Donc, pour tout a positif ou nul, la probabilité que Z epsilon soit
strictement plus grand que a, c'est donc la probabilité que X epsilon soit
plus grand que a sur epsilon, puisque Z, c'est epsilon X.
Donc X epsilon, c'est une variable aléatoire géométrique, cette probabilité,
c'est 1 moins p epsilon, puissance la partie entière de a sur epsilon.
Il faut avoir eu puissance entière de a sur epsilon échec,
entre guillemets, pour que X epsilon soit plus grand que a sur epsilon, donc c'est 1
moins p epsilon à la puissance partie entière de a sur epsilon, ou alors,
vous faites le calcul à partir de la loi en sommant une série géométrique.
Donc, 1 moins p epsilon à la puissance partie entière de a sur epsilon,
pour voir quelle est sa limite, nous l'écrivons comme étant l'exponentielle de
partie entière a sur epsilon fois le logarithme de 1 moins p epsilon.
Nous prenons l'exponentielle du logarithme de 1 moins p epsilon à la puissance
partie entière de a sur epsilon et puis, vous utilisez la propriété du logarithme.
Donc, ensuite, il suffit puisque epsilon tend vers 0, et que p epsilon sur epsilon
tend vers lambda strictement positif, c'est que p epsilon tend 0.
Donc, il suffit de faire un développement limité
dans le logarithme de 1 moins p epsilon.
Le premier terme, c'est moins p epsilon, et puis, ensuite un petit o de p epsilon.
Donc, en définitive, nous trouvons que la probabilité pour que Z epsilon soit
strictement plus grande que a, s'écrit exponentielle de moins partie entière de
a sur epsilon, multiplié par p epsilon plus un petit o de p epsilon.
Alors, epsilon tendant vers 0, la partie entière de a sur epsilon est
de plus en plus proche asymptotiquement de a sur epsilon, équivalent à a sur epsilon,
donc multiplié par p epsilon, c'est équivalent à lambda a, donc nous trouvons
que la limite de la probabilité de Z epsilon strictement plus grand que a,
c'est exponentielle de moins lambda a,
nous reconnaissons la fonction de survie de l'exponentielle ou 1 moins la fonction
de répartition de l'exponentielle ou si vous préférez l'intégrale de a à l'infini,
de lambda exponentielle moins lambda x, dx.
Donc, la limite est exponentielle de paramètre lambda,
nous utilisons le théorème qui dit que les fonctions convergent en loi,
si et seulement si les fonctions de répartition convergent simplement en tout
point de continuité de la fonction de répartition limite, donc, ici,
nous regardons les fonctions de survie qui sont 1 moins les fonctions de répartition,
le théorème demeure exactement le même.
Donc, ainsi, nous avons montré que ces lois, ces variables aléatoires
géométriques renormalisées convergent vers une variable aléatoire exponentielle.
