[AUDIO_VIDE] Bonjour, nous allons faire un exercice sur une condition suffisante pour la convergence presque sûre. Soit Xn pour n positif ou nul et X des variables aléatoires sur un espace de probabilité. Donc, première question qui est en elle-même un petit exercice, on suppose que pour tout Epsilon strictement positif la série somme pour n positif ou nul de probabilité pour que valeur absolue de Xn moins X soit strictement plus grande qu'Epsilon converge donc question petit a, montrer que pour tout n strictement positif la probabilité de l'évènement où la somme pour n plus grand que 0 de l'indicatrice de valeur absolue de Xn moins X est strictement plus grande qu'Epsilon est convergente donc strictement plus petit que l'infini donc la probabilité que cette série converge est égale à 1. Petit b montrer que Xn converge presque sûrement vers grand X. Deuxième question de l'exercice qui utilise le résultat de la question précédente, c'est une question plus difficile, pour la faire il faut être à l'aise en analyse. Question petit a en déduire, déduire du résultat précédent, que si Xn converge en probabilité vers X alors il existe une sous-suite n indice k telle que Xn indice k converge presque sûrement quand k tend vers l'infini vers X. Une suite variable aléatoire qui converge en probabilité vers grand X, on peut extraire une sous-suite qui converge presque sûrement vers grand X. Solution de l'exercice condition suffisante pour la convergence presque sûre, Pour la première question petit a, nous avions comme hypothèse que la série somme de probabilité de valeurs absolues de Xn moins X est strictement plus grand qu'Epsilon était convergente. Nous avons utilisé le fait que la probabilité d'un évènement c'est l'espérance de l'indicatrice de cet évènement. Donc la somme des probabilités pour que valeur absolue de Xn moins X soit plus grand qu'Epsilon c'est la somme des espérances des indicatrices des évènements valeurs absolues de Xn moins X plus grand qu'Epsilon. Dons l'espérance, cette somme d'espérances converge. Cette série somme des espérances d'indicatrices de Xn moins X plus grand qu'Epsilon est plus petite que l'infini. Nous appliquons à cette série le théorème de Fubini, nous pourrons intervertir la série et l'espérance donc la série des espérances des indicatrices de Xn moins X plus grand qu'Epsilon c'est aussi l'espérance de la série des indicatrices Xn moins X plus grand qu'Epsilon. Donc cette espérance de cette série est finie. L'espérance d'une variable aléatoire est finie, ça implique que la variable aléatoire en question est finie presque sûrement. Donc celle-ci implique que la probabilité d'un évènement où la série somme des indicatrices de valeurs absolues de Xn moins X est plus grand qu'Epsilon converge, plus petit que l'infini donc la probabilité de cet évènement est égal à 1. Sans ça l'espérance ne pourrait pas être finie. Une autre façon de résoudre la question c'est d'appliquer le Lemme de Borel-Cantelli je vous laisse éventuellement réfléchir au lien entre la lim sup de l'évènement et la série en question. Petit b, nous avons montré que sous les hypothèses pour tout Epsilon positif la probabilité de l'évènement où la série des indicatrices où Xn moins X est plus grand qu'Epsilon converge la probabilité de cet évènement est égale à 1. Pour des raisons de théorie de la [INAUDIBLE] nous pouvons pas regarder tous les Epsilon, nous allons considérer une suite Epsilon k décroissant strictement vers 0. Nous allons considérer l'évènement grand C où la suite Xn converge, le petit oméga tel que xn d'oméga converge. Par définition de la convergence des suites réelles, C peut s'écrire comme étant l'intersection pour les k supérieurs ou égal à 1, c'est une intersection décroissante puisqu'on a choisi les Epsilon k qui décroissaient. C c'est l'intersection décroissante des évènements où la série des indicatrices de Xn moins X plus grand qu'Epsilon k converge. Il suffit d'écrire la convergence des suites réelles grâce à la suite Epsilon k qui tend vers 0 donc comme ces ensembles sont décroissants nous appliquons le théorème de la limite monotone qui est un des premiers théorèmes des probabilités et qui se déduit de la Sigma additivité de la probabilité donc par limite monotone la probabilité de l'évènement grand C c'est la limite décroissante des probabilités des évènements en question. Or tous ces évènements ont probabilité 1. Donc la limite décroissante d'une suite constante A égal à 1 c'est 1 Donc la probabilité de l'évènement C de convergence est égal à 1. Autrement dit ça c'est la définition du fait que Xn converge presque sûrement vers grand X. Nous avons donc démontré que Xn converge presque sûrement vers grand X. Maintenant nous passons à la deuxième question qui est une application de la première question. Il s'agissait de montrer que si une suite Xn tendait en probabilité vers grand X on pouvait extraire une sous-suite qui converge presque sûrement. Donc on se donne une suite Epsilon k tendant vers 0, par hypothèse, nous avons la convergence en probabilité donc la probabilité de valeur absolue de Xn moins X plus grand qu'Epsilon tend vers 0. A partir de ce moment là, nous pouvons trouver une suite strictement croissante n indice k telle que la probabilité de X n indice k moins grand X est plus grand qu'Epsilon k soit inférieur ou égal à 1 sur k au carré, par exemple, l'important c'est que ce soit une série convergente. Pour cette suite strictement croissante n indice k, nous aurons que la série somme pour k plus grand que 1 des probabilités de ces évènements est convergente. Donc nous avons pris une suite Epsilon k qui tend vers 0 et nous remarquons que l'application qui à Delta associe la probabilité pour que valeur absolue de Xn k moins X est plus grand que Delta décroît. Donc nous avons par ces 2 faits, le fait que pour tout Epsilon strictement positif la série probabilités des valeurs absolues de Xn k moins X est plus grand qu'Epsilon, cette série converge. Parce que pour k assez grand, Epsilon k sera plus petit qu'Epsilon, par la décroissance nous aurons que la queue de la série sera plus petite que la queue de la série précédente. Donc le résultat précédent, le résultat du premièrement de l'exercice montre que la suite extraite X indice n k converge presque sûrement vers grand X. Fin de l'exercice.
