Вот замечательная задача, кстати, про хорошие билеты, сейчас мы ее разберем, она у нас есть, и она очень поучительная – насколько хорошо надо знать теорию вероятности. Значит, задача такая: есть 25 всего билетов на экзамене, ...билетов на экзамене. Да, это билеты не на самолет, не на поезд, это билеты на экзамене. Вот приходят два студента в аудиторию сдавать экзамен. Каждый из них считает одно и то же подмножество из 5 билетов хорошим. То есть считается, что из этих 25 билетов есть 5 хороших. Таких хороших, что ну вот их приятнее сдавать, они легче в каком-то смысле. Давайте напишем: 5 условно хороших билетов. И вот сначала к экзаменатору подходит первый студент, тянет билет, ну то ли радуется, то ли не радуется – это уж как повезет ему, конечно. Если он вытянул хороший билет – то он радуется, если он вытянул плохой билет – то он горюет. Но в любом случае с этим билетом он идет на свое место, начинает его писать. А вслед за ним приходит второй студент и тоже случайно тянет билет из пачки. Но, опять же, он может получить хороший билет, может получить плохой. Интуитивно кажется, что лучше быть первым студентом, потому что ну как-то хороших билетов еще много, плохих относительно мало. Ну вот ты первым выхватишь хороший билет и порадуешься. Вот. А второй горюет уже заранее, потому что вот, дескать, первый идет, ему-то все сливки и достанутся. И задача ставилась так: давайте сначала найдем вероятность того, что первый студент взял хороший билет, [ШУМ] а потом найдем отдельно вероятность того, что второй студент взял хороший билет. Абсолютно то же самое, но только вот здесь двойка. Второй студент взял хороший билет. И для кого-то чудо, наверное, состоит в том, что на самом деле эти вероятности абсолютно одинаковые. И, конечно, когда студент приходит сдавать экзамен по теории вероятности и говорит: «Вот, я там второй в очереди, а не первый, почему меня не пропустили?» – это значит, что ему можно сразу ставить двойку по теории вероятности. Он не знает, что никакой разницы между ним и его предшественником нет. Более того, я вам сразу скажу, на самом деле нет вообще никакой разницы какой ты там: первый, второй, третий, пятый или десятый. Даже для десятого человека вероятность того, что он вытянет хороший билет совершенно такая же, как для первого. Но это вы уже сами подумаете, а я сейчас решу оба пункта. Понятно, что речь идет о классической вероятности в пункте A, причем о совершенно тривиальной, потому что у нас есть 5 благоприятствующих исходов, причем вот в совершенно прямом смысле этого слова – благоприятные и хорошие билеты, и 25 исходов всего, они считаются равновероятными, потому что профессор хорошо перетасовал колоду из своих билетов. Естественно, вероятность успеха для первого товарища – она просто 1/5, и тут думать не о чем. Вот если мы говорим про второго товарища, то тут надо разбирать случай. Значит, давайте аккуратно напишем: пусть A – это то событие, которое нас интересует, то есть событие, состоящее в том, что второй товарищ вытянул хороший билет. ...второй студент вытянул хороший билет. [ШУМ] И для подсчета этой вероятности рассмотрим два случая, причем совершенно, я думаю, понятно каких два случая. Первый случай – это что первый студент вытянул хороший билет, и вот это как раз плохо для второго. Тогда у него вероятность вытянуть хороший билет, действительно, понижается. Но второй случай состоит в том, что первый студент вытянул плохой билет, и тогда плохих билетов подиссякло. Так, ну вот давайте, значит: B1 – это первый вытащил хороший и B2 – это первый вытащил плохой. Ну, других вариантов нет. Поэтому желая посчитать вероятность события A, мы просто можем воспользоваться формулой полной вероятности, которая на лекции была и которая нам говорит, что вероятность A – это есть = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) – просто формула полной вероятности. Ну и давайте сообразим, значит, P(B1) – это вероятность того, что первый студент вытаскивает хороший билет, но мы ее уже сосчитали. Это вероятность, конечно, 1/5 (5/25 или 1/5). Давайте посмотрим с какой вероятностью второй студент достанет хороший билет, коль скоро один хороший билет уплыл к первому. Ну вот смотрите, если один хороший билет уплыл к первому, значит у нас осталось 4 хороших, 4 хороших, и еще, по-прежнему, 20 плохих. Давайте: 4 хороших и 20 плохих. С какой же вероятностью тогда наш второй студент сможет вытащить хороший билет, коль скоро все по-прежнему хорошо растасовано? Понятно, что он это сделает с вероятностью 4/20, 4 благоприятствует... О! Почему 20-тых?! 24-х, конечно! 4 благоприятствует, а всего 24. Значит, здесь у нас получится 4/24, ну или, что то же самое, 1/6, давайте я напишу – это 1/6, конечно. Не знаю уж, как удобней будет считать. Теперь, вероятность B2. B2 – это что первый товарищ вытащил неудачный билет, это, соответственно, у нас 4/5. Раз удача – это 1/5, то неудача – это 4/5. Ну и давайте здесь вот так же под черточкой напишем, что означает, что реализовалось событие B2, то есть первый товарищ вытащил плохой билет. Это означает, что второму товарищу, по-прежнему, предстоит выбор возможный из 5 хороших, и, соответственно, 19 плохих, 19 плохих. Итого, всего, по-прежнему, 24, как и в первом случае, но благоприятствующих исходов 5. Здесь получаем 5/24, ну и продолжаем это равенство. Значит 1/6 × 1/5 = 1/30, если мы нигде не обсчитались; а 5/24 × 4/5 = 4/24, ну или, что то же самое, 1/6. 4/24 – это, конечно, 1/6. 1/6 – это 5/30, итого имеем 6/30, и, о, катарсис, что есть 1/5. Все. Задача решена. И повторяю, подумайте над тем, почему, на самом деле, этот ответ вообще не зависит от номера студента в очереди за билетами. То есть это не просто совпадение, что вот первые два там взаимно переставляются, а третьи уже несчастны. Нет, третий тоже не несчастен, у него вероятность вытянуть правильный билет тоже 1/5.
