Une condition suffisante pour la convergence presque-sûre

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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

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École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

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Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

Из урока

CONVERGENCES ET LOI DES GRANDS NOMBRES (1/2)

Nous entamons le Cours 5 dont l'objet principal est le théorème communément appelé la « loi des grands nombres ». Nous introduirons aussi plusieurs notions de convergence d'une suite de variables aléatoires.

Minimum et maximum de variables aléatoires uniformes7:26

La convergence presque-sûre implique la convergence en probabilité2:23

Une métrique pour la convergence en probabilité4:37

Exemples de convergence de variables aléatoires5:38

Une condition de moment pour la convergence en moyenne4:51

Une condition suffisante pour la convergence presque-sûre6:04

Познакомьтесь с преподавателями

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[AUDIO_VIDE] Bonjour,

nous allons faire un exercice sur une condition suffisante

pour la convergence presque sûre.

Soit Xn pour n positif ou nul et X

des variables aléatoires sur un espace de probabilité.

Donc, première question qui est en elle-même un petit exercice,

on suppose que pour tout Epsilon strictement positif la série

somme pour n positif ou nul de probabilité pour que valeur absolue de Xn moins X soit

strictement plus grande qu'Epsilon converge donc question petit a, montrer

que pour tout n strictement positif la probabilité de l'évènement où la somme

pour n plus grand que 0 de l'indicatrice de valeur absolue de Xn moins X est

strictement plus grande qu'Epsilon est convergente donc strictement plus petit

que l'infini donc la probabilité que cette série converge est égale à 1.

Petit b montrer que Xn converge presque sûrement vers grand X.

Deuxième question de l'exercice qui utilise le résultat de la question

précédente, c'est une question plus difficile,

pour la faire il faut être à l'aise en analyse.

Question petit a en déduire, déduire du résultat précédent, que si Xn

converge en probabilité vers X alors il existe une sous-suite n indice k telle

que Xn indice k converge presque sûrement quand k tend vers l'infini vers X.

Une suite variable aléatoire qui converge en probabilité vers grand X,

on peut extraire une sous-suite qui converge presque sûrement vers grand X.

Solution de l'exercice condition suffisante

pour la convergence presque sûre, Pour la première question petit a,

nous avions comme hypothèse que la série somme de probabilité de valeurs

absolues de Xn moins X est strictement plus grand qu'Epsilon était convergente.

Nous avons utilisé le fait que la probabilité d'un évènement c'est

l'espérance de l'indicatrice de cet évènement.

Donc la somme des probabilités pour que valeur absolue de Xn moins X soit

plus grand qu'Epsilon c'est la somme des espérances des indicatrices

des évènements valeurs absolues de Xn moins X plus grand qu'Epsilon.

Dons l'espérance, cette somme d'espérances converge.

Cette série somme des espérances d'indicatrices de Xn moins X plus

grand qu'Epsilon est plus petite que l'infini.

Nous appliquons à cette série le théorème de Fubini,

nous pourrons intervertir la série et l'espérance donc la série

des espérances des indicatrices de Xn moins X plus grand qu'Epsilon c'est aussi

l'espérance de la série des indicatrices Xn moins X plus grand qu'Epsilon.

Donc cette espérance de cette série est finie.

L'espérance d'une variable aléatoire est finie,

ça implique que la variable aléatoire en question est finie presque sûrement.

Donc celle-ci implique que la probabilité d'un évènement où la série

somme des indicatrices de valeurs absolues de Xn moins X est plus grand qu'Epsilon

converge, plus petit que l'infini donc la probabilité de cet évènement est égal à 1.

Sans ça l'espérance ne pourrait pas être finie.

Une autre façon de résoudre la question c'est d'appliquer le Lemme de

Borel-Cantelli je vous laisse éventuellement réfléchir au lien entre la

lim sup de l'évènement et la série en question.

Petit b, nous avons montré que sous les hypothèses pour tout Epsilon positif

la probabilité de l'évènement où la série des indicatrices où Xn moins X est plus

grand qu'Epsilon converge la probabilité de cet évènement est égale à 1.

Pour des raisons de théorie de la [INAUDIBLE] nous pouvons pas regarder

tous les Epsilon,

nous allons considérer une suite Epsilon k décroissant strictement vers 0.

Nous allons considérer l'évènement grand C où la suite Xn converge,

le petit oméga tel que xn d'oméga converge.

Par définition de la convergence des suites réelles,

C peut s'écrire comme étant l'intersection pour les k supérieurs ou égal à 1, c'est

une intersection décroissante puisqu'on a choisi les Epsilon k qui décroissaient.

C c'est l'intersection décroissante des évènements où la série

des indicatrices de Xn moins X plus grand qu'Epsilon k converge.

Il suffit d'écrire la convergence des suites réelles

grâce à la suite Epsilon k qui tend vers 0 donc comme ces ensembles sont décroissants

nous appliquons le théorème de la limite monotone qui est un des premiers théorèmes

des probabilités et qui se déduit de la Sigma additivité de la probabilité

donc par limite monotone la probabilité de l'évènement grand C c'est

la limite décroissante des probabilités des évènements en question.

Or tous ces évènements ont probabilité 1.

Donc la limite décroissante d'une suite constante A égal à 1 c'est 1

Donc la probabilité de l'évènement C de convergence est égal à 1.

Autrement dit ça c'est la définition du fait que Xn converge

presque sûrement vers grand X.

Nous avons donc démontré que Xn converge presque sûrement vers grand X.

Maintenant nous passons à la

deuxième question qui est une application de la première question.

Il s'agissait de montrer que si une suite Xn tendait en probabilité vers grand X

on pouvait extraire une sous-suite qui converge presque sûrement.

Donc on se donne une suite Epsilon k tendant vers 0, par hypothèse,

nous avons la convergence en probabilité donc la probabilité de

valeur absolue de Xn moins X plus grand qu'Epsilon tend vers 0.

A partir de ce moment là, nous pouvons trouver une suite strictement croissante

n indice k telle que la probabilité de X n indice k moins grand X

est plus grand qu'Epsilon k soit inférieur ou égal à 1 sur k au carré, par exemple,

l'important c'est que ce soit une série convergente.

Pour cette suite strictement croissante n indice k, nous aurons que la série somme

pour k plus grand que 1 des probabilités de ces évènements est convergente.

Donc nous avons pris une suite Epsilon k qui tend vers 0 et nous remarquons que

l'application qui à Delta associe la probabilité pour que valeur absolue de Xn

k moins X est plus grand que Delta décroît.

Donc nous avons par ces 2 faits,

le fait que pour tout Epsilon strictement positif la série probabilités des

valeurs absolues de Xn k moins X est plus grand qu'Epsilon, cette série converge.

Parce que pour k assez grand, Epsilon k sera plus petit qu'Epsilon,

par la décroissance nous aurons que la queue de la série sera plus petite que la

queue de la série précédente.

Donc le résultat précédent, le résultat du premièrement de l'exercice montre que

la suite extraite X indice n k converge presque sûrement vers grand X.

Fin de l'exercice.

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