Здравствуйте, мы продолжаем наш курс лекций. В этой лекции мы рассмотрим разнообразные физические приложения понятия производной, конечно, всех, даже малой части этих приложений, охватить не удастся, посмотрим лишь на некоторые из них, на самые простые, те которые очень часто встречаются на практике. И начнем с приложений механических, и вообще большей частью приложения будут именно механические. Прежде всего определим с помощью производной понятие скорости материальной точки. Рассмотрим материальную точку, которая двигается по некоторой известной траектории. Причем, мы будем предполагать, что движение задано, так называемым координатным способом, то есть тогда, когда мы знаем зависимость всех трех координат точки от времени. Или то же самое можно задать положение точки, радиус-вектором и смотреть, как зависит радиус-вектор от времени. Получается зависимость r = r(t) в векторах, эта зависимость в общем виде записана. Вводится понятие перемещения точки за известное время Δt. Это разность радиус-вектора точки в момент t0 + Δt и t0. Величина векторная. Ни в коем случае не следует путать перемещение и путь. Перемещение — это вектор, фактически соединяющий начальную и конечную точки, для данного промежутка времени, а путь — это длина соответствующей части траектории, которая пройдена телом за это время. На слайде сейчас показан рисунок, который демонстрирует, во-первых, понятие перемещения, там показаны два радиус-вектора. Радиус-вектор в момент времени t и в момент времени t + Δt и их разность, вектор Δr, который, как раз играет роль перемещения. Теперь, точно так же как в конце предыдущей лекции мы смотрели, как секущая переходит в положение касательной, когда мы устремляем приращение аргументы к нулю, так же и здесь, мы будем устремлять к нулю промежуток времени, который мы рассматриваем. Тогда, как видно, перемещение вектор Δr, начинает так же переходить в положение касательное по отношении к траектории. На картинке это показано с помощью нескольких векторов. И тогда, затем составляется отношение перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение происходит, и выполняем переход к пределу при Δt → 0. В результате получается вектор, который по определению называется вектор вектор мгновенной скорости материальной точки. Предел при Δt → 0, Δr/Δt. Если записать то же самое в координатах, то получится, что проекция на ось х — dx/dt, в проекции на ось y — dy/dt, в проекции на ось z — dz/dt. При этом еще раз подчеркнем, что скорость направлена по касательной траектории. Иногда это формализуют с помощью введения, так называемого единичного вектора касательной, он строится в любой точке кривой, рассматриваемой точке, направлен по касательной и имеет единичный модуль. И тогда вектор скорости можно представить в виде некоторой величины скалярной — vτ — собственной величины скорости, умноженной на вектор τ — касательный единичный вектор к траектории. Можно даже заметить, что величина vτ может браться со знаком, если направление вектора τ никак не связано с направлением движения точки по траектории. Хотя, как правило, конечно, направление вектора τ выбирают именно такое же, что бы оно совпадало с направлением движения точки по траектории. Это мы определили вектор скорости. Если мы хотим определить модуль скорости, то делается в принципе та же самая процедура, только при вычислении предела нужно брать не сам вектор перемещения, а его модуль. И тогда получится предел при Δt → 0, модуль Δr в пределе, когда Δt → 0. Это фактически получится просто длина той дуги-траектории, которая проходит за рассматриваемое время Δt. Опять-таки в предел Δt → 0, как мы знаем, получится просто dt, т. е. модуль скорости v. Получается производная ds/dt — производная пути по времени. Имеется ввиду, конечно, пройденный путь. Если модуль скорости оказывается независящим от времени, то движение точки называется равномерным. Направление вектора скорости может при этом вполне изменяться. Так может быть рассмотрено, например, движение точки по окружности. Если мы говорим о движении с постоянной скоростью, то в данном случае следует уточнять, что мы имеем в виду именно движение с постоянной по модулю скоростью, потому что скорость направлена по касательной и соответственно в каждый момент времени вектор скорости будет менять свое направление. Отсюда возникает два вида понятия ускорения. Вообще говоря, есть ускорение, связанное с изменением скорости по модулю; есть ускорение, связанное с изменением скорости по направлению. Мы в эти вопросы сейчас не вдаемся. Просто можно для себя отметить, что как скорость является производной радиус-вектора по времени, так ускорение является производной скорости по времени, и то, что если скорость всегда направлена по касательной траектории, то у ускорения есть две составляющие: часть, которая направлена по касательной — так называемое тангенциальное ускорение. Оно связано с изменением модуля скорости. И другая часть, которая не направлена по касательной, направление сейчас не уточняем. Рассмотрим конкретный пример. Затухающие колебания. Затухающие гармонические колебания. Колебания описываются в данном случае законом x(t) = a0 e^(-βt) sin ωt. Такие колебания возникают в том случае, когда на точку действуют силы сопротивления, которые зависят линейно от скорости. В результате получается график, изображенный на этом слайде. График зависимости x(t). Как видно, это колебания, у которых амплитуда затухает. Затухает она по экспоненциальному закону и нужно отметить, что нули этой функции x(t) расположены на равных расстояниях друг от друга. Эти расстояния определяются частотой колебания ω. Если мы продифференцируем эту зависимость x(t) по времени, то мы найдем проекцию скорости при движении материальной точки, проекцию скорости на ось x. Эта оговорка важна, потому что скорость сама по себе, если мы говорим обычно о модуле скорости, то речь идет о положительной величине. В данном же случае величина vx может принимать и отрицательные значения. Это определяется тем, движется материальная точка в направлении оси x или в противоположном направлении. После вычисления производной мы получаем выражение, которое написано на слайде. И допустим, мы хотим выяснить, в каких точках производная обращается в ноль. Т. е. фактически мы ищем точки, в которых момент времени, в которых материальная точка просто останавливается. Это несложное тригонометрическое уравнение. Оно здесь выписано, и оно имеет бесчисленное множество координат. Интерес представляет посмотреть на графики зависимости x(t) и vx(t). Мы посмотрим на эти два графика, построенных в одних осях, как показано на этом слайде. График зависимости x(t) показан по-прежнему черным цветом. Красным цветом показан график зависимости проекции скорости vx(t). Можно заметить, что в тех точках, которые мы только что нашли, в которых vx обращается в 0, функция x(t) имеет экстремумы. Фактически материальная точка достигает амплитудных значений. Фактически в этих точках координата тела достигает своих амплитудных значений, напомню, амплитуда убывает. Это связано с геометрическим смыслом производной. Как мы знаем, геометрический смысл заключается в том, что производная функция в точке — это угловой коэффициент касательной, проведенный к графику в соответствующей точке. Если мы рассматриваем точку экстремума, то в ней, как легко видеть, касательная параллельна оси абсцисс. Соответственно угловой коэффициент равен 0. Ну это как раз и значит, что производная, т. е. скорость в этой точке обращается в 0. Именно это мы и наблюдаем на графике.
