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Le but de cet exercice est de démontrer que,
si une distribution, dans un intervalle a une dérivée égale
à zéro, alors, cette distribution est, en fait, une
fonction constante, c'est la distribution associée à une fonction constante.
Cet exercice est divisé en deux questions.
Dans la première question, nous allons montrer que si
nous avons une fonction, une fonction test sur i, alors,
cette fonction test, peut être écrite comme la dérivée d'une autre fonction
test si, et seulement si, son intégrale sur l'intervalle a,b est égale à zéro.
Donc, prenons, considérons donc,
une fonction test phi. Donc, C infini un support
compact dans l'ouvert a,b. Et supposons que son
support est inclus dans l'intervalle
fermé c,d, où a est strictement plus petit que C,
strictement plus petit que d, strictement plus petit que b.
On pose psi de x est égal
à l'intégrale de a à x, de phi de y, dy. Il est très
facile de voir que la fonction psi, bien sûr, est C infini.
Nous complétons sa définition donnée, ici, pour x plus grand que a, par
le fait que psi est égal à zéro pour x plus petit que a.
Avec cette définition, si l'intégrale de a à b de phi
est égale à zéro, comme phi est nul pour x plus
grand que d, nous voyons que psi
est également un support dans l'intervalle fermé c,d.
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Donc, nous avons démontré une implication qui est
que, si l'intégrale est nulle, alors on peut écrire phi sous la forme
de la dérivée de psi, donc, sous la forme de la dérivée d'une autre fonction test.
Réciproquement, il est facile de voir que si phi s'écrit sous
la forme psi prime, alors, son intégrale est nulle.
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Phi égal à psi prime, où psi est
une fonction C infini à support compact dans a,b.
Alors, nécessairement, l'intégrale de a à b de phi est égale
à psi de b moins psi de a, qui sont tous les deux nuls, donc, on trouve zéro.
Donc, l'équivalence est démontrée.
Deuxième question. Je considère une
fonction test khi sur l'intervalle i, dont je suppose que l'intégrale est égale à un.
Je considère, maintenant, une fonction test phi, un
support dans a,b, je ne fais aucune autre hypothèse sur la fonction phi.
Mais à partir de la fonction phi, je vais construire
une autre fonction test, qui sera
l'intégrale nulle, grâce à la fonction khi.
On pose phi tilde de
x est égal à la fonction test phi de x moins
khi de x multiplié par l'intégrale de a,b, de phi.
On voit très facilement que phi tilde est
l'intégrale nulle sur a,b.
Et donc, cela peut s'écrire comme une dérivée, d'après la question petit a.
Donc, on peut voir phi tilde comme la dérivée d'une certaine fonction psi.
Ainsi, je réécris phi de x comme la dérivée d'une fonction test psi de
x, plus la fonction test khi de x multiplié par le scalaire
intégral de phi sur l'intervalle i. Grâce à ce calcul, je peux
maintenant calculer la distribution T testée contre phi.
Donc, T contre phi, par linéarité, est égal à T contre
psi prime plus T contre khi de x qui, disons,
intégrale de phi. T contre psi prime est égal à zéro,
parce que c'est la même chose que moins T prime contre psi.
Et ensuite, le deuxième terme est égal à l'intégrale de
phi sur l'intervalle i, T contre khi. Si
maintenant, j'appelle C égale T khi, on se rend
compte que la distribution T n'est rien d'autre que la fonction
grand C.
Nous avons bien démontré que si T prime est égal à zéro, alors, T est
une constante, ou T est la distribution
associée à la fonction constante égale à C.
Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
