Так, давайте разберём задачу про пересечение нескольких случайных подмножеств. Задача ставилась следующим образом: у нас есть множество чисел от 1 до n, ну, просто множество некоторое, состоящее из n элементов, и есть число p из отрезка [0, 1], которое отвечает за вероятность вытаскивания любого из этих элементов из этого множества. Нужна она для того, чтобы строить случайные подмножества этого множества. Мы на лекции нечто подобное делали, я разбирал пример такой задачи, когда вытаскивались два случайных подмножества, каждое с вероятностью успеха p, и потом считалась вероятность того, что эти два подмножества не пересекаются. Ну, вот сейчас будет обобщение этой задачи, давайте ещё раз вспомним ту схему, с помощью которой вытаскиваются наши подмножества. Вообще, в итоге у нас должно получиться некоторое количество этих подмножеств, которое мы обозначим m, то есть у нас есть три уже параметра n, p и m в этой задаче, и каждое из этих подмножеств, ну, как бы совершенно независимо от того, как строятся все предшествующие и, впрочем, все последующие тоже, каждое из этих подмножеств строится так: ну, вот, давайте, допустим, A1, как его построить? Строится оно так: берем схему из n испытаний Бернулли с ну вот этой вероятностью успеха p, и если в очередном испытании происходит успех, то элемент с номером этого испытания кладётся в строящееся множество A1, а если неудача, то не кладется. То есть, каждый элемент от 1 до n входит в строящееся множество A1 с вероятностью p независимо ото всех остальных, ну и с вероятностью (1 − p) или q, если хотите, он туда не входит. И то же самое касается A2, то же самое касается A3, то же самое касается Am. То есть, такая вот есть очень-очень длинная схема испытаний Бернулли, мы сначала строим A1, потом A2, и так далее, они могут совпадать, могут как угодно располагаться друг относительно дружки, но в итоге нам нужно посчитать вероятность того, что общее пересечение этих множеств A1 и так далее, Am пусто, то есть попарно, там, потройно, как хотите, они могут пересекаться, но, вот так чтобы все эти m множеств пересекались, такое запрещено. Вот, спрашивается, чему равна такая вероятность? Что ж, давайте действовать так, как в точности я разбирал это дело на лекции, когда у меня было два множества. На лекции было два множества, и мне хотелось найти вероятность того, что они не пересекаются. Я интерпретировал эти множества как последовательности из нулей и единиц. А именно, я писал так: вот, у меня есть A1 и по сути, поскольку оно строится с помощью схемы испытаний Бернулли, эта последовательность каких-то единичек и ноликов в каком-то там порядке, где единицы ставятся ровно на позиции с номерами из вот этого множества A1. То есть множество A1 – это 1, 3, 4, n в данном случае. Ну, и там какие-то еще промежуточные элементы, наверное, в множество A1 входят. Я, конечно, не утверждаю, что множество A1 именно такое. Я нарисовал его совершенно случайно. Если хотите, закрыл глаза и расставил единички и нолики так, как придется. И точно так же случайно строится множество A2, какое-то там 0, 1, 1, 0, 1, 1, не важно. И так далее, в таком же стиле строится случайное множество Am, но удобно интерпретируется с помощью последовательности ноликов и единичек. Ну, не знаю, 1, 1, 0, 0, 1, и так далее, 1. Что-то такое, сейчас совершенно не важно, как оно выглядит. В принципе, оно вполне может совпадать с кем-то из предшественников, как я уже говорил. Важно лишь понять, как теперь найти вероятность того, что вот эти вот все множества, которые мы построили, вообще между собой не пересекаются. Не вообще не пересекаются, но в совокупности не пересекаются. Все вместе не пересекаются. Ну, давайте попробуем осознать, что означает вот это событие. Как оно раскладывается на какие-то ситуации, что ли. Что, что ему благоприятствует. Ну вот, давайте посмотрим, как и на лекции, кстати, мы смотрели, давайте посмотрим, например, на первый столбец. Вот в этой, ну, так сказать, матрице, в этой таблице, которая состоит из нулей и единиц, по строчкам записаны множества, а, вот, что написано по столбцу? Столбец отражает вхождение, вот, первый столбец, отражает вхождение элемента с номером 1, вхождение элемента с номером 1 в наше множество. Смотрите, если здесь нарисована единичка, это уже означает, что элемент с номером 1 попал в множество A1. Если здесь нарисован нолик, то это означает, что элемент с номером 1 в множество A2 не попал. Ну, и, наконец, вот здесь нарисована единичка, значит, элемент с номером 1 оказался внутри множества A с индексом m. А вообще, тот столбец, вот, как он здесь нарисован, он показывает следующее: он показывает, что элемент с номером 1 попал в некоторые из наших множеств, но нашлось, по крайней мере, одно множество, в которое он не попал. Но это означает, товарищи, смотрите, вот, если элемент с номером 1 хотя бы в одно из наших множеств не попал, это, конечно, означает, что он не попал в их совокупное пересечение. Не может элемент с номером 1 лежать в пересечении всех-всех-всех, если он заведомо не лежит в множестве A2, это очевидно. Понимаете, да? Смотрим на второй столбец, ага, тут тоже есть нолики вот в этом втором столбце, ну, по крайней мере, один. Это означает, что элемент с номером 2 тоже не может оказаться внутри пересечения. А вот, если бы нашелся хотя бы один столбец, вот, у меня тут потенциальный есть такой герой, если б нашелся хотя бы один столбец, в котором стоят сплошь единицы, то такой столбец уже свидетельствовал бы о том, что вот это пересечение множеств не пусто. То есть, давайте так: пересечение множеств пусто, вот это вот событие — это в точности то же самое, это в точности то же самое, что в каждом столбце вот в этой таблице, в каждом столбце есть хотя бы один ноль. Хотя бы один ноль. Повторяю, если бы хоть один столбец содержал сплошные единицы, то по элементу с номером этого столбца наши множества пересекались бы в совокупности, а мы смотрим событие, которое состоит в обратном, что они все-таки ни по какому элементу не пересекаются. Поэтому получается, что вот это вот обратное событие равносильно тому, что в каждом столбце нашей таблицы есть хотя бы один нолик, хотя бы один нолик. Ну, стало быть, будем искать вероятность, которая нас интересует, как вероятность того, что я вот здесь написал. Вероятность того, что в каждом столбце есть хотя бы один ноль. Ну, смотрите, вот это свойство, что в данном столбце есть хотя бы один ноль, оно, конечно, по столбцам независимо, то есть если мы посчитаем вероятность того, что в данном столбце есть хотя бы один ноль, а потом возведем эту вероятность в n-ую степень, то есть перемножим её по всем нашим столбцам, то, естественно, мы и получим тот ответ, который нам нужен. То есть, давайте так и напишем: вероятность того, что в данном фиксированном, например, первом столбце есть хотя бы один ноль, хотя бы один ноль, так, и это вероятность в n-ой степени. Очевидно, надо её возвести в n-ую степень, потому что по столбцам имеется, конечно, независимость. Взаимная, совокупная независимость. Так, ну, и с какой же вероятностью в данном столбце есть хотя бы один ноль? Ну, проще, наверное, посчитать вероятность того, что там стоят сплошные единицы. То есть, пользуемся свойством вероятность A с чертой равняется 1 минус вероятность A, пишем, 1 минус вероятность того, что в данном столбце...столбце, сплошные единицы, так, все это в n-ой степени, но а уж вероятность того, что в данном столбце сплошь стоят единицы, она совсем просто считается, ведь вероятность каждой единицы- это просто P, и должно быть m ровно единиц. Ну, то есть P в m-ой степени. Все, получаем ответ: (1 − p в m-ой) в n-ой. Ну, это прекрасно согласуется с результатом, который у нас был как раз получен в качестве примера на лекции, потому что там в качестве m рассматривалась двойка, и, если вы помните, там как раз получалось (1 − p²) в n-ой степени. Ну, такое вот, приятное и естественное обобщение.
