Olá!
Neste vídeo você verá como podemos obter o diagrama de Bode de
malha fechada a partir do de malha aberta para realimentação unitária.
Vamos começar relembrando a topologia de sistema
malha fechada com realimentação unitária negativa,
como visto na figura ao lado.
A partir dessa figura, usando pouco de álgebra de blocos,
você já viu que a função de transferência fechada é dada por: T
de s igual a K G de s sobre 1 mais K G de s.
Para obter a resposta frequência basta fazer s igual a j ômega,
obtendo T de j ômega igual a K G de j ômega sobre 1 mais K G de j ômega.
Se dispusermos de G de j ômega de maneira tabelada é
relativamente simples calcular T de j ômega e obter uma tabela,
extraindo depois o módulo dB e a fase de T de j ômega se conhecermos K.
Vamos mais uma vez recorrer ao exemplo do circuito RC,
mostrado ao lado para relembrar: temos a fonte, resistor e capacitor.
Então a tabela de G de j ômega para resistor
de 470 kilo ohms e capacitor de 220 nanofarads é
mostrado ao lado e T de j ômega foi calculado supondo K igual a 1.
[SEM ÁUDIO] E
podemos obter a magnitude dB e a fase de T de j ômega graus.
É claro que,
para construir diagrama detalhado teríamos que fazer esse cálculo para mais pontos.
O diagrama de T de j ômega ficaria então como ao lado: magnitude
azul e fase vermelho.
Seria também possível
obter uma expressão literal para T de s, dado que conhecemos G de s.
T de s igual a K G de s sobre 1 mais K G de s,
que é igual a K sobre sRC mais 1 sobre
1 mais K sobre sRC mais 1,
que é igual a K sobre sRC mais K mais 1,
de onde T de j ômega é igual a K
sobre j ômega RC mais K mais 1.
Assim podemos determinar facilmente módulo e fase de
T de j ômega inclusive com K variando.
Mas isso nem sempre é possível, por exemplo, você aprendeu que uma
das vantagens de se usar a resposta frequência é justamente obter
modelo sem necessitar saber explicitamente qual é a função de transferência.
Nesse caso o que temos pode ser somente o diagrama de Bode por exemplo.
Assim obter módulo e fase de T de j ômega, ponto a ponto a partir de módulo
e fase de G de j ômega pode ser processo muito tedioso e demorado.
As fórmulas para isso seriam: para magnitude módulo de T de j
ômega dB seria igual ao módulo de K vezes G
de j ômega sobre 1 mais K de G de j ômega, tudo isso dB.
Que é igual ao módulo de K de G de j ômega dB menos o módulo de 1 mais K de G de
j ômega dB, isso por sua vez será igual ao módulo de K de G de j ômega
dB menos 10 vezes o log de 1 mais módulo
de K de G de j ômega cosseno da fase de G de j ômega,
tudo isso ao quadrado, mais módulo de K de G de j ômega ao quadrado,
seno ao quadrado da fase de G de j ômega.
E para a fase, a fase de T de j ômega será
igual a fase de K G de j ômega sobre 1 mais K G de j ômega,
que é igual a fase de K de G de j ômega menos a fase de 1 mais de K G de j ômega.
Por sua vez, isso é igual a fase de G de j ômega para K maior do que 0 menos o
arco tangente de módulo de K G de j ômega vezes seno da fase G de j ômega
sobre 1 mais módulo de K G de j ômega vezes cosseno da fase de G de j ômega.
Complicado, não?
Imagine ter que ler ponto a ponto fase e módulo de G de j ômega para
aplicar essas fórmulas?
E ter que recalcular tudo para cada valor desejado do ganho K.
Certamente é uma alternativa, que na falta de qualquer outra resolveria o nosso
problema, mas como você já sabe, o uso das técnicas no domínio da frequência
permite evitar contas grandes usando mais resultados de gráficos e medidas.
Então, você verá no próximo vídeo como obter a fase e o ganho de T
de j ômega a partir de G de j ômega e
gráfico parametrizado nesses valores: a carta de Nichols-Black.