Рассмотрим для начала две функции: y = x^2 и e в степени x. Они выбраны исключительно в виду простоты их поведения при положительных значениях аргумента. Рассмотрим, например, их поведение на отрезке от 2 до 3. Видно, что и та, и другая функции возрастают на этом отрезке, но экспонента возрастает несколько быстрее. Причем, если мы будем рассматривать большие значения аргумента, то там возрастание будет происходить у экспоненты еще быстрее, чем у параболы, задаваемой функцией y = x^2. Т. е. сравнивать мы хотим приращение, которое набирает функция на одном и том же промежутке изменения аргумента. Мы сейчас рассматриваем конечный промежуток. Но в ближайших целях у нас перейти к промежуткам бесконечно малым. И это будет одна из главных проблем. Нужно будет определить, что значит бесконечно малый промежуток. Итак, мы хотим найти приращение функции. Рассматриваем отрезок от x0 до x0 плюс ∆x и определенную всюду на этом отрезке функцию y =f(x). Вот именно ∆x, которое фигурирует в определении отрезка, в дальнейшем мы будем предполагать и устремлять к 0. Составляем приращение ∆y, которое будет определяться как f(x0 + ∆x) – f(x0). Первой мы рассмотрим очень простую функцию — линейную — y = kx + b. Тогда простое вычисление показывает, что приращение функции оказывается равным k·∆x. Т. е. приращение функции равно приращению аргумента с точностью до численного коэффициента — углового коэффициента, как его называют. В результате мы можем ввести скорость изменения функции как отношение ∆y к ∆x. В случае линейной функции эта скорость оказывается постоянной. Здесь, кстати, вполне уместна аналогия с обычной скоростью, известной из физики. При выборе достаточно малого приращения аргумента можно рассчитывать на то, что сама функция будет мало отличаться от прямой. И поэтому то, что мы в дальнейшем формализуем, сделаем более корректно, можно заменить на малом, бесконечно малом отрезке график функции на график прямой. И в таком случае мы сможем, опять-таки в качестве характеристики роста функции, или изменения (можно точнее сказать), можно использовать точно такое же отношение приращения функции к приращению аргумента. Другое дело, что здесь использована математически крайне не точная формулировка о том, что приращение должно быть бесконечно малым, функция должна мало отличаться. Все это нужно определить гораздо лучше. Но для начала ограничимся тем, что есть. Итак, предлагается для малых приращений аргумента ∆x записать не только для линейной функции, а вообще для любой, вот опять же приближенно скажем, хорошей функции, что ∆x приближенно равно A∆x, где A — это константа. Что понимать под хорошей функцией? Ну например, нам не подойдет функция, которая имеет излом на графике. Т. е. например, функция y = |x| при x = 0 ни в каком приближении не может быть заменена прямой. Как бы сколь бы малую окрестность точки x = 0 мы бы не рассматривали, все равно прямая там никак не получится, будет угол. Но если функция имеет достаточно гладкий график, то тогда никаких проблем не возникает. В таком случае вот это приближенное представление ∆y ≈ A∆x работает вполне нормально. В таком случае мы можем записать, что f(x0 + ∆x) – f(x0) ≈ A∆x. Отсюда можно выразить A. Величина A играет ту же самую роль, что в случае линейно функции была у коэффициента k. Если посмотреть на график функции y = kx при разных значениях коэффициента k, то чем больше будет значение коэффициента, тем будет круче этот график располагаться, тем быстрее будет происходить рост функции. И вот такую же роль мы хотим приписать величине A. Естественно, она будет зависеть от точки x0. Это можно уже увидеть на примере той же самой экспоненты, скажем. Если мы берем точку x0, скажем, равную 0, то там экспонента растет с одной скоростью. Если мы берем x0, равную 3 или 4, или 10, то там скорость роста будет уже совсем другая — значительно больше. Поэтому коэффициент A должен зависеть в общем случае от той точки, в которой рассматривается приращение функции, но характеризовать он будет все время одно и то же — насколько быстро будет расти функция в данной точке x0. Т. е. если мы берем приращение аргумента какое-то x0 + ∆x, то насколько вырастет функция на этом промежутке. И тогда, сравнивая значения производной функций, разных функций в одной и то же точке, мы можем сказать, какая из функция в данной точке растет или убывает быстрее. Отсюда становится понятно, к чему мы идем. Мы хотим получить характеристику скорости изменения функции. Причем, какой будет аргумент, в данном случае не слишком важно, если мы говорим о физических приложениях. Это может быть изменение какой-либо величины со временем, например, изменение скорости со временем. В таком случае, если мы ищем производную, то мы смотрим, как быстро меняется скорость со временем. Мы можем рассматривать, как меняется какая-то величина, скажем, заданная как функция точки для какого-нибудь протяженного тела. Скажем, если есть стержень, у него плотность может зависеть от точки. Мы можем смотреть, как она меняется на протяжении длины стержня. В принципе, можно рассматривать не только одномерные объекты вроде стержня, но в таком случае приходится использовать не одну координату, а несколько. Тогда нужно развивать математический аппарат до функции многих переменных. Это сейчас не наша цель, тем более, что там возникают некие дополнительные усложнения, а мы сейчас хотим изучить концепцию производной в чистом виде. Поэтому мы рассматриваем функции только одной переменной, чтобы не сталкиваться с дополнительными осложнениями. Итак, какие цели мы ставим на ближайшие несколько лекций? Прежде всего, нам нужно все-таки определиться с тем, что такое малое приращение и как это записать более корректно. Для этого нам потребуется ввести понятие предела. Затем нужно будет ввести некоторые понятия, связанные с производной — такие как дифференциал, например. С этими понятиями приходится сталкиваться не только в математических приложениях, поэтому приходится останавливаться на математических тонкостях. А после этого мы перейдем к тому, что будем рассматривать, как производная применяется в конкретных задачах. Итак, пока что вся проблема в том, как записать все то, что мы сейчас рассмотрели, формально. Этим мы займемся в ближайшей лекции. До свидания.
