Давайте, друзья разберем задачу на сочетание условной вероятности и схемы испытаний Бернулли. Ну такую, в каком-то смысле, жизненную, конечно, не вполне, ну уж... Ладно, значит, постановка такая: пользователь социальной сети... Ну давайте это все запишем. Пользователь социальной сети, давайте считать, что имеет всего 7 друзей по числу дней в неделю. Значит, мне так удобнее будет. Имеет 7 друзей. Если кого-то смущает такое маленькое количество, ну вы не переживайте, мы просто рассматриваем конкретных семерых друзей, и вот именно о них пойдет речь в задаче. Так вот он имеет каких-то конкретных семерых друзей и каждый день он просматривает стену одного из своих вот этих вот семерых друзей. Каждый день — ровно одного. Так у него заведено. ...он просматривает стену одного из них. При этом делает он это с одной и той же вероятностью для каждого из друзей. То есть, ну в общем, с вероятностью 1/7 он просматривает стену первого друга, с вероятностью 1/7 — второго, ну и так далее вплоть до последнего седьмого друга. Друзья, естественно, разные. Вот. Давайте обозначим буковкой ν первую неделю, номер первой недели. Давайте так: ν — номер первой недели, когда наш пользователь, вот этот самый товарищ, — давайте я напишу просто «он» — просмотрит стены всех своих друзей. ...стены всех своих друзей. Сейчас я еще раз повторю, как устроен процесс. Ну, если хотите, процесс начинается так: в какой-то понедельник он случайным образом просматривает стену одного из семерых друзей. Потом наступает вторник, он снова случайным образом, независимо от того, как он это сделал в понедельник, просматривает стену одного из семерых друзей. То же самое делает в среду, то же самое — в четверг и так вплоть до воскресенья. Вот если на этой первой неделе, действуя таким образом, он не преуспел в просмотре всех стен, тогда мы считаем, что вот ну не повезло. И наступает следующая неделя, на которой снова в понедельник он смотрит какого-то случайного, во вторник — кого-то случайного и так вплоть до воскресенья. И если опять в течение вот этих 7-ми дней ему не удалось просмотреть все 7 стен — ну значит не судьба. Вот если удалось, тогда ν = 2. Ну и так далее, то есть ν — это номер первой недели, в которую ему удалось просмотреть всех семерых своих друзей. Давайте рассмотрим на самом деле два даже пункта этой задачи. Во-первых, давайте считать, что известно, что в первые две недели он не преуспел. В первые две недели нашлись какие-то друзья, которых он все-таки просмотреть не сумел при таком случайном процессе просмотра. В первые две недели он, ну давайте, не преуспел. Спрашивается: какова вот в этих условиях, коль скоро это известно, какова вероятность того, что он преуспеет на третью неделю? То есть, на самом деле, я вот здесь черточку не рисую, но смысл в том, что мы хотим посчитать условную вероятность. Вероятность того, что ν = 3, что он преуспеет на третьей неделе при условии, что на первых двух преуспеяние не достигнуто. Вот. Ну и пункт б). Давайте еще одну такую же задачу сделаем. Это вероятность того, что ν = 3 при условии, что ν — нечетное число. Вот здесь я уже явно нарисовал черточку, но, повторяю, и в пункте а) и в пункте б) на самом деле присутствует черта. То есть, строго говоря, здесь надо было написать: вероятность того, что ν = 3 при условии, что в первые две недели он не преуспел. Так. Ну а здесь вот, что ν = 3 при условии, что ν — нечетное. Ну давайте начнем с пункта а). Введем какие-нибудь обозначения, наверное. Давайте через A обозначим, собственно, интересующее нас событие, состоящее в том, что ν = 3 (первая неделя, когда он преуспел), а B — ну это то условие, которое известно. То есть нас интересует условная вероятность A при условии B. B — это событие, состоящее в том, что в первые две недели наш пользователь не сумел просмотреть стены всех своих друзей. Повторяю, в первую неделю не сумел и во вторую неделю не сумел. Суммарно, может быть, у него и получилось. Но мы об этом не говорим. Ну понятное дело, что, как всегда, условная вероятность — это, конечно, вероятность пересечения событий поделить на вероятность условия. Ну дальше... Что такое пересечение событий? С какой вероятностью случится то, что в третью неделю он преуспел, а в первые две не преуспел? Давайте рассмотрим для того, чтобы посчитать эту вероятность, такую понятную совершенно схему испытаний Бернулли. Каждое испытание Бернулли соответствует номеру очередной недели, в течение которой он пытается преуспеть. Вот в слове «преуспеть» уже видно, заложен какой-то успех, правда? Как в схеме испытаний Бернулли. Поэтому испытания — это просто недели. И «успех» (преуспеяние) состоит в том, что на очередном испытании, то есть в течение очередной недели, товарищу таки удалось просмотреть все стены. Давайте, как водится в схеме испытаний Бернулли, буковкой p обозначим вероятность успеха и, собственно, ее сосчитаем. То есть с какой вероятностью в рамках очередной недели нашему пользователю удастся просмотреть все стены. Ну понятно, как эта вероятность устроена. Всего существует 7 в 7-ой степени вариантов, которые могут, в принципе, реализоваться, потому что каждый день он может просмотреть любого из своих друзей. Значит, по обычному комбинаторому правилу умножения, у нас получается 7 в 7-ой всевозможных вариантов, как он может просматривать стены в течение недели. Вот. А преуспеяние происходит из них только в случаях, когда он просматривает всех, но при этом, бог его знает, в каком порядке. То есть он может на первый день просмотреть стену первого друга, на второй — второго и так далее, на седьмой – седьмого; а может в каком-то другом порядке: скажем, на первый день — седьмого, на второй — шестого, на третий — пятого, на седьмой — первого, то есть в совершенно противоположном порядке. Короче, понятно, что нашему успеху благоприятствуют ровно те варианты просмотров, при которых мы просто имеем перестановку на множестве из 7-ми элементов. Всего есть 7! способов так сделать, чтобы в течение недели просмотреть всех семерых своих товарищей. Ну можно, если угодно, подсократить и написать: 6! поделить на 7 в 6-ой степени. Принципиально это, понятное дело, не меняет ничего, но вот так чуть-чуть покороче как бы считать. Вот. Это вероятность успеха — вероятность того, что в течение очередной недели наш пользователь увидит в каком-нибудь порядке стены всех своих друзей. Это вероятность успеха. Что же у нас, спрашивается, вот здесь? Что такое вероятность A, пересеченного с B? Ну это вероятность того, что на первых двух неделях в нашей вот такой вот схеме испытаний Бернулли произошли неудачи, а на третью неделю случился успех. Ну неудача у нас случается с вероятностью (1 – p). Поскольку неудача нас преследовала — вернее, не нас, а вот этого товарища — преследовала дважды подряд, то мы пишем (1 – p)². Все просмотры, понятное дело, осуществляются независимо. Ну а дальше то, что все-таки ν = 3 означает, что на третьей неделе случился успех, и он случился с вероятностью p. Ну и теперь нам нужно поделить это на вероятность события B, которое по-прежнему состоит в том, что в первые две недели товарищ не преуспевал. В первые две недели товарищ не преуспевал. Ну, вроде бы, совершенно понятно, с какой вероятностью он не преуспевал в первые две недели. Значит, что просто надо поделить вот так, и ответ получен. Тут, в общем, большого дела-то нету. Так. Ну давайте посмотрим пункт б). Он, наверное, чуть более интересен. Нам нужно как-то посчитать условную вероятность того, что ν = 3, при условии, что ν нечетно. Но опять мы можем ввести обозначение A — это ν = 3. B — это ν нечётно, и вероятность их пересечения. Ой, извините, условная вероятность A при условии B — это вероятность их пересечения, поделённая на вероятность условия, как и прежде. Ну пересечение, событие, состоящее в том, что ν = 3 и в том, что ν — нечетное, это, конечно, первое из них. То есть фактически это вероятность A, поделенная на вероятность B. Таким образом, нам нужно посчитать каждую из этих вероятностей. Но вероятность A мы фактически считали, вот она у нас здесь присутствует, это вероятность того, что на первых двух неделях случилась неприятность, и он всех не просмотрел. То есть (1 − p) в квадрате, ну а на третью неделю все-таки случилась удача, успех, и ему удалось просмотреть всех своих друзей. Вероятность B — это несколько более интересно, потому что схема-то Бернулли у нас бесконечная. Фактически процесс может продолжаться сколько угодно долго, сколь угодно долго. Значит, давайте попробуем, что такое вероятность того, что B нечётно? Ну просто разобьем событие B на кусочки. ν нечётно, это означает, что либо ν = 1, либо ν = 3, либо ν = 5, и так далее, в общем-то, до бесконечности. Каждое нечётное число нам вполне в этом месте благоприятствует. Но вероятность того, что ν = 1, то есть, что он сразу преуспел, ну эта вероятность, конечно, = p. Преуспел, и слава богу. Дальше есть ν = 3, это (1 − p)² * p Мы это уже считали. Дальше есть случай, когда ν = 5. Ну это означает, что первые 4 недели случалась неприятность, (1 − p) в 4-ой, ну а на 5-ю неделю случилась удача. Ну, +, в общем-то, ...,. Дальше будет (1 − p) в 6-ой степени * p, ну и, ..., до бесконечности. Ну давайте это как-нибудь перепишем. У нас получается (1 − p)² * p, поделить... Здесь мы p вынесем за скобку, а в скобках останется сумма такой бесконечной геометрической прогрессии: 1 + (1 − p)² + (1 − p) в 4-ой, + ,..., до бесконечности. Такая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, которую, я надеюсь, со школы все умеют считать. (1 − p)² сохраняем, p у нас уничтожилось благополучно. Так... Ну и давайте посмотрим, чему эта сумма равняется? Сумма эта равняется вот чему. Надо 1 поделить... ну давайте я вот здесь прям так и напишу: 1 / на разность, из 1 вычитается величина знаменателя этой прогрессии. Это геометрическая прогрессия, у неё знаменатель: (1 − p)². Каждый раз тут на (1 − p)² мы умножаем. Вот, значит, это (1 − p)², знаменатель геометрической прогрессии, он оказывается здесь после знака «−». Ну поскольку мы что-то делим на 1, делённое на что-то, то то, на что делится знаменатель, оно перескакивает в числитель. То есть у нас в итоге получается вот так: (1 − p)², − (1 − p) в 4-ой степени. И вот это вот — ответ во втором пункте.
