Свойства выполнены. А именно я говорил о том, что если у нас какое-то событие принадлежит сигма-алгебре, то обязательно событие A с чертой — отрицание этого события A, тоже должно принадлежать сигма-алгебре. Дальше я говорил, что Ω, все множество элементарных событий, должно обязательно находиться в сигма-алгебре. Это естественное предположение. Ну и как следствие из вот этих двух условий, конечно, пустое множество, то есть невозможное событие, обязательно находится в сигма-алгебре. Дальше я говорил, что если A и B принадлежат сигма-алгебре, то их объединение должно там находиться и их пересечение также должно там находиться. Ну и дальше я объяснял, что вот это вот сигма — слово «сигма» в выражении сигма-алгебра, оно означает, что помимо вот таких вот объединений и пересечений, из которых, конечно, следует принадлежность любого конечного объединения, любого конечного пересечения в сигма-алгебре, вот помимо таких конечных объединений и пересечений, в сигма-алгебру, естественно, должны попадать и счетные объединения и пересечения тех или иных событий, которые изначально в сигма-алгебре находились. Вот давайте, от этого последнего условия освободимся и будем говорить, что множество А «красивое» является алгеброй без приставки «сигма», без вот этого дополнительного словечка «сигма», просто алгеброй, если выполнено, собственно то, что я перечислил. Вот это вот все должно быть выполнено, а больше ничего, никаких счетных объединений, никаких счетных пересечений в этом определении уже не предполагается. Только лишь A из F, тогда с чертой тоже из F. Ω обязательно из F. A, B из F, тогда A, объединенное с B из F, и A пересеченное с B из F. Ну давайте, во-первых, обсудим вопрос: а не являются ли здесь вот в этом определении какие-то условия избыточными? Нужно ли, например, имея в руках вот это первое условие, то, что A объединенное с B принадлежит F, и имея в руках вот это самое исходное условие о том, что A с чертой обязательно принадлежит F, коль скоро A там находится, вот может быть имея на руках эти два условия, мы уже автоматически можем получить, что пересечение находится в F? Ну давайте так и напишем! Верно ли, что вот это пересечение можно выразить теоретико-множественно, так сказать, можно выразить через, взять и отрицание (−) и объединение (U). Ели это так, тогда конечно, не нужно требовать дополнительно, что A пересеченное с B находится в F. Потому что мы и так знаем, что все объединения и отрицания там находятся. Если мы можем выразить пересечение через отрицание и объединение, тогда отлично, тогда третье условие просто не имеет смысла, ну не третье может, четвертое, тут же еще Ω из F важное условие, ну Ω конечно, из F. Вот, ну да, действительно верно. Ответ на этот вопрос положительный. Да это так, не нужно требовать дополнительно, чтоб пересечение находилось в алгебре. А именно, мы просто пересечение любых двух событий через отрицание и объединение можем представить следующим образом — это A с чертой, объединенное с B с чертой, и от этого всего берется отрицание, то есть черта. Берем отрицание события A объединяем с отрицанием события B и все это вместе отрицаем. Это и есть A пересеченное с B. То есть сказать, что одновременно выполнено два события, это тоже самое, что сказать, что не выполнено либо отрицание A, либо отрицание B. Не выполнено либо отрицание A, либо отрицание B. Я думаю, что интуитивно, это в общем понятно. Ну а формально, это можно проверить стандартным способом. А именно, вы просто говорите: пусть какой-то элемент x находится в этом пересечении, тогда, понятное дело, он находится одновременно и в A и в B, ну значит, он конечно, не попадает ни сюда, ни сюда, то есть в объединение, он естественно, тоже не попадает. Но в отрицание объединения он отлично себе попадет. То есть если у нас есть элемент, который находится в пересечении, то он автоматически находится и тут. И наоборот, если у нас есть какой-то элемент, который находится справа, то легко проверить, что он автоматически находится слева. Ну это означает, что множества, конечно, совпадают — благо, они у нас конечные. Ну в прочем, конечность как раз мы не предполагаем. Ну это такая теоретико-множественная возня. Нет, конечность мы не предполагаем. Все равно, это всегда верно, конечно. Вот, давайте я задам следующий вопрос. Может быть, в каком-то смысле более интересный, хотя нет, ну почему? Это тоже очень важно понимать, что мы написали какое-то избыточное условие. Давайте так. Мы выяснили, вот в рамках этого пункта A. Мы выяснили, что для того, чтобы задать операцию пересечения, ее саму рассматривать не нужно. Вполне достаточно отрицания и объединения. Ну может быть можно на что-нибудь заменить отрицание, скажем? Вот спрашивается так. А можно ли заменить пару операций, давайте, как это написать... отрицание и объединение в определении алгебры на пару операций, в которой вместо отрицания берется симметрическая разность. Ну симметрическая разность двух множеств. Я так нарисую условно две сардельки. Симметрическая разность — это то, что находится вот здесь и вот здесь, то есть вне их пересечения. Ну я думаю, что это все-таки слушатели знают, хотя если нет, ну вот я написал определение — это точное, то, что означает симметрическая разность. Вот можно ли в определении алгебры, например, взять извратиться так и заменить условие отрицания фактически на вот это вот условие симметрической разности. Ну оказывается, что ответ тоже положительный. Для этого надо просто выразить с одной стороны симметрическую разность как-нибудь через отрицания и объединения, а с другой стороны, наоборот, нужно отрицание выразить через симметрическую разность. Давайте я здесь напишу, что ответ положительный, да. Отрицание выразить через симметрическую разность не составляет вообще никакого труда. Понятно, что A с чертой — это просто симметрическая разность Ω и A. Где Ω — это пространство всех элементарных исходов и про него, вот как я уже напоминал, мы конечно предполагаем, что оно находится в нашей алгебре. Вот. Так что в эту сторону все совершенно понятно. Отрицание выражается через Δ мгновенно. Ну а Δ через отрицание и объединение выражается так. Если мы возьмем симметрическую разность A и B, то это тоже самое, что взять объединение A и B и пересечь его с A с чертой, объединенное с B с чертой. Вы мне скажете: ну как же так? Тут есть объединение, есть отрицание и есть пересечение. Но счастье состоит в том, что про пересечение-то мы уже выяснили. Его, в свою очередь, тоже можно выразить через объединение и отрицание. Ну я не буду писать ту громоздкую формулу, которая естественно получается. Просто возьмите, обозначьте вот это в свою очередь как-нибудь там C, а вот это вот обозначьте D. Ну тогда, C пересеченное с D, вон там формула написана, это есть C с чертой объединенное с D с чертой, и от всего этого черта. То есть никаких пересечений, на самом деле, нету. Ну а C уже можно честно переписать как A объединенное с B и D можно переписать как A с чертой объединенное с B с чертой. Вот такая вот простая, в общем-то, теоретико-множественная возня показывает, что определять алгебры и сигма-алгебры, коль скоро уж о них зашла речь, можно самыми различными способами, используя разные операции. Вот так.
