Теория вероятностей - это, вне всякого сомнения, один из самых важных и богатых приложениями разделов современной математики. С помощью методов этой замечательной науки можно как оценивать классические вероятности выигрышных стратегий в азартных играх, так и решать весьма серьезные прикладные задачи, возникающие буквально в каждой области науки. В нашем курсе мы познакомим слушателей прежде всего с самыми основами предмета. И сделаем мы это в уникальном формате - иллюстрируя вероятностные объекты и методы на примерах решения с их помощью комбинаторных задач. Суть в том, что, конечно, в базовой вероятности много комбинаторики, и это все знают; мы же расскажем не только об этом, но и о том, как, наоборот, вероятностные методы позволяют работать с комбинаторными задачами. Это позволит нам впоследствии выйти на приложения вероятности в теории графов, случайных графов и, наконец, веб-графов и прочих сложных сетей. Также в рамках курса мы оторвемся от чисто комбинаторных интерпретаций и обсудим более общие вероятностные модели. Но интуиция все равно сохранится, и в этой комбинаторной подоплеке уникальность курса. Курс построен так, что будет по плечу даже тем, кто изучал математику последний раз только в школе. Тем не менее, так как для понимания курса необходимы знания основ комбинаторики, мы рекомендуем пройти наш курс по комбинаторике прежде чем прослушивать данный курс. Внутри курса также все просто – каждую неделю вас ждут видеолекции и проверочные задания, которые нужно выполнять в срок. В конце – итоговая проверочная работа. Студенты, которые набрали достаточное количество баллов, смогут получить сертификат.
Задача о благотворительном фонде
Loading...
Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology
Теория вероятностей для начинающих
308 оценки
Из урока
Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин
Независимость двух и нескольких случайных величин. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин. Дисперсия суммы независимых случайных величин. Пример некоррелированных зависимых случайных величин. Закон больших чисел. Предельная теорема Пуассона. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Применение теоремы к задаче о двух гардеробах.
Познакомьтесь с преподавателями
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
кафедра дискретной математики МФТИ
Максим Жуковскийпреподаватель
кафедра дискретной математики МФТИ
Хорошо, давайте разберем очередную задачу по теории вероятности.
В данном случае хочется разобрать задачу на применение приближенных методов,
то есть на применение каких-то предельных теорем: то ли Муавра-Лапласа,
то ли Пуассона.
Хочется понять еще, какую теорему мы будем здесь применять,
но это мы сейчас осознаем.
Так, друзья, ну давайте сначала дадим формулировку задачи.
Говорится так: председатель благотворительного
фонда хочет накормить голодающих детей.
Так, ну, вот есть у нас председатель, председатель,
и есть дети, каковых 2000 человек.
Значит, всего 2000 голодающих детей, каждого из которых председатель, по идее,
хочет осчастливить.
Председатель, покуда не имея никакого отношения к детям, просто
заходит в магазин продуктовый, в котором покупает некоторое количество продуктов.
Вот сейчас я опишу процесс, как он их покупает.
Для этого у меня шпаргалка, потому что цифры я наизусть не помню.
Итак, в магазине имеется 10 000 яблок,
такое вот могучее количество яблок, дальше — 50 000 груш,
40 000 батонов
хлеба и
30 000 йогуртов,
30 000 йогуртов.
Ну достаточно богатый современный магазин, что уж тут говорить-то, да?
Происходит следующее: председатель покупает последовательно
случайные продукты, то есть вот он берет из этого множества всех продуктов,
которые находятся на полках магазина, некий один совершенно случайно, ну,
согласно, если хотите, классическому определению вероятности.
Значит, выбирает случайный продукт и кладет его в большой мешок,
из которого потом будет раздавать продукты голодающим детям.
Смотрите, вот купил он этот продукт, ну, допустим, случайно это получилось яблоко,
ну так просто, для примера, допустим, что он купил яблоко.
Это яблоко отправилось в корзину,
в мешок, а тем временем товарищи, которые работают в магазине,
моментально добавляют к оставшимся 9 999 яблокам еще одно так,
чтобы у председателя по-прежнему был выбор из 10 000 возможных яблок,
50 000 груш, 40 000 батонов и 30 000 йогуртов.
Ну или, например, если он, в первый раз, выбирая случайный продукт,
взял одну грушу, то опять же товарищи, работающие в магазине,
мгновенно восполняют утрату, и на полках снова оказывается 50 000 груш.
Ну, а в мешке у председателя находится одна груша.
После чего происходит все то же самое, и так много раз.
То есть снова вот из этого состава продуктов, который оказался на полках
магазина после замещения продукта, купленного председателем,
снова вот из этого состава продуктов председатель выбирает случайный продукт,
согласно классической схеме, кладет его в свой мешок,
а торговцы заменяют этот продукт, так что раскладка остается прежней: 10 000 яблок,
50 000 груш и так далее.
Вот и так вот независимо много-много раз председатель это делает.
Ну, давайте обозначим за n количество покупок,
которое в рамках указанного процесса сделает наш председатель.
Дальше, когда у него наполняется мешок вот этими вот n продуктами,
ну, допустим он сделал там, не знаю, 100 000 закупок, сколько хотите.
Вот у него наполнился мешок огромным количество продуктов, среди которых
случайно появляются яблоки, груши, последовательно, там, батоны, йогурты.
Вот этот председатель со своим огромным мешком идет к
голодающим детям раздавать им эти продукты.
Чего хочется председателю?
Председателю хочется добиться того,
чтобы у него в мешке оказалось хотя бы 2000 батонов, потому что он считает, ну и,
в принципе, правильно считает, что если он действительно хочет помочь голодающим,
то прежде всего их надо накормить, конечно, хлебом.
Вот, голодающих у нас 2000, и вот председатель считает своим успехом
ситуацию, когда в результате n покупок в его мешке окажется хотя бы 2000 батонов.
Там, неважно сколько яблок, неважно сколько груш и сколько йогуртов,
но очень важно, чтобы хотя бы 2000 батонов в его мешок уложилось.
После этого он считает себя героем, идет к голодающим детям, раздает им эти батоны,
ну, а дальше там уже по остаточному принципу, если хотите, раздает яблоки,
груши и йогурты, но это, с точки зрения его целеполагания и нашей задачи,
которую мы сейчас сформулируем, значения большого не имеет.
Короче говоря, вопрос такой: при каком минимальном n,
при каком минимальном значении n, то есть при
каком минимальном количестве вот таких вот последовательных случайных покупок,
которые должен сделать председатель, вероятность того,
что в мешке председателя окажется не меньше чем
2000 батонов, и председатель будет уверен в том,
что он накормит всех, — каждого по батону как минимум?
Вот при каком минимальном n вот эта вероятность примерно равна 0,95?
Ну, то есть достаточно велика.
Так, друзья, ну, постановка задачи, я надеюсь, понятна, да?
Вот есть такая процедура покупки случайных продуктов, и нам нужно лишь осознать,
как это можно перенести на совершенно вероятностный язык.
Очевидно, что речь идет о схеме испытаний Бернулли, конечно.
То есть схеме испытаний Бернулли, в которой n всего испытаний:
каждый раз председатель случайным образом что-то делает, причем одно и то же, —
каждый раз он проводит некий эксперимент, а именно: покупку случайного продукта из
множества тех продуктов, которые все время оказываются имеющимися в наличии.
Вот он производит этот случайный эксперимент, разумеется,
он его производит независимо в каждой своей попытке, в каждой своей покупке,
то есть у него получается n независимых экспериментов, n независимых покупок.
И нам нужно понять, что такое успех.
Ну смотрите, нам же хочется, чтобы в итоге оказалось не меньше 2000 батонов.
То есть, наверное, речь идет о том,
что мы хотим получить в итоге не меньше чем 2000 успехов.
Таким образом, мы имеем, — давайте запишем этот вывод, — схему испытаний Бернулли,
схему испытаний Бернулли с n испытаниями,
где n нам нужно подобрать оптимально под вот это вот условие,
с n испытаниями и успехом в очередном испытании,
— то есть в каждом испытании мы говорим, что произошел успех,
— и успехом, если куплен батон.
Нам нужно, чтобы этих успехов было не меньше чем 2000.
Вот мы называем успехом покупку батона в очередном испытании, в очередной покупке.
И мы хотим найти наименьшее количество n, при котором число успехов,
— число батонов, оказавшихся в мешке в результате вот этих n покупок,
n испытаний, — не меньше чем 2000.
Значит, в наших стандартных обозначениях речь идет о вероятности того,
что μ с индексом n больше либо равняется 2000.
Ну, видно, что числа очень большие, сейчас мы еще поймем,
какова вероятность успеха, и станет ясно, что речь идет, конечно, о приближенном
вычислении с точки зрения Муавра-Лапласа, а не с точки зрения Пуассона.
Ну, давайте, действительно, разберемся, какова вероятность успеха.
Давайте ее обозначим, как водится, p — это вероятность успеха в очередном испытании.
Вероятность успеха — это вероятность вытащить батон.
Но мы с вами говорили, что само взятие вот этих вот продуктов в
рамках каждой покупки, в рамках каждого испытания, оно осуществляется согласно
классической вероятности, согласно ее классическому определению.
Давайте посмотрим, сколько всего у нас продуктов: 60, 100...
— 130 000, правильно?
Значит, у нас на прилавке все время имеется неустранимый запас в 130 000
продуктов, и успех — если мы купили 1 из 40 000 батонов.
То есть, ясно, что вероятность успеха, — это 40 000/130 000,
таково уж определение классической вероятности в этом месте.
Ну, то есть, попросту говоря, это 4/13.
И, соответственно, вероятность неудачи, то есть вероятность того,
что председатель не покупает батон в очередной своей покупке, — это 9/13.
Ну вот теперь уже совершенно очевидно, что если вот эта величина
n достаточно большая, а она, скорее всего, будет очень большой, — понимаете,
очевидно, что эта n никак не меньше чем 2000, ведь если мы хотим каждому
ребенку обеспечить батон, мы понимаем, что n должно быть заведомо больше 2000,
— так вот если n больше чем 2000, а p — это всего лишь 4/13, то, очевидно,
что ни о каком пуассоновском приближении в этом месте речь идти не может.
Пуассоновское приближение, как мы помним, работает коль скоро n * p² маленькое.
Но p² — это, извините, 9/169, то есть, в общем, величина Очень небольшая даже.
Большая, чем 1/20.
Если вы эту 1/20 умножите на 2000,
то ничего маленького вы отнюдь не получите — ошибка будет большой.
Поэтому очевидно, что надо применять приближение Муавра-Лапласа, извините, вот.
Ну и давайте его напишем.
Итак, μ с индексом n больше, либо равняется 2000.
Это то же самое, что μ с индексом
n минус np поделить на √npq больше,
либо равняется 2000 — np поделить на √npq.
То есть мы осуществляем стандартное преобразование под знаком
вероятности дабы подогнать вот это выражение под тот вид,
который обычно имеет место в рамках теоремы Муавра-Лапласа,
интегральной предельной теоремы, которую мы с вами знаем.
Ну и давайте считать явное.
Так, ну это вероятность того,
что μn — np, здесь можно не записывать,
явно поделить на √npq, больше, либо равняется,
а вот в этом месте нам уже конечно нужно как-то написать.
Так ну давайте напишем 2000, n мы пока не знаем,
n — это как раз та величина, которую нам предстоит отыскать.
Ну а p напишем честно, это 4/13 ну и поделим на √npq,
то есть на √ опять же из неизвестного нам n, которое мы хотим отыскать,
умножить на p на q, то есть на 4/13 и на 9/13.
Вот такая вот бяка получается.
Ну в принципе ничего страшного.
Значит, смотрите под √, внимание, под √ в знаменателе стоит 13².
Значит когда вы извлечете √ из этого полного квадрата,
когда вы извлечете √ из 13², вы получите просто 13, причем это
число 13 – оно стоит в знаменателе вот этого большого знаменателя.
То есть фактически оно перемещается в числитель.
Фактически, вот это деление на 13, это умножение на 13 в числителе.
Ну это вроде видно, совершенно понятно.
Ну если вы умножаете на 13 в числителе, давайте я скобку здесь закрою,
то 2000 превращаются естественно в 26 000, а 4/13 просто в 4.
Ну вот давайте так и перепишем.
У нас получается вероятность того,
что μn минус np на √npq больше,
либо равняется 26 000 минус 4n
поделить ну и здесь вот эти еще 4 умножить на 9,
остаются в знаменателе из них, благополучно корень-то извлекается,
потому что 4 умножить на 9 — это понятное дело 36 и из 36 √ — это просто 6.
То есть здесь остается 6 √n.
Ну вот такая вот запись как-то выглядит поприятнее.
Все, теперь мы готовы применить предельную теорему Муавра-Лапласа,
которая нам говорит, что с достаточно хорошей точностью вот эта вот вероятность
апроксимируется интегралом, вот таким: 1 поделить
на √2p и нужно осознать, в каких пределах еще ведется интегрирование.
Смотрите, ну вот эта вот величина, она больше, либо равна какого-то числа x,
которое в данном случае выражается такой формулой.
Раз больше, либо равна, значит интеграл должен с этого x и начинаться как раз.
Интегрирование идет от 26 000 − 4n поделить на 6 √n,
ну и до +∞, поскольку никаких ограничений сверху для этой величины у нас нет.
Она только лишь должна быть больше, либо равна указанного выражения.
Интегрируется разумеется E в степени − x² пополам.
Интегрируется по dx и теперь нам лишь хочется найти такое n приближенно,
найти такое n, при котором вот этот интеграл примерно
равен 0,95 − 0,95.
Ну тут я конечно смухлюю, в каком-то смысле я воспользуюсь неким знанием,
заложенным в определенные таблицы.
Но это в общем нормально, когда мы с вами обсуждали задачу о гардеробе,
там тоже в общем речь шла про какие-то таблицы и мы вполне ими пользовались.
Если вы возьмете любую хорошую книжку по вероятности или статистике,
то в конце вы аналогичные таблицы найдете.
То есть это таблицы, в которых написаны приближенные значения подобных интегралов.
Ну давайте я просто нарисую картинку может быть, чтоб было понятнее,
чтоб вам не пришлось куда-то лезть сразу, чтоб было просто понятно на интуитивном
уровне, как можно догадаться до того значения, которое здесь получится.
Мы знаем с вами, что график подинтегральной функции вот этой вот,
которая возникает в нашей вот этой вот задаче, в теореме Муавра-Лапласа.
Он выглядит как-то вот так и более или менее целиком и полностью
сосредоточен где-то в пределах от − 3 до 3.
Мы об этом говорили на лекции, как раз когда разбирали задачу про гардероб.
Ну в данном случае 3 и − 3 нам не очень подходят,
нам же хочется все-таки вероятность 0,95.
Но что очевидно сразу, очевидно, что половина площади под этим графиком
находится слева от оси ординат и половина площади находится справа.
То есть если мы хотим, чтобы площадь, – а интеграл, который здесь указан,
это площадь конечно под вот этой кривой, – чтобы эта площадь была сильно больше,
чем 0,5, а именно равнялась 0,95 и при этом площадь, как видите, она считается до
+∞ то ясно, что нам надо отступить куда-то влево, куда-то влево от оси ординат.
Вот эта вот точка, от которой начиная, ведется интегрирование,
она должна быть где-то слева, иначе у нас просто вся площадь вместе,
от нее до +∞ не получится такой большой, как нам бы хотелось.
Вот интуитивно это нужно понимать.
Нас интересует, конечно, вот этот вот кусочек.
И надо просто найти ту точку,
в которой площадь вот этого кусочка окажется примерно равной 0,95.
Ну я нашел по таблице,
вы можете посчитать приближенно на компьютере, если вам захочется.
В общем, эта вещь такая уже чисто рутинная.
Тут никаких сложностей нету.
Получается, что эта точка, которая в нашем случае записывается
как 26 000 − 4n поделить на 6√n — эта точка
есть ну что-то типа − 1,645.
Вот это отрицательное число, это примерно − 1645.
Опять, это совершенно не удивительно.
Ведь вспомните, мы же знаем, что если вот здесь вот написать − 3,
то такая площадь от − 3 до ∞,
она будет вообще порядка там 0,997.
То есть если нам всего лишь хочется добиться 0,95, а не 0,997 то понятно,
что надо брать где-то сильно правее, чем − 3, то есть интуиция совершенно понятная.
С одной стороны, да конечно, это число должно быть отрицательным,
потому что если оно равняется 0, то площадь всего лишь 0,5.
И до 0,95 мы никак не дотянем.
С другой стороны, слишком сильно отрицательно мало тоже быть не должно.
Если оно уже − 3, здесь будет отнюдь не 0,95, а 0,997, то есть гораздо больше.
Ну вот таблица она и показывает, что значение, которое нас интересует,
находится где-то посерединке это − 1,645.
Ну после этого можно хоть на компьютере, хоть приближенно на калькуляторе,
хоть как угодно, посчитать чему вот это вот n равняется, при котором такая дробь
выражается числом, примерно равным − 1,645 и убедиться в том,
что такое n само по себе это что-то типа 6702.
Итоговый ответ такой: председателю нужно купить,
вернее сделать 6702 последовательных покупки для того, чтобы с вероятностью
0,95 ни один из голодающих детей не остался без потенциального батона.
Вот такая вот вполне понятная прикладная задачка на формулу Муавра-Лапласа.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.
