Но даже исходя из этого простого неравенства, можно для примера доказать следующий замечательный результат относительно количества треугольников в случайном графе. Ну давайте такая будет теорема симпатичная, просто чтобы вы понимали, как можно на практике применять неравенство Маркова в простейшем примере. Значит, пусть число вершин случайного графа растёт, ну, если угодно, к бесконечности, меняется, и пусть вероятность, с которой мы проводим каждое отдельно взятое ребро случайного графа, вот это p, — это тоже функция, которая при каждом n принимает своё отдельное значение. Причём вот эта функция, она очень быстро стремится к нулю с ростом n. Пусть вероятность ребра случайного графа с ростом числа вершин становится очень-очень маленькой, а именно: p от n умножить на n, давайте так np(n), стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности. То есть вероятность возникновения отдельно взятого ребра, она бесконечно мала в сравнении с 1/n, ну, скажем, 1/n² или 1/nlogn — ну какая-то такая совсем быстро стремящаяся к нулю функция. Утверждается, что тогда вероятность того, что в случайном графе нет треугольников, ξ = 0, стремится к единице при n, стремящемся к бесконечности. Или, как говорят ещё довольно забавно в этой науке, асимптотически почти наверное в случайном графе нет треугольников. То есть если с ростом числа вершин вероятность, она всё быстрее и быстрее приближается к нулю, то почти наверняка треугольников в случайном графе не возникнет. Вы скажете, это интуитивно понятно: да, если вероятность очень маленькая, рёбер мало, и треугольники, наверно, не возникают. Ну, я согласен, да, именно так. Но мы же не можем с вами даже посчитать эту вероятность, мы не знаем, с какой вероятностью в случайном графе нет треугольников. А вот тут мы всё-таки можем утверждать, что, по крайней мере, эта вероятность крайне близка к единице. И почему именно в таких условиях? А, может быть, надо, чтобы p вообще равнялось нулю? Хорошо, если p равняется нулю, никаких рёбер нет, треугольников нет тем более. Но почему достаточно потребовать, чтобы именно такое произведение стремилось к нулю? Вот это и обеспечивается неравенством Маркова. Смотрите, доказательство в одну строчку. Вероятность того, что ξ = 0 — это единица минус вероятность того, что ξ больше либо равно единице. Ну, это понятно, потому что я просто написал отрицание событий. Здесь стоит вероятность A, здесь стоит вероятность A с чертой. Мы такое свойство, конечно, знаем. ξ принимает неотрицательные значения, единица — положительное число, поэтому, согласно неравенству Маркова, вероятность, которая написана здесь, не превосходит математического ожидания ξ. Ну а значит разность больше либо равна 1 − Mξ. Mξ мы с вами сосчитали с помощью линейности, это у нас уже есть, оно равно C из n по 3 на p³. Так, давайте посмотрим отдельно на величину C из n по 3 на p³. Это есть, конечно, n (n − 1)(n − 2) поделить на 3-факториал, то есть на 6, и умножить на p³. Ну, как принято писать в анализе, вот это произведение асимптотически равно n³, принято писать тильдочку, n³/6 на p³. О, смотрите, n умножить на p и всё в кубе. np стремится к нулю, значит и это произведение тоже стремится к нулю. То есть математическое ожидание стремится к нулю, а разность, которая здесь написана, стремится к единице. И всё, в одну строчку теорема доказана. Значит, это, действительно, очень простой результат, но ни в жизнь бы мы его с вами не получили, если бы, во-первых, не сумели сосчитать математическое ожидание с помощью линейности, а, во-вторых, не знали бы неравенства Маркова. То есть вот такое первое очень симпатичное применение неравенства Маркова, которое можно предложить. Мне кажется очень забавно.