Так, ну что, давайте выберем p, p положим равным. Но вот как уж я это угадал или там авторы теоремы как это угадали, это невозможно понять, нет не 1/3, я начал болтать, нет, не 1/3. Не, рано обрадовались. Логарифм от n поделить на логарифм n, поделить на n. Вот так. Вот, не больше, не меньше, вот так. Ну главное, что логарифм от вот этой дроби — это примерно логарифм n. Подумаешь, там дробь какую-то нарисовали. Но сейчас все гениально схлопнется. Не забывайте, что x у нас тоже выбран уже и равен вот этой величине. Так, и давайте смотреть вот на ту величину, которая у нас была. x (1- p) в n степени + x на p в n степени + x квадрат на p (1 + p) в n степени. Вот у нас эти величины написаны, сейчас давайте сюда просто подставим наши конкретные параметры. Давайте меньше либо равно напишем. Вместо x подставляем половинку от корня кубического. 1/2 n на логарифм n в степени 1/3. Но понятно, что корень кубический — это степень 1/3. Так, дальше, (1- p) в n степени. Вот давайте я здесь вот напишу, чтоб было понятно. Напишем как e в степени n на логарифм натуральный от (1- p). Это стандартный такой трюк, совершенно понятный. Вот давайте (1- p) представим просто как e в степени логарифм натуральный от (1- p). И воспользуемся стандартным аналитическим неравенством, которое каждый может проверить, конечно, состоящий в том, что логарифм натуральный от (1- p) не превосходит (-p). Вот это не больше, чем e в степени (-p). Если вы воспользуетесь этим неравенством, то тут у вас получится, смотрите. Что такое p умножить на n? Это 1/3 логарифма от дроби. e в степени (- 1/3) логарифм от n на логарифм n. Вот такая вот штуковина. Давайте пока это дело не трогать. Катарсис наступит чуть позже, а будем писать +. Так, это у нас было некое пояснение. Плюс следующее слагаемое. 1/2 n на логарифм n в степени 1/3. Это я снова нарисовал x. А p в степени n. Боже мой, ну это меньше, чем, ну давайте так напишу: логарифм n на n поделить, вот, логарифм n поделить на n в степени n. Ну то есть я сильно огрубил в этом месте, мне плевать на эту 3 в знаменателе, мне плевать на этот логарифм в знаменателе, на все плевать, вот я так напишу, и все. Так, ну и последнее слагаемое: x в квадрате, давайте. 1, какая, четвертая n на логарифм n в степени 2/3 — это x в квадрате, ну понятно дело. Так, дальше мы умножаем это дело, давайте я вот здесь вот продолжу, знаете, как красиво будет. Я умножаю это дело на p, то есть на 1/3. И в этом месте тоже я могу пренебречь, логарифм в знаменателе. Ну просто оценил логарифмом n, здесь это не так существенно, сейчас вы увидите. И наконец (1 + p) в n степени, (1 + p) в n степени я оценю как e в степени pn, совершенно так же, как (1- p) в n степени я оценил величиной e в степени (-p). Тут все совершенно стандартно, вот ничего нового не произошло. Так, e в степени pn, давайте я сразу заменю на 1/3, логарифм, здесь важно все-таки все написать. Логарифм от n, поделенное на логарифм n. Вот, и теперь давайте это дело переписывать. Равно. Так, что такое e в степени (- логарифм)? Это 1, поделенный на e в степени логарифм. Но e в степени логарифм — это n поделить на логарифм. И когда мы 1 на это делим, ну друзья, вы проделайте эту выкладку, если вдруг кто-то не осознал это на слух, вы получите, конечно, логарифм n поделить на n, ну еще в степени 1/3. То есть получается так: 1/2 n на логарифм n в степени 1/3. А из экспоненты вылезает, наоборот, логарифм n поделить на n в степени 1/3. Вот такая вот забавная вещь. Они друг друга сейчас уничтожат. Так, плюс 1/2 n на логарифм n в степени 1/3 на вот эту вот кошмарно быстро убывающую величину. Смотрите, логарифм n поделить на n в n степени! Так, и + 1/12 (1/4 на 1/3), да? n на логарифм n в степени 2/3. Так, логарифм n поделить на n. И осталась экспонента. Ну здесь сразу видно — это n поделить на логарифм n в степени 1/3. И наступает полный катарсис, потому что смотрите, хлоп, хлоп, ну давай, перечеркивайся, умирать не хочет. Так, смотрите, смотрите, n на логарифм n в 2/3, n на логарифм n в 2/3, n на логарифм n в 1/3. Это же n на логарифм n. А это логарифм n на n. Хлоп, хлоп, хлоп — все посократилось. Еще раз, глядите сюда, если n большое, больше 100, как в условии теоремы, ну это мизер абсолютно, это очень маленькое число, но это не очень большое. Можете посчитать на калькуляторе. Можете прикинуть в уме. Ну не знаю, но то, что это меньше 1/10, например, это уж вообще не вопрос. Ну а тогда что мы получаем в итоге? Мы получаем 1/2 + 1/10 + 1/12, все остальное благополучно исчезло. Это меньше 1. И значит наш выбор параметра p действительно дает нам победу. Теорема доказана, и я надеюсь, что схема Бернулли слушателям стала максимально ясна.