
Nous allons maintenant procéder au calcul du produit de
convolution de x puissance m multiplié par delta zéro, dérivé
n fois, par x puissance p, la masse de Dirac en zéro dérivée
q fois.
Nous avons besoin du calcul, que nous avons effectué il y a
quelque temps sur les produits de monômes avec les dérivées des masses de Dirac.
Je vous rappelle le résultat principal que nous avions obtenu dans cet exercice: x
puissance m, multiplié par la masse de Dirac en zéro dérivée n fois, est égale
à zéro si m est strictement plus
grand que n, et est égale à moins 1 puissance
n moins m, multiplié par factoriel n, divisé par
factoriel de n moins m, le tout multiplié par la masse de Dirac en zéro
dérivée n moins une, n moins m fois,
si m est plus petit ou égal à n.
Nous allons utiliser ce calcul, fait dans un exercice précédent,
pour calculer le produit de convolution qui est demandé dans l'exercice.
Donc une première remarque très simple, c'est que si m est plus grand que n,
strictement, ou que p est strictement plus grand que q, alors, l'un des deux
termes du produit donne la distribution en zéro, et donc le produit de convolution
est égal à zéro. Dans ce cas-là, xm, delta zéro m, convolé
avec xp delta zéro, q,
est égal à zéro. Sinon, deuxième
cas, nous avons m plus petit ou égal à n et p qui est plus petit
ou égal à q.
Dans ce cas-là, nous pouvons utiliser
l'expression précédente pour chacun des termes.
Et donc, nous allons avoir le, les, constantes,
devant la masse de Dirac, qui se multiplient.
Donc nous allons obtenir x puissance m, delta zéro dérivé n fois,
convolé avec x puissance p, delta zéro dérivé q fois,
est égal à moins 1 puissance n moins m, d'une part.
Ensuite il y a moins 1 puissance q moins p, ceci est multiplié
par factoriel n, factoriel q, divisé
par n moins m factoriel, q moins p factoriel.
Ensuite, nous avons delta zéro de n moins m,
convolé avec delta zéro dérivé q moins p fois.
Nous savons par les propriétés du produit de
convolution, que la dérivée peut être mise sur le
terme que l'on veut, quand on dérive un
produit de convolution, et donc en fait, l'expression que
nous avons entre parenthèses, c'est tout simplement la dérivée d'ordre n moins
m, plus q moins p, de delta zéro convolé avec delta zéro.
Par les propriétés de dérivation du produit de convolution.
Donc nous retrouvons la constante précédente, multipliée
par delta zéro convolé avec delta zéro,
dérivé n moins m, plus q, moins p fois.
Et, vous savez que delta zéro convolé avec delta zéro
donne tout simplement delta zéro puisque delta zéro est l'élément
neutre du produit de convolution, et donc nous avons trouvé
une expression simple pour le produit de convolution qui était demandé.
Nous passons maintenant à la troisième question de cet exercice,
il s'agit de calcul relié au produit de convolution de
deux fonctions indicatrices d'intervalle. L'intervalle a, b, et l'intervalle c, d.
Et nous présenterons après une présentation de ce calcul.
Donc nous considérons a plus petit que b, c plus petit que d,
strictement, et nous allons calculer le produit de convolution de
l'intervalle a, b par la fonction indicatrice de l'intervalle c, d.
Dérivée deux fois.
L'intérêt de dériver deux fois, c'est que nous
pouvons placer une dérivation sur chacun des termes.
Donc nous distribuons les deux dérivations, une sur le premier
terme, l'autre sur le deuxième terme. Et donc nous obtenons, au sens des
distributions, dérivée de la fonction indicatrice de a, b, convolée avec
la dérivée première de la fonction indicatrice de l'intervalle c, d.
Par la formule des sauts, ces dérivations se calculent facilement.
Donc comme il s'agit d'une fonction indicatrice, elle vaut zéro pour
x plus petit que a, elle vaut 1 pour x compris
entre a et b, et ensuite à nouveau zéro pour x plus grand que b.
Et donc nous voyons que cette fonction est constante en tout
point, sauf aux points a et b, où elle n'est pas continue.
Donc sa dérivée, au sens classique, là où c'est possible, vaut zéro, et nous avons
deux sauts, un saut au point a et un saut au point b, qui est un saut négatif.
Et donc nous trouvons delta de a moins delta au point b, et de manière analogue,
pour la fonction indicatrice de l'intervalle c, d, nous trouvons la masse
de Dirac au point c, moins la masse de Dirac au point d.
Nous allons maintenant utiliser l'associativité du produit
de convolution par rapport à la soustraction.
Donc nous allons distribuer, si vous voulez,
ce produit de convolution, nous trouvons masse
de Dirac au point a, convolée avec la masse de Dirac au point c.
Nous avons vu au début de l'exercice que cela
donnait masse de Dirac au point a plus c.
Ensuite nous avons moins, la masse de Dirac au point
a, convolée avec la masse de Dirac au point d.
Cela nous donne la masse de Dirac au point a plus d.
Ensuite nous avons le produit de convolution de la masse de Dirac au
point b par la masse de Dirac au point c, avec un signe moins.
Donc masse
de Dirac au point b plus c, et finalement, plus masse de Dirac au point b plus d.
Donc il s'agit d'une combinaison linéaire de quatre masses
de Dirac aux points a plus c, a plus
d, b plus c et b plus d, avec
des pondérations plus 1 ou moins 1, selon les cas.
Alors pour faire un schéma de la situation, nous allons supposer
que a plus d est plus petit que b plus c, dans la cas inverse, la discussion serait
tout à fait analogue, dans tous les cas, quels
que soient les intervalles, bien sûr nous avons a plus
c est plus petit que a plus d, que b plus c et que b plus d, et nous avons
que b plus d est plus grand que b plus c, a plus d et a plus c.
Donc si nous voulons faire un croquis de la situation,
nous obtenons quelque chose comme ça, donc je place ici le point a plus c, je
place ici le point a plus d, je place là le
point b plus c, et ensuite je veux placer le point b plus d, alors
je fais bien attention pour que mon dessin soit juste, que cette longueur-là,
c'est la longueur de l'intervalle c,d, est la même que
la longueur de l'intervalle b plus c et b plus d.
Donc ces deux longueurs sont les mêmes.
Et donc une fois que j'ai tracé ces quatres points, j'ai,
le calcul précédent m'a donné que la dérivée seconde du produit de
convolution des deux fonctions indicatrices est égale à des masses de
Dirac placées en ces points, avec des pondérations différentes selon le point.
Donc ce sont les quatre points, ces quatre points forment le
support de la distribution dérivée seconde de ces fonctions indicatrices convolées.
Donc le calcul finalement, de l'exercice, est
terminé, nous allons en faire une application.
Ce que me permet de faire cette
formule, c'est d'intégrer deux fois, en quelque sorte,
pour me permettre d'obtenir la fonction indicatrice
de a, b convolée avec la fonction indicatrice
de c, d.
Alors bien sûr ce calcul serait
possible directement, nous voyons que comme l'intervalle
a, b est borné, l'intervalle c, d
est également borné, les fonctions indicatrices de
ces intervalles sont des fonctions intégrables sur
R, et donc nous pouvons définir le
produit de convolution de ces deux fonctions,
et nous pouvons d'ailleurs aussi le calculer.
Il se trouve que le calcul par l'intermédiaire des
masses de Dirac est plus simple que le calcul direct,
et nous permet de voir une propriété de façon relativement simple.
Alors par exemple si nous prenons la
dérivée première de ce produit de convolution,
il nous faut intégrer, en quelque sorte
au sens des descriptions, ces masses de Dirac.
Alors quand nous intégrons il y a toujours,
il faut toujours faire à une constante près.
Ici la constante doit être nulle à l'infini, et même
nulle à l'extérieur, disons pour x plus petit que a plus
c et x plus grand que b plus d, tout
simplement parce que le produit de convolution de ces deux
fonctions indicatrices a pour support, a un support inclus dans
la somme de l'intervalle a, b et de l'intervalle c, d.
Donc, la fonction dérivée première est également nulle
pour x plus petit que a plus c.
Donc je trace la fonction dérivée première en rouge, nous
avons ici la valeur zéro, pour cette fonction-là nous avons un
saut de plus 1 au point a plus c.
Donc cette fonction prend la valeur 1 en ce point,
à partir de ce point-là, jusqu'au point a plus d.
Au point a plus d, il y a un saut négatif,
de 1, donc cette fonction dérivée première prend maintenant cette valeur-là.
Continuons.
Ici il y a un saut à nouveau négatif, donc la fonction devient moins 1,
sur cet intervalle.
Ensuite en b plus d nous avons un saut positif, et donc la
valeur prend à nouveau la, la fonction prend à nouveau la valeur zéro, ce
qui est, disons, tout à fait cohérent avec le fait que la fonction doit être nulle à
l'extérieur de a plus b, de a b plus c d.
Donc ça, il s'agit du graphe de la dérivée première, donc puisque nous avons
le graphe, d'ailleurs, nous pouvons écrire la formule : fonction indicatrice
de a, b convolée avec la fonction indictrice de c, d dérivée
une fois, est égale à la fonction indicatrice de a
plus c, a plus d, moins la fonction
indicatrice de b plus c, b plus d.
Ceci amène tout de suite une constatation intéressante, nous voyons que la
dérivée au sens des distributions de ce produit de convolution est une fonction.
Alors ce n'est pas une fonction continue, mais
c'est une fonction, en particulier il n'y a
pas de masse de Dirac, et donc le
produit de convolution lui-même sera une fonction continue.
Et cette fonction continue est facile à tracer,
alors je la trace en vert, je trace maintenant
la fonction 1 de a, b convolée avec fonction indicatrice de c,
d, donc elle est nulle, cette fonction est nulle pour x plus petit que a plus c, elle
a une pente égale à 1 à partir du point a plus c jusqu'au
point a plus d, en ce point, sa pente devient à zëro, puisque sa dérivée est
nulle, et ensuite elle a une pente de moins 1.
Et alors, il est très important à ce niveau d'avoir
remarqué que ces deux intervalles ici sont de même longueur,
donc comme la pente est opposée, nous allons exactement revenir
en zéro, à la valeur zéro au point b plus d.
Donc nous venons de tracer le produit
de convolution de la fonction indicatrice de a,
b par la fonction indicatrice de c, d, en particulier
nous voyons que c'est effectivement une fonction continue, donc on pourrait
écrire son expression, mais pour cet exercice nous avons suffisamment illustré
la possibilité d'avoir calculé la dérivée seconde de cette fonction.
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