Давайте разберем простенькую задачку на математическое ожидание и дисперсию, совсем простенькую. Значит, звучит она следующим образом: пользователь случайным образом выбирает некую страницу из выдачи, в которой всего M страниц. Вот есть M страниц в выдаче поисковика, [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] и пользователь наугад, просто согласно классическому определению вероятности, выбирает вот из этого множества M страниц какую-то одну. Ну они занумерованы, понятно, они расположены как-то в топе, да, 1, 2, 3 и так далее. Значит, пользователь наугад выбирает одну страницу, наугад выбирает страницу. И вот давайте обозначим ξ случайную величину, которая равна, собственно, номеру этой страницы, выбранной пользователем, номер страницы. Номер, повторяю, есть, потому что они как-то отранжированы поисковиком. Номер страницы. Ну спрашивается, чему равно матожидание ξ и чему равна дисперсия ξ. Давайте напишем. Нас интересует математическое ожидание ξ, и нас интересует дисперсия ξ, — эти две характеристики такой вот простенькой случайной величины. Ну давайте начнем с математического ожидания, и действовать здесь надо, конечно, исключительно согласно обычному определению этого самого среднего значения. Что такое математическое ожидание вообще произвольной случайной величины, как мы его определяли? Ну там было 2 определения. Одно — просто суммирование по всем элементарным исходам, но было и вот такое: надо просуммировать по всем значениям, которые принимает наша случайная величина, — эти самые значения, помноженные на их вероятности, на вероятность того, что ξ принимает значение yi. Но, смотрите, в нашей конкретной ситуации, когда у нас всего M страниц выдачи и ξ — это просто номер страницы, значения случайной величины совсем простые, — это просто номера этих страниц. То есть в нашем конкретном случае, — вот это общее определение, — а в нашем конкретном случае, когда ξ — это номер страницы в выдаче, мы должны просто просуммировать по i от 1 до M вот это самое i на вероятность того, что ξ принимает значение i, ну потому что значения случайной величины — это просто числа от 1 до M, наши вот эти самые номера страниц. Тут вообще ничего умного нет. И вероятность того, что ξ принимает значение i, ну, она у нас классическая, это вероятность того, что человек выбрал именно i-тую страницу из M. Ну так он их равновероятно выбирает, ему все равно какую взять: 10-ю, 25-ю или 1-ю, он считает, что это без разницы. Но тогда, конечно, у нас получается Σ по i от 1 до M i умножить на 1/M. Это вот вероятность взятия конкретной страницы из M возможных. 1/M благополучно выносится за скобку, в скобках остается Σ по i от 1 до M значений i. Это банальная арифметическая прогрессия, которая, конечно, равна M * (M + 1)/2, это я сосчитал сумму. И еще надо поделить на M. Шлеп, шлеп. Получаем (M + 1)/2. И это мы таким образом полностью нашли значение математического ожидания. Ну нам еще надо найти все-таки дисперсию. Давайте посмотрим, Dξ. Воспользуемся удобной второй формулой для вычисления дисперсии, не собственно определением, а вот именно вот такой формулой: Mξ² – (Mξ)², была у нас такая формула с вами на лекции. Mξ мы знаем, вот оно посчитано, это (M + 1)/2, то есть мы имеем вот этот второй момент: – (M + 1)²/4. И осталось сосчитать второй момент. Ну что значит сосчитать второй момент? Ну это опять надо действовать по определению. Что такое Mξ²? Это надо просуммировать по тем значениям, которые принимает величина ξ², — эти значения, помноженные на их вероятности, ничего не поменялось. Ну, давайте: Σ по i от 1 до M, — естественно, ξ² принимает значение, равное квадрату значения ξ, — то есть i². Ну, и это надо, конечно, помножить на вероятность того, что просто ξ принимает значение i. Здесь такая перезапись представляется абсолютно очевидной. И вероятность того, что ξ = i — это по-прежнему 1/M, которое как и раньше можно благополучно вынести за знак суммирования. В сумме останется от 1 до M уже i². Ну такую сумму школьники зачастую тоже умеют считать, я в комбинаторике обычно рассказываю, с помощью некоего тождества можно ее доказать красиво как следствие. Значит, сумма квадратов чисел, первых M чисел натурального ряда, — давайте 1/M запишем, — это есть просто M * (M +1) * (2M + 1)/6. Ну, сейчас я это доказывать не собираюсь, конечно, смотрите курс комбинаторики, который вполне предшествует тому, о чем сейчас идет речь. M сокращается, и мы получаем (M +1) * (2M + 1)/6. Соответственно, дисперсия, таким образом, равна (M +1)², нет, извините, (M + 1) * (2M + 1) /6 – (M +1)² /4. Ну, наверное, можно вынести сейчас (M + 1) за скобку, попробовать там привести какие-то подобные слагаемые. Получится, конечно, покрасивее, но я этого делать не буду, потому что суть-то вероятностную я изложил, а уж там привести подобные — это каждый при желании сможет сам.