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Bonjour.
Bienvenue dans le cours d'aléatoire de l'École Polytechnique.
Nous sommes au cours 5.
Nous allons faire un exercice,
sur une condition de moment, pour la convergence en moyenne.
Soit X n, une suite de variables aléatoires,
telle que X n converge en probabilité vers 0.
On suppose qu'il existe une fonction f de R + dans R +, telle que la limite quand
x tend vers l'infini de f (x) / x tend vers l'infini, et telle que pour tout n,
l'espérance de f (X n) inférieure ou égale à grand A, grand A étant fini.
Autrement dit, nous avons une borne uniforme sur les espérances de f (X n).
Un exemple de fonction de cette sorte qu'on utilise souvent, c'est x donne
x à la puissance (1 + delta), pour delta strictement positif, pour que x sur
1 plus delta sur x, cela donne x puissance delta, et cela tende vers l'infini.
Question.
Montrer qu'alors X n converge en moyenne vers 0.
Indication pour l'exercice : séparer les petites valeurs des grandes,
donc c'est à vous de chercher.
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Solution de l'exercice Condition de moment pour convergence en moyenne.
Quitte à considérer la valeur absolue de X n, on peut supposer que
X n est positif ou nul, cela évite de dire valeur absolue tout le temps.
Donc, une indication c'est peut-être de séparer les petites et les grandes
valeurs, donc on va donner un epsilon strictement positif et un b > epsilon,
epsilon aura vocation à être petit, b à être grand.
Donc, nous allons séparer X n suivant ces valeurs.
Donc, l'espérance de X n, c'est l'espérance de X n, indicatrice de X n
inférieur ou égal à epsilon + l'espérance de X n, indicatrice de X n compris entre
epsilon et b + l'espérance de X n, indicatrice de b inférieur ou égal à X n.
Nous majorons ces termes.
Donc, l'espérance de X n, indicatrice de X n plus petit que epsilon,
puisque X n est plus petit que epsilon, nous allons majorer ce terme par epsilon.
Dans le deuxième terme, X n est compris entre epsilon et b.
Donc, pour l'espérance de X n fois l'indicatrice,
nous allons majorer X n par b.
Et ensuite,
nous avons l'espérance de l'indicatrice de X n compris entre epsilon et b.
Nous allons majorer cela par l'indicatrice que X n est plus grand que b.
L'espérance d'une indicatrice étant la probabilité, donc le deuxième terme
est majoré par b * probabilité que X n soit plus grand que epsilon.
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En définitive, nous avons majoré l'espérance de X n par epsilon + b *
probabilité que X n est plus grand qu'epsilon + l'espérance de X n,
indicatrice de X n supérieur ou égal à b, Epsilon est petit.
Par la conjonction de probabilité, le deuxième terme va tendre vers 0.
Ce qui nous intéresse, c'est le dernier terme,
espérance de X n, indicatrice de X n supérieur ou égal à b.
Donc, nous allons étudier ce terme.
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L'espérance de X n, indicatrice que X n est supérieur ou égal à b,
nous allons l'écrire, il faut bien introduire la fonction f quelque part,
nous allons l'écrire comme étant l'espérance de X n / f ( X n) * f ( X n ),
indicatrice que X n est supérieur ou égal à b.
Nous allons exploiter le fait que f (x) / x tend vers l'infini,
c'est-à-dire que x / f (x) tend vers 0.
Donc, il suffit de choisir b dépendant d'epsilon assez grand,
pour que si x est supérieur ou égal à b indice epsilon, pour indiquer la
dépendance à l'epsilon, f (x) / x soit plus grande que grand A / epsilon.
Grand A, c'était la borne sur les espérances de f ( X n).
Mais cela c'est équivalent à dire pour que x / f (x) soit plus petit qu'epsilon / A.
Donc, si nous choisissons b epsilon ainsi, l'espérance de X n indicatrice
de X n supérieur ou égal à b epsilon, cela va être majoré par epsilon / grand A,
nous avons vu que x / f (x) est plus petit qu'epsilon / grand A, lorsque x est plus
grand que b epsilon, donc X n / f (X n) va être majoré sur epsilon / grand A.
Et il reste espérance de f ( X n ) * une indicatrice, que nous majorons par 1.
Donc, nous avons majoré le terme qui nous intéresse par epsilon / grand
A * espérance de f (X n).
Je vous rappelle que les espérances de f (X n) étaient majorées uniformément
par grand A.
En définitive, nous obtenons une borne epsilon.
Du coup, je rappelle la borne que nous avons obtenue pour epsilon strictement
positif, nous avons montré que l'espérance de X n est plus petite que epsilon
+ b epsilon, donc ici, * probabilité que X n est plus grand que epsilon +
l'espérance de X n indicatrice de X n supérieur ou égal à b epsilon.
Nous avons fixé l'epsilon et pris le b epsilon,
que nous avons déterminé tout à l'heure.
Donc, nous pouvons majorer l'espérance de X n,
par 2 epsilon + b epsilon * probabilité que X n soit supérieur ou égal à epsilon.
Du coup, d'un côté epsilon est arbitraire.
D'un autre côté, la convergence en probabilité implique que b epsilon *
probabilité de X n supérieur ou égal à epsilon, tend vers 0.
b epsilon est peut-être grand, mais de toute façon,
la probabilité de X n plus grand qu'epsilon tend vers 0.
Donc, on conclut par cette borne que l'espérance de X n tend vers 0.
Donc, puisqu'epsilon est arbitraire, et que nous avons cette convergence vers 0.
Autrement dit, l'espérance de X n tend vers 0,
cela veut dire X n converge en moyenne vers 0.
Nous avons ainsi fini la solution de l'exercice,
et donc l'exercice tout entier.
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Carl Graham
