Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Trois exemples de convergence en loi
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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2
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FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES, CONVERGENCE EN LOI ET THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE (2/2)
Cette dernière semaine est consacrée au second pilier de la théorie des probabilités : le théorème de la limite centrale. Ce résultat nécessite une nouvelle notion de convergence : la convergence en loi. Nous verrons notamment une application aux intervalles de confiance qui sont utilisés pour les sondages.
Познакомьтесь с преподавателями
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON] Bonjour.
Nous allons faire un exercice sur 3 exemples de convergence en loi.
Exercice : 3 exemples de convergence en loi.
Chacune des 3 questions constitue un petit exercice à part.
Première question, pour tout n, soit Xn une variable aléatoire de loi uniforme sur
1, n, sur l'ensemble 1, 2, 3, jusqu'à n.
Soit a strictement plus petit que b dans R.
Montrer que si n tend vers l'infini, alors la variable aléatoire Zn égale a +
(b- a) sur n, Xn converge en loi et en donner la limite.
Deuxième question de l'exercice, pour tout epsilon strictement positif,
soit X epsilon une variable aléatoire de loi géométrique sur N étoile,
de paramètre de succès p epsilon, strictement inclus entre 0 et 1,
dont la loi est donnée par probabilité que X epsilon est égal à k,
est égale à p epsilon facteur de (1- p epsilon) à la puissance (k- 1),
pour k supérieur ou égal à 1.
Montrer que si epsilon tend vers 0, et p epsilon sur epsilon tend vers lambda,
constante strictement positive, alors Z epsilon, qui est
défini comme étant epsilon fois X epsilon, converge en loi et en donner la limite.
Troisième question de l'énoncé, pour tout thêta strictement positif,
soit N thêta une variable aléatoire de loi de Poisson, paramètre thêta.
Montrer que si thêta tend vers l'infini, alors la variable aléatoire Z thêta,
définie comme étant N thêta moins thêta, le tout divisé,
par racine de thêta, converge en loi et en donner la limite.
Solution de l'exercice : 3 exemples de convergence en loi.
Première question,
nous avons pris une variable aléatoire Xn uniforme sur l'ensemble discret 1, 2, 3,
jusqu'à n, et Zn qui est égal à a + (b- a) sur n, fois Xn.
Nous devons montrer que Zn converge et trouver la limite.
Commençons par utiliser la définition de la convergence en loi.
Soit une fonction f continue sur l'intervalle a, b arbitraire,
continue sur l'intervalle a, b, fermé, fini, c'est donc continue bornée.
Par définition, l'espérance de f de Zn,
c'est l'espérance de f de a + (b- a) sur n, Xn.
C'est Zn qui vaut a + (b- a) sur n, Xn.
Et ensuite, puisque Xn est uniforme sur 1, 2, 3, jusqu'à n,
ça s'écrit comme 1 sur n, somme de k égale 1, à n, f de a + (b- a) sur n, k.
Donc, ensuite il faut pour y arriver, à trouver la limite de cette somme.
Alors, donc, l'espérance comme nous l'avons vu de f de Zn, c'est 1 sur n,
somme de k égale 1, à n, f de a + (b- a) sur n, k.
Nous avons envie de faire intervenir les sommes de Riemann.
Donc, nous multiplions et divisons par b- a, donc,
nous trouvons que l'espérance de f de Zn, c'est 1 sur (b- a) facteur de (b- a)
sur n, somme de k égale 1, à n, f de a + (b- a) sur n, k.
Nous reconnaissons les sommes de Riemann, qui convergent vers l'intégrale de f de x,
dx, donc, l'espérance de f de Zn converge, pour tout f, donc,
continu, vers 1 sur (b- a), intégrale de a à b de f de x,
dx, donc la limite de Zn, c'est la loi uniforme sur l'intervalle a, b.
Ceci termine une preuve du fait que Zn converge vers la loi uniforme.
Une autre preuve, ça serait d'utiliser les fonctions de répartition, pas très
compliquée à faire, c'est des fonctions en escaliers qui se rapprochent de plus
en plus de la droite, qui va joindre le point a0 au point b1.
Je vous laisse faire comme sous-exercice.
Deuxième question de l'exercice,
nous prenions X epsilon, une loi géométrique sur N étoile,
de paramètre de succès p epsilon, qui est de l'ordre de l'ordre d'epsilon,
epsilon tendant vers 0, et Z epsilon qui est égal à epsilon fois X epsilon.
Donc, le paramètre de succès est de plus en plus petit, X epsilon aura
tendance à être de plus en plus grand, mais si on multiplie par epsilon,
on peut espérer ramener et donc, Z epsilon égale epsilon X epsilon,
à une variable aléatoire qui admettra une limite.
Pour montrer qu'il y a une convergence, étant donné la forme particulièrement
simple des fonctions de répartition de la loi géométrique,
nous allons utiliser les fonctions de répartition F epsilon, F Z epsilon,
F Z epsilon va indiquer la fonction de répartition de Z epsilon,
ou plutôt ce qui est encore plus simple, ce qu'on appelle les fonctions de survie,
les F barre de epsilon, qui sont 1- F epsilon.
La convergence des fonctions de survie et des fonctions de répartition,
c'est évidemment, tout à fait, équivalente.
Donc les fonctions de survie F barre d'epsilon,
s'écrivent F barre d'epsilon la fonction qui a a appartenant à R+,
on va se limiter à des valeurs positives, associe F epsilon de a, F barre
epsilon de a égale la probabilité que Z epsilon soit strictement plus grand que a.
Donc, pour tout a positif ou nul, la probabilité que Z epsilon soit
strictement plus grand que a, c'est donc la probabilité que X epsilon soit
plus grand que a sur epsilon, puisque Z, c'est epsilon X.
Donc X epsilon, c'est une variable aléatoire géométrique, cette probabilité,
c'est 1 moins p epsilon, puissance la partie entière de a sur epsilon.
Il faut avoir eu puissance entière de a sur epsilon échec,
entre guillemets, pour que X epsilon soit plus grand que a sur epsilon, donc c'est 1
moins p epsilon à la puissance partie entière de a sur epsilon, ou alors,
vous faites le calcul à partir de la loi en sommant une série géométrique.
Donc, 1 moins p epsilon à la puissance partie entière de a sur epsilon,
pour voir quelle est sa limite, nous l'écrivons comme étant l'exponentielle de
partie entière a sur epsilon fois le logarithme de 1 moins p epsilon.
Nous prenons l'exponentielle du logarithme de 1 moins p epsilon à la puissance
partie entière de a sur epsilon et puis, vous utilisez la propriété du logarithme.
Donc, ensuite, il suffit puisque epsilon tend vers 0, et que p epsilon sur epsilon
tend vers lambda strictement positif, c'est que p epsilon tend 0.
Donc, il suffit de faire un développement limité
dans le logarithme de 1 moins p epsilon.
Le premier terme, c'est moins p epsilon, et puis, ensuite un petit o de p epsilon.
Donc, en définitive, nous trouvons que la probabilité pour que Z epsilon soit
strictement plus grande que a, s'écrit exponentielle de moins partie entière de
a sur epsilon, multiplié par p epsilon plus un petit o de p epsilon.
Alors, epsilon tendant vers 0, la partie entière de a sur epsilon est
de plus en plus proche asymptotiquement de a sur epsilon, équivalent à a sur epsilon,
donc multiplié par p epsilon, c'est équivalent à lambda a, donc nous trouvons
que la limite de la probabilité de Z epsilon strictement plus grand que a,
c'est exponentielle de moins lambda a,
nous reconnaissons la fonction de survie de l'exponentielle ou 1 moins la fonction
de répartition de l'exponentielle ou si vous préférez l'intégrale de a à l'infini,
de lambda exponentielle moins lambda x, dx.
Donc, la limite est exponentielle de paramètre lambda,
nous utilisons le théorème qui dit que les fonctions convergent en loi,
si et seulement si les fonctions de répartition convergent simplement en tout
point de continuité de la fonction de répartition limite, donc, ici,
nous regardons les fonctions de survie qui sont 1 moins les fonctions de répartition,
le théorème demeure exactement le même.
Donc, ainsi, nous avons montré que ces lois, ces variables aléatoires
géométriques renormalisées convergent vers une variable aléatoire exponentielle.
Solution à la troisième question, N thêta est une variable aléatoire de Poisson,
paramètre thêta.
Et Z thêta, c'est N de thêta moins thêta divisé par racine de thêta.
Nous savons que les variables aléatoires de Poisson ont une fonction génératrice et
donc, une transformée de Fourier et donc, une fonction caractéristique
qui s'écrit assez simplement, donc nous allons utiliser la caractérisation
de la convergence en loi par les fonctions caractéristiques,
donc nous utilisons les fonctions caractéristiques,
Phi indice thêta qui sont fonctions caractéristiques de Z thêta.
Donc, nous prenons u réel et nous calculons Phi thêta de u.
Par définition, c'est l'espérance de l'exponentielle de i u,
facteur de N thêta moins thêta sur racine de thêta.
Donc, première chose, il y a des constantes que nous pouvons sortir, donc,
nous mettons en facteur l'exponentielle de moins i u racine de thêta,
moins thêta sur racine de thêta, c'est racine de thêta, donc,
facteur de l'espérance d'exponentielle de i u racine de thêta N thêta.
Là, nous voyons que c'est la valeur de la fonction génératrice de N de thêta prise
en Z égale exponentielle de i u sur racine de thêta ou alors
on utilise la formule de la fonction caractéristique qui se déduit comme ça.
Par conséquence, Phi thêta de u s'écrit donc, cette constante qui est sortie de
l'espérance, exponentielle de- i u racine de thêta, fois la valeur de
la fonction génératrice d'une variable de Poisson de paramètre thêta, prise en e i u
racine de thêta, c'est-à-dire l'exponentielle de thêta, entre parathèse
e i u sur racine de thêta le tout moins 1, thêta en facteur de tout ça.
Donc, pour ça nous utilisons simplement la fonction génératrice d'une variable de
Poisson, paramètre thêta.
Donc, ensuite, il suffit de faire un développement d'ordre 2,
thêta tendant vers l'infini, 1 sur racine de thêta ou u sur racine de thêta,
tend vers 0, donc on fait un développement limité de l'exponentielle,
donc, premier terme, c'est 1, ça va se simplifier avec le 1 e i u
sur racine thêta moins 1, deuxième terme, ça va se simplifier, ça va être plus
i u thêta fois 1 sur racine de thêta, c'est-à-dire i u racine de thêta,
ça va se simplifier avec la constante que l'on avait sorti d'exponentielle,
et il reste le développement d'ordre 2, donc le terme d'ordre 2,- 1/2 de u 2,
plus un petit o de 1 sur racine de thêta, donc Phi thêta de u ça vaut
l'exponentielle de- 1/2 de u 2 plus un petit o de 1 sur racine de thêta, quand
thêta tend vers l'infini, ça converge vers l'exponentielle de- 1/2 de u 2.
On reconnaît là la fonction caractéristique d'une variable aléatoire
gaussienne centrée réduite donc grâce à la caractérisation des
convergences en loi par de convergence simple des fonctions caractéristiques,
la limite de Z thêta est gaussienne centrée réduite.
Ceci termine, donc, la troisième question de l'exercice, et l'exercice lui-même.
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