Ну и напоследок остановимся на важной функции, которая часто возникает в различных приложениях — это так называемая гамма-функция. Это пример так называемой функции, которая не является элементарной, потому что в ее определение входит интеграл. Это определение, которое здесь приведено, его нужно запомнить. Важное уточнение, которое приведено, что х должен быть больше нуля. В принципе, с определенными оговорками, можно рассматривать и отрицательные значения аргумента х. Но здесь действительно нужно некоторое условие учитывать, которое мы сейчас не обсуждаем. И хотелось бы сейчас обратить внимание на то, что ни в коем случае не нужно путать переменные х и у, которые там под интегралом стоят. У них совершенно разная роль. Переменная у — это переменная интегрирования, х — это значение аргумента гамма-функции. Одно из важнейших свойств гамма-функции получается, если выполнить одно интегрирование по частям. Экспонента заносится под дифференциал. В результате интеграл приобретает типичный вид — интеграл от udv — и после применения интегрирования по частям мы снова приходим к гамма-функции, но у которой уже аргумент уже уменьшился на единицу. В результате, если сдвинуть аргумент на единицу, мы получим формулу, что гамма от x + 1 равно x умножить на гамма от x. Если предполагать, что х — это натуральное число, то тогда можно прийти к интересному результату. Предварительно мы вычислим, чему равна гамма-функция при аргументе равном 1. Это очень простое вычисление, просто вычисляется интеграл от экспоненты и оказывается, что этот интеграл равен единице. А дальше мы начинаем применять, только что полученную формулу. Гамма от двух — это будет гамма от единицы плюс единица. Значит, получается, единица умножить на гамма-функция от единицы. То есть будет один. Гамма от трех. Представляем, как гамма от двух плюс один. Та же самая процедура приводит к тому, что получается два. Следующая процедура приведет к тому, что результат умножится на три, потом на четыре и так далее. Таким образом, начинает формироваться обычный факториал. Т. е. произведение всех чисел от единицы до n. Натуральных, естественно, чисел. Таким образом, мы приходим к формуле, что гамма от n + 1 = n!. Это получается фактически можно использовать, как определение факториала. Причем, так как изначально гамма-функция определена не только для натурального значения аргумента, то можно распространить факториал на любые числа, которые допустимы в качестве аргумента у гамма-функции. Ну и наконец, значение гамма-функции при аргументе одна вторая. Если подставить это значение аргумента, то мы придем к интегралу. Вот он выписан, обозначен буквой I. Интеграл от нуля до бесконечности, Е в степени –t квадрат по dt. Это так называемый интеграл Эйлера – Пуассона. Его значение необходимо помнить. Здесь оно приведено. Это корень из π пополам. И в результате значение гамма-функции от одной второй оказывается равным корню из π. С помощью, опять-таки, формулы гамма от х + 1 равно х на гамма от х, получается распространить полученный результат на аргументы, как говорят полуцелые. Т. е. целое число плюс одна вторая. Вот получается достаточно громоздкая формула. Ее помнить необязательно, тем более, что ее достаточно легко вывести. Она тоже частенько встречается в приложениях. Конечно, я еще раз могу только подчеркнуть, что более или менее уверенный навык вычисления интегралов может быть приобретен только решением большого количества упражнений, действительно, очень большого количества. Поэтому времени на это жалеть не нужно. Здесь требуется очень большая практика. Методик существует очень много, и здесь, конечно, не обойтись теми элементарными методами, которые были изложены в этой лекции. На этом мы завершаем наш курс. Конечно, в него вошли только самые основные вещи, которые необходимо знать, для того чтобы изучать общую физику на первом семестре, не испытывая значительных затруднений, и я надеюсь, что этот курс станет первой ступенью для дальнейшего изучения высшей математики и ее применение в физических курсах. Спасибо за внимание.