Давайте разберем задачу про блуждание частицы по целым точкам прямой.
Вообще, задача поставлена слишком сухо.
Надо про нее немножко по-другому сказать.
Но давайте я все-таки скажу так, как она сформулирована у нас в листочке, да.
Значит, выглядит история следующим образом.
Есть прямая и на ней отмечены целые точки.
Ну то есть 0, 1, 2, -1,
-2,..., в каждой из сторон, до бесконечности.
Вот и есть у нас частица, которая вылетает из вот этой точки 0.
И дальше, как сказано в формулировке задачи, происходит
следующее: движением этой частицы управляет схема испытаний Бернулли.
Схема испытаний Бернулли с вероятностью успеха,
скажем, 1/2, ну в принципе, можно сразу рассматривать общий случай p,
это по большому счету не очень существенно.
Ну пускай даже с вероятностью успеха 1/2,
никакой по сути разницы, конечно, между этими ситуациями нет.
А что значит — управляет?
Это значит, что в каждый момент времени частица может переместиться на один шаг
вправо, а может переместиться на один шаг влево.
И делает она выбор, куда ей перемещаться, с вероятностью 1/2.
С вероятностью 1/2 смещается на один шаг вправо,
с вероятностью 1/2 смещается на 1 шаг влево.
И так каждый раз, то есть вот она переместилась,
после этого снова бросается монетка,
и мы опять смотрим — переместить частицу назад или двигать ее дальше вперед.
Вот такая вот простая схема испытаний Бернулли управляет
движением частицы по целым точкам прямой.
Ну, конечно, обычно, когда рассказывают про такую задачу, говорят не так.
Говорят: в начале координат находится кабак, из которого выходит пьяный человек,
и вот этот пьяный человек, не соображая, куда ему двигаться,
с вероятностью 1/2 перемещается в канаву, которая расположена в точке 1,
ну и с вероятностью 1/2 падает в канаву, которая расположена в точке -1.
Посидев в этой канаве некоторое время,
он соображает так вот сквозь свое пьяное состояние,
что ему куда-то надо еще продвинуться, но куда, он опять не понимает и снова с
вероятностью 1/2 перекатывается из канавы в канаву, то вправо, то влево.
Вот удивительно то, что на самом деле он слишком далеко от своего родного кабака не
отойдет, и это задача, которой мы позанимаемся когда-нибудь позже.
Вот, а пока давайте, действительно, обсудим ту постановку вопроса,
которая у нас была.
Бог с ним, в конце концов, с пьяницей, пусть будет несчастная частица.
Частица — это тоже в каком-то смысле пьяница, вот.
Перемещается она вот так, как мы описали.
А вопрос такой: с какой вероятностью за n шагов частица,
ну или пьяница, как хотите,
окажется в точке m.
Вот эта m может быть как положительной, так и отрицательной,
это просто какая-то целая точка на прямой.
Спрашивается — с какой вероятностью за n шагов наша частица окажется в
конкретной точке m?
Ну давайте думать.
Значит, очевидно здесь имеет место схема испытаний Бернулли.
То есть мы с вероятностью 1/2 прибавляем 1 к нашему положению.
И с вероятностью 1/2 вычитаем 1 из нашего положения.
Так, и как же это можно за n шагов оказаться в точке m?
Ну понятно, можно k раз сместиться вправо,
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ]
но если мы всего сделали n шагов и k раз сместились вправо,
то, понятное дело, нам ничего не остается, как n- k раз сместиться влево.
Получается, что вот за эти n испытаний Бернулли, а n шагов — это, конечно,
у нас n испытаний Бернулли, так вот за эти n испытаний Бернулли мы k раз,
сместившись вправо, n- k раз,
соответственно, влево.
Деваться некуда, всего n шагов.
Но при этом k раз, сместившись от 0 вправо,
то есть k раз прибавив 1, и потом n- k раз,
сместившись влево, то есть в какие-то моменты времени вот столько раз,
наоборот, вычтя 1, мы считаем, что оказались в точке с номером m.
То есть у нас получается, что если из k прибавленных единичек вычесть n- k,
тех, которые как раз вычитаются, то будет 2k- n.
И вот это та позиция,
в которой окажется наша частица в результате таких вот n испытаний Бернулли.
А с другой стороны, мы хотим проверить, что она оказалась в позиции m.
То есть у нас получается, что 2k- n в точности равняется вот этому числу m.
Ну отсюда, конечно, следует, что k должно бы равняться (m + n) пополам.
Ну и дальше все совершенно понятно, смотрите,
если вот эта вот сумма m + n не является четным числом, то есть на 2 не делится,
ну тогда не может такого быть, чтобы наша частица сколько-то k
раз сместилась вправо и потом, соответственно, n- k раз сместилась влево.
Такое просто в принципе невозможно.
То есть получается, что искомая вероятность,
давайте ее как-нибудь обозначим, скажем, P1.
Вот эта искомая вероятность P1 точно равняется 0 в случае,
когда n + m, ну m + n, не важно, нечетное число.
Не бывает такого, не может за n
шагов наша частица в принципе оказаться в точке с номером m, если n +
m является нечетным числом, вот мы это доказали сейчас совершенно аккуратно.
Вот если n + m — четное число, тогда такое, конечно, возможно.
Ну и ответ тоже совершенно понятен, ведь если мы k раз,
где k — это вот эта величина, смещались вправо, это просто означает,
что надо взять С из n по (m + n) пополам,
как это водится в схеме испытаний Бернулли,
ну и дальше умножить на вероятности соответствующих смещений.
Ну давайте я подробно напишу, хотя тоже понятно,
что здесь будет просто 1 поделить на 2 в n-ной.
Ну давайте я напишу подробно.
Значит, есть 1/2 — это вероятность сместиться вправо,
и вправо у нас происходили смещения k раз, то есть здесь будет (m + n) пополам.
Соответственно, влево смещений было сколько?
n- k.
Но если n вычесть (m + n) пополам,
то это будет, соответственно, (n- m) пополам.
Ну давайте так и напишем (n- m) пополам.
Ну и совершенно понятно, что вот эти вот m пополам минус m пополам друг друга
укокошат, n пополам + n пополам, это, конечно, n.
И в итоге получаем С из n по (m + n) пополам на 1/2 в степени n.
Но я специально расписал так подробно, чтобы вы понимали, что если
у нас схема Бернулли, которая управляет движением частицы не равновероятная,
то есть вероятности не 1/2, а 1/2 монетка со смещенным центром тяжести,
то здесь, конечно, будет стоять какое-то p, а здесь, соответственно,
q, которое, как водится, равняется 1- p.
Ну и тем не менее получим ответ, в котором уже ничего не сократится,
а вот эта формула будет по-прежнему верна.
Ну и собственно вся недолга.
Значит я еще раз хочу сказать, что эта задача очень содержательная, и то,
что здесь происходит в математике и в теории вероятности носит название: схема,
извините, не схема, а случайное блуждание.
И вот про это случайное блуждание, когда у нас появится немножко более продвинутая
техника, типа каких-то неравенств, я еще порассуждаю, потому что это,
в общем, очень забавно, как оно устроено.
А задача — все, задача решена.
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
Максим Жуковскийпреподаватель
