Давайте я введу еще одно замечательное вероятностное пространство, которое будет очень полезно для красивых комбинаторных иллюстраций тех методов и тех оценок, которые мы будем в дальнейшем получать. Это то, что называется случайный граф. Это будет еще один важный пример пространства, который, как мне кажется, максимально хорошо проиллюстрирует в дальнейшем наши выкладки и наши результаты. Значит, случайный граф понимается очень просто. На самом деле это частный случай схемы испытаний Бернулли, я вам сразу скажу. Давайте, зафиксируем множество чисел натуральных от 1 до n. Обозначим его, скажем, V с индексом n в честь того, что это множество будет множеством вершин будущего случайного графа. Множеством вершин будущего случайного графа. Но множество вершин, как видите, фиксированы не случайно ни в коем случае. Значит, наверное, случайными будут ребра. И правда, давайте посмотрим, а сколько всего можно ребер провести в графе, если у него n вершин? Ну, понятно, в полном графе на n вершинах... В полном графе на n вершинах... В полном графе на n вершинах, конечно, C из n по 2 ребер. Всего C из n по 2 ребер. Ну, естественно, мы предполагаем, что в графе нет петель, в графе нет ориентации и в графе нет кратных ребер. Тогда, действительно, в полном графе на n вершинах C из n по 2 ребер. Давайте их как-нибудь обозначим. e1, e2,..., e с индексом C из n по 2. Это вот все ребра полного графа на n вершинах. Скажем, если n равняется 4. Давайте, я уж для максимальной ясности изложения нарисую этот самый полный граф на 4 вершинах. Вот у него 1, 2, 3, 4, 5, 6 ребер. Это как раз C из 4 по 2, если посчитать. Ну и точно так же полный граф на 5 вершинах имеет соответственно 10 ребер. Это C из 5 по 2. Ну и так далее. Для каждого n выпишем все ребра, какие, в принципе, можно провести на этом множестве из n вершин. Давайте далее зафиксируем число p из отрезка 0,1. Мы n зафиксировали, p тоже зафиксируем вслед за n. И давайте считать, что p – это вероятность, с которой мы проводим каждое отдельно взятое ребро. То есть, мы каждое отдельное ребро вот из этого множества проводим независимо от остальных с одной и той же вероятностью вот этой самой p. То есть, мы имеем дело со схемой Бернулли, в которой производится C из n по 2 испытаний, и в каждом испытании либо успех, либо неудача. Причем, если успех, то мы проводим ребро с соответствующим номером, с номером этого испытания, а если неудача – ну, тогда не проводим соответствующего ребра, не судьба. Такая вот ситуация. Вот. На выходе возникает случайный граф, у которого фиксированное, повторяю, множество вершин и случайное множество ребер, какое-то подмножество вот этого множества, зависящее от того, сколько раз фишка легла, ну, условно говоря, решкой кверху. То есть, когда действительно, случался успех, и мы проводили соответствующее ребро. Конечно, граф является элементарным исходом точно так же, как в любой схеме испытаний Бернулли вся последовательность из ноликов и единичек является элементарным исходом. Граф – это элементарный исход в нашей схеме. И вероятность того, что реализуется в результате вот этой схемы именно такой конкретный граф, она, конечно, вычисляется стандартно по формуле p в степени число успехов. Ну, а успехов то сколько? А сколько ребер мы провели, столько и успехов. То есть, p в степени мощность E (количество успехов) умножить на q (ну, то есть, на 1-p) в степени общее количество испытаний минус число успехов. Ну, понятно, я ж говорю, что это частный случай схемы испытаний Бернулли. Вот такая вот простая тоже конструкция дает нам некий пример содержательного нового вероятностного пространства, в котором, повторяю, элементарными исходами являются графы. А вероятности графов задаются вот такими вот бернуллиевскими выражениями. Ну, мы же все-таки с вами говорим про какие-то случайные величины. Вот, на графах очень удобно задавать какие-то разумные естественные случайные величины, поэтому я хотел рассматривать это как продолжение вот этого множества примеров. Все-таки sinω – это какая-то глупость. А вот когда реализовался случайный граф, тогда можно много чего посчитать. Вполне практически значимое, и об этом мы обязательно в свое время поговорим. Значит, смотрите: ξ(G) давайте, например, положим равным числу треугольников в случайном графе. Ну, действительно, давайте рассмотрим совсем уж частный случай. Пусть n = 4, и реализовался случайный граф, представляющий собой вот такой вот цикл. Ну, так случилось. То есть, вот эти ребра не реализовались, а вот эти четыре произошли, пожалуйста, провелись. Спрашивается, ну сколько в нем треугольников? Ну, конечно, ξ от этого графа равняется нулю, потому что треугольник – это просто полный подграф на трех вершинах. То есть, три вершины, которые попарно соединены ребрами. В данном случае такой тройки вершин в графе нет. Ну, ξ = 0, хорошо. А если вдруг реализовался, например, вот такой вот граф, тогда ξ от него чему будет равняться? Ну, видно, здесь уже есть и этот треугольник, и этот треугольник. Таким образом, ξ будет равняться 2. Бывают разные ситуации. В зависимости от того, какой реализуется элементарный исход, ξ может принимать то или иное, внимание, конкретное неслучайное значение. То есть, хоть она и называется случайной величиной, но случайность ее связана только и только с тем, что объект, который подставляется в нее в качестве аргумента, изначально кажется нам случайным. Но когда он уже реализовался, значение ξ на нем – это вполне конкретное число. Вот это очень важно понимать.