Bode de malha aberta x Bode de malha fechada: cálculo ponto a ponto?

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Controle Usando a Resposta em Frequência

94 оценки

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle Usando a Resposta em Frequência

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Neste curso você aprenderá a obter a resposta em frequência de um sistema Linear e Invariante no Tempo (LIT) e a usá-la para projetar controladores que atinjam requisitos de reposta transitória e em regime estacionário. Você aprenderá a obter o diagrama de Bode a partir de dados de amplitude e fase de entradas e saídas senoidais. Também será capaz de esboçar o diagrama de Bode de um sistema dada a sua função de transferência. Outrossim, será capaz de representar a resposta em frequência na carta de Nichols-Black. A fim de se determinar a estabilidade do sistema, você aprenderá a aplicar o critério de Nyquist, que faz uso da resposta em frequência em malha aberta e permite determinar se um sistema será estável em malha fechada. Ao fim do curso, você será capaz de projetar controladores com dinâmica, isto é, com polos e zeros, portanto mais complexos do que um simples ganho de realimentação. Essa flexibilidade permitirá que você projete controladores para satisfazer simultaneamente requisitos de sobressinal e tempo de resposta que seriam impossíveis de atender com um simples ganho. Também poderá com isso alterar as características da resposta em regime estacionário, aumentando as constantes de erro sem alterar (muito) a resposta transitória. Por fim, você aprenderá a projetar controladores do tipo PD, PI e PID, que estão entre os mais disseminados em aplicações de engenharia de controle.

Из урока

Carta de Nichols-Black. Especificação de desempenho no domínio da frequência.

Você aprenderá a representar a resposta em frequência graficamente de outra maneira: a carta de Nichols-Black. Você será capaz de relacionar a amplitude do pico de ressonância da resposta em frequência de malha com o fator de amortecimento do sistema em malha fechada. Também será capaz de relacionar a frequência de cruzamento de 0 dB em malha aberta com a frequência natural em malha fechada. Assim, poderá projetar controladores proporcionais para atingir sobressinal desejado ou tempo de resposta requerido, apenas a partir da resposta em frequência de malha aberta do sistema.

Bode de malha aberta x Bode de malha fechada: cálculo ponto a ponto?5:08

A carta de Nichols-Black3:34

O cruzamento de 0dB e a PM na Carta de Nichols-Black: efeito do ajuste de ganho.3:09

Bode e Nichols-Black de 2ª ordem, visualizando a relação entre Margem de Fase em MA e o pico de ressonância em MF e entre ωc em MA e ωn em MF.4:48

Nichols-Black/Bode de 2ª e 3ª ordem. Estender relações entre ωc e ωn e entre ξ e PM de sistema de 2ª ordem do Tipo 1 para qualquer sistema.6:08

Познакомьтесь с преподавателями

Rubens Junqueira Magalhães Afonso
Professor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Jackson Paul Matsuura
Professor Associado
Departamento de Sistemas e Controle

Olá!

Neste vídeo você verá como podemos obter o diagrama de Bode de

malha fechada a partir do de malha aberta para realimentação unitária.

Vamos começar relembrando a topologia de sistema

malha fechada com realimentação unitária negativa,

como visto na figura ao lado.

A partir dessa figura, usando pouco de álgebra de blocos,

você já viu que a função de transferência fechada é dada por: T

de s igual a K G de s sobre 1 mais K G de s.

Para obter a resposta frequência basta fazer s igual a j ômega,

obtendo T de j ômega igual a K G de j ômega sobre 1 mais K G de j ômega.

Se dispusermos de G de j ômega de maneira tabelada é

relativamente simples calcular T de j ômega e obter uma tabela,

extraindo depois o módulo dB e a fase de T de j ômega se conhecermos K.

Vamos mais uma vez recorrer ao exemplo do circuito RC,

mostrado ao lado para relembrar: temos a fonte, resistor e capacitor.

Então a tabela de G de j ômega para resistor

de 470 kilo ohms e capacitor de 220 nanofarads é

mostrado ao lado e T de j ômega foi calculado supondo K igual a 1.

[SEM ÁUDIO] E

podemos obter a magnitude dB e a fase de T de j ômega graus.

É claro que,

para construir diagrama detalhado teríamos que fazer esse cálculo para mais pontos.

O diagrama de T de j ômega ficaria então como ao lado: magnitude

azul e fase vermelho.

Seria também possível

obter uma expressão literal para T de s, dado que conhecemos G de s.

T de s igual a K G de s sobre 1 mais K G de s,

que é igual a K sobre sRC mais 1 sobre

1 mais K sobre sRC mais 1,

que é igual a K sobre sRC mais K mais 1,

de onde T de j ômega é igual a K

sobre j ômega RC mais K mais 1.

Assim podemos determinar facilmente módulo e fase de

T de j ômega inclusive com K variando.

Mas isso nem sempre é possível, por exemplo, você aprendeu que uma

das vantagens de se usar a resposta frequência é justamente obter

modelo sem necessitar saber explicitamente qual é a função de transferência.

Nesse caso o que temos pode ser somente o diagrama de Bode por exemplo.

Assim obter módulo e fase de T de j ômega, ponto a ponto a partir de módulo

e fase de G de j ômega pode ser processo muito tedioso e demorado.

As fórmulas para isso seriam: para magnitude módulo de T de j

ômega dB seria igual ao módulo de K vezes G

de j ômega sobre 1 mais K de G de j ômega, tudo isso dB.

Que é igual ao módulo de K de G de j ômega dB menos o módulo de 1 mais K de G de

j ômega dB, isso por sua vez será igual ao módulo de K de G de j ômega

dB menos 10 vezes o log de 1 mais módulo

de K de G de j ômega cosseno da fase de G de j ômega,

tudo isso ao quadrado, mais módulo de K de G de j ômega ao quadrado,

seno ao quadrado da fase de G de j ômega.

E para a fase, a fase de T de j ômega será

igual a fase de K G de j ômega sobre 1 mais K G de j ômega,

que é igual a fase de K de G de j ômega menos a fase de 1 mais de K G de j ômega.

Por sua vez, isso é igual a fase de G de j ômega para K maior do que 0 menos o

arco tangente de módulo de K G de j ômega vezes seno da fase G de j ômega

sobre 1 mais módulo de K G de j ômega vezes cosseno da fase de G de j ômega.

Complicado, não?

Imagine ter que ler ponto a ponto fase e módulo de G de j ômega para

aplicar essas fórmulas?

E ter que recalcular tudo para cada valor desejado do ganho K.

Certamente é uma alternativa, que na falta de qualquer outra resolveria o nosso

problema, mas como você já sabe, o uso das técnicas no domínio da frequência

permite evitar contas grandes usando mais resultados de gráficos e medidas.

Então, você verá no próximo vídeo como obter a fase e o ganho de T

de j ômega a partir de G de j ômega e

gráfico parametrizado nesses valores: a carta de Nichols-Black.

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