Теперь рассмотрим движение материальной точки по окружности. Здесь необходимо ввести специфические величины. Прежде всего, чем будет характеризоваться положение точки на окружности? Вводится некое начальное положение радиус-вектора, в дальнейшем движение точки будет описываться так, что мы будем следить за тем, какой угол составляет новый радиус-вектор точки в данный момент времени с радиус-вектором в начальный момент. Так вводится угол χ, он тоже показан на рисунке. Он является функцией времени, причем так как этот угол, он меняется непрерывно, и точка вовсе не обязана пройти всего один оборот по окружности, то угол φ вовсе не ограничен пределами от 0 до 2π. Он может как больше 2π, так и меньше 0, в том смысле, что точка может двигаться как в одну сторону по окружности, так и в другую сторону. Конечно, это представление нуждается в дополнительной формализации, которая сейчас последует. Но для начала просто важно представлять себе, что этот угол φ, он не задан жестко в рамках от 0 до 2π. Вместе с тем нужно еще ввести величину, которая будет характеризовать скорость движения по окружности. Если в случае движения точки по некоторой кривой мы вводили мгновенную скорость, то в данном случае удобно ввести скорость угловую. Она определяется, как производная вот этого введенного угла φ, как функция времени. И это предел при Δt, стремящемся к 0 разности (φ(t + Δt) − φ(t)) / Δt. То есть производная dφ / dt. Вот в этом месте как раз мы и заложим возможность различать движение по часовой стрелке и против часовой стрелки. Сделаем мы это следующим образом: будем считать, что вот эта производная — это на самом деле проекция вектора на ось z — ось вращения. То есть мы формальным образом составляем вектор. Величина этого вектора определяется производной угла φ(t) по времени. А направление вектора, оно либо в одном направлении вдоль оси вращения, либо в противоположном. Направление вектора угловой скорости ω согласовано с направлением движения материальной точки по окружности по правилу правого винта. Разумеется, имеется возможность связать линейную и угловую скорость между собой. Между ними существует очень простое соотношение. Но для этого мы рассмотрим поподробнее вывод. Во-первых, он не сложен, во-вторых, содержит некоторые принципиальные моменты. Выберем начало отсчета где-нибудь на оси вращения, вовсе не обязательно в центре окружности. Тогда радиус-вектор точки в любой момент времени мы сможем представить в виде суммы двух векторов. Один вектор будет задавать положение точки как раз относительно центра окружности (это будет вектор R), и вектор ρ, он направлен вдоль оси вращения из точки, которую мы выбрали за начало отсчета к центру окружности, по которой движется материальная точка. Тогда приращение вектора R при движении точки по окружности за бесконечно малый промежуток времени мы сможем представить в виде векторного произведения угла поворота, который будет бесконечно малым, если бесконечно малое время рассматривается, на сам радиус-вектор. Почему это так? Для начала, чтобы в этом убедиться, вычислим модуль данного векторного произведения. Как известно, модуль векторного произведения равен модулю вектора одного сомножителя * вектор второго сомножителя и на синус угла между векторами. Как видно в данном случае, это произведение превращается в Rdφ. Но радиус окружности, умноженный на dφ (угол, который проходит точка при движении по окружности) — это просто dR. Ну а направление просто устанавливается по обычному правилу, по которому определяется направление векторного произведения двух векторов. Соответственно, если мы теперь хотим найти дифференциал радиус-вектора точки, то мы просто записываем его с помощью этой формулы, а вместо радиус-вектора подставляем разность радиус-вектора r и вектора ρ. После этого пользуемся линейностью векторного произведения и дальше учитываем, что вектор dφ формальный, он направлен тоже вдоль оси вращения, то есть векторы dφ и ρ коллинеарны, соответственно их векторное произведение равно 0. В результате остается просто векторное произведение dφ на радиус-вектор r. То есть мы ушли от радиус-вектора R, который вычислялся от центра окружности, и вернулись к изначально выбранному началу координат. Это удобно. В результате получился дифференциал радиус-вектора, и для того, чтобы получить мгновенную скорость, нужно просто поделить его на dt, чтобы получить мгновенную скорость. В результате получаем, что dr / dt = векторное произведение dφ / dt на радиус-вектор, а dφ / dt — это вектор угловой скорости. Отсюда мы приходим к формуле, которую нужно помнить, что линейная скорость — это векторное произведение угловой скорости, умноженное на радиус-вектор точки.