Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.
Corrigé exercice 15
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Initiation à la théorie des distributions
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Cours 5
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Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Dans cet exercice, on considère une distribution sur
R 2, dont on suppose que la dérivée
partielle par rapport à la première variable, x,
est égale à zéro, au sens des distributions,
et, on cherche à montrer que cette distribution
peut s'écrire sous la forme du produit tensoriel
de la distribution 1, avec une distribution S
qui ne dépend que de la deuxième variable.
Autrement dit, on dit que T est constant sur la première variable.
La résolution de cet exercice est similaire, mais un petit peu plus
complexe, à celle de l'exercice équivalent
en dimension 1, c'est-à-dire quand on aura supposé que pour une distribution T
dans R, T prime égal à zéro implique T
égal à constante. Donc, on va procéder de façon analogue, on
considère une fonction test khi
d'intégrale égale à 1, sur R, donc c'est une
fonction à une seule variable, et on suppose,
pour simplifier, que son support est inclus dans l'intervalle
moins 1, plus 1. Soit maintenant
phi, une fonction C infini à support compact,
sur R 2, et on suppose
pour avoir une notation, que son support est
inclus dans moins R plus R au carré, où R est un nombre
strictement positif.
À partir de phi, on va définir une autre fonction,
phi tilde, qui sera la dérivée partielle par rapport à x d'une autre fonction test.
Donc, pour cela il faut assurer que phi tilde soit d'intégrale nulle en x, pour
tout y. Donc, on pose phi tilde de x
et de y égal à phi de
x et de y moins la fonction khi de x multipliée
par l'intégrale en x sur R de phi, de
x prime, y, dx prime, à y fixe.
Alors, phi tilde est aussi C infini à support
compact sur R 2. La première chose c'est qu'on
voit facilement que phi tilde est C infini, puisque c'est
la, la somme de fonctions C infini. Montrons maintenant
que phi tilde est également à support compact sur R 2.
C'est facile à voir puisque si y est plus grand que R, en valeur absolue,
alors phi tilde est égal à zéro puisque phi lui-même est égal à zéro, et que son
intégrale en x est également égale à zéro puisque
y est plus grand que R en valeur absolue.
Donc, dans ce cas-là, phi tilde est bien égal à zéro.
Maintenant prenez x, qui est plus grand, à 1, et plus grand que R également,
alors, phi tilde est également nul, puisque khi de x
sera nul, puisque x en valeur absolue est plus grand que
1, et que phi est également nul puisque x en valeur absolue est plus grand que R.
Donc, on a bien vérifié que phi tilde était C infini à support compact.
De plus, on a la propriété qu'on voulait sur phi tilde, à savoir
que, quel que soit y dans R, l'intégrale
sur R de phi tilde de x prime, y, dx prime,
est égale à zéro. De ce fait, on va définir une fonction
test, une autre, psi, qui sera en quelque sorte la primitive de phi tilde par
rapport à x. Donc, on pose psi de x et de
y, égal à l'intégrale de moins l'infini à x
de phi tilde de x prime, y, dx prime.
Pour la même raison que tout à l'heure, comme phi tilde
est C infini, est à support compact, quand on l'intègre, quand on
l'intègre par rapport à x, et quand on regarde le résultat comme
fonction de x et comme fonction de y, les résultats de régularité
des intégrales à paramètres nous montrent que psi est une fonction C infini en
x et en y, donc psi est une fonction C infini sur R 2.
Regardons maintenant son support.
D'abord, il est facile de voir que pour y plus grand que
R, psi de x et de y est bien égal à zéro.
Pour la même raison que tout à l'heure, c'est
que psi tilde est égal à zéro pour valeur
absolue de x plus grand que y.
Maintenant, si x est plus petit que moins le max de 1
et de R, alors psi est égal à zéro, car dans l'intégrale de
moins l'infini à x, sur psi tilde vaut zéro,
donc, l'intégrale moins l'infini à x de psi tilde est égale à zéro dans ce cas-là.
Maintenant, si x est plus grand que plus le max de 1 et
de R, alors psi, en fait, est égal à l'intégrale
de moins l'infini au max de 1 et de R de phi
tilde, x prime, y, dx prime,
mais ceci est égal à zéro, puisque c'est la même chose que l'intégrale de phi tilde
sur R tout entier.
Ceci est dû au fait que, pour x plus grand que
max de 1 et de R, phi tilde est égal à zéro.
Par les calculs précédents, nous avons donc la possibilité de décomposer la
fonction phi, qui était une fonction test quelconque sur R 2, en la
dérivée partielle de psi par rapport à x, où psi est une
autre fonction test, plus khi de x multiplié par
l'intégrale sur R de phi de x prime, y, dx prime.
Cette formule est obtenue en dérivant psi par rapport à x, et en
remplaçant phi tilde par son expression, en fonction de phi et de khi.
Maintenant, nous avons obtenu cette décomposition,
nous pouvons appliquer la distribution T à la fonction test phi.
T appliqué à phi est égal à T appliqué à
dx, psi, et par linéarité, plus T
appliqué à la fonction test khi de x multiplié
par intégrale sur R de phi de x prime, y, dx prime.
Dans cette somme, le premier terme est égal à zéro, puisque le
premier terme ici est égal à moins dérivée partielle de T par
rapport à x appliqué à psi, mais ceci vaut zéro, puisque la
dérivée partielle de T par rapport à x est supposée égale à zéro.
Maintenant, le deuxième terme donne une expression particulière pour T phi,
et cette expression nous donne l'idée de la distribution S à une variable
que nous devons prendre pour trouver l'égalité T égale produit
de tensoriel de 1 par S. Donc, pour une fonction test phi sur R
seulement, donc à une variable, la variable y, on
pose, on choisit, S, phi, est
égal à T, khi de x,
phi de y. Alors, pourquoi ceci est bien défini?
Tout simplement parce que quand vous avez une fonction test khi de x,
multipliée par une autre fonction test phi de y dans la variable y,
ceci forme bien une fonction test de R 2, et donc on peut
bien appliquer la distribution T au produit khi de x, phi de y.
Et maintenant,
ceci, la fonction khi a été fixée, c'est bien
une distribution pour phi, c'est-à-dire une distribution en une variable.
Il est très facile de vérifier la linéarité de S, et c'est également assez
simple de vérifier la continuité de S au sens du cours à partir de la continuité
de T et de la formule de Leibniz appliquée à khi de x, phi de y.
Donc, S est bien
une distribution à une variable. De plus, c'est
bien la distribution que l'on cherchait, parce que produit
tensoriel de 1 par S appliqué à la fonction
test phi, de deux variables, est égal à, par définition du produit
tensoriel, à 1, distribution associée à la fonction 1,
appliquée à phi. Ce produit tensoriel ne concerne que les
variables x, et le produit tensoriel en S concerne
la variable y. Par définition de la distribution associée
à la fonction constante égale à 1, ceci est égal à distribution S appliquée
à l'intégrale de phi de x, y, dx, intégrale sur R.
Ce produit de dualité étant pris en y, et par définition
de la distribution S, nous voyons que ceci est égal à T appliqué à
la distribution khi de x, intégrale
en R de phi de x, y, dx. Et
ceci, nous avons démontré, en haut de la page,
que c'était égal à T appliqué à phi. Ainsi, nous
avons démontré que la distribution
S étant définie comme il a été dit, on a bien T égal produit tensoriel
de 1 par S.
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