Explore
For Enterprise
Join for Free
Log In

Гуманитарные науки и искусства
- Просмотреть все Гуманитарные науки и искусства
- История
- Музыка и искусство
- Философия
Бизнес
Компьютерные науки
Наука о данных
Информационные технологии
- Просмотреть все Информационные технологии
- Облачные вычисления
- Безопасность
- Управление данными
- налаживание связей
- Поддержка и операции
здоровье
Математика и логика
Личное развитие
Естественные и технические науки
Социальные науки
- Просмотреть все Социальные науки
- Экономика
- Образование
- Государственное управление и общество
- Юриспруденция
Изучение языков
- Просмотреть все Изучение языков
- Изучение английского
- Другие языки
Степени
Сертификаты

Полный обзор Coursera

Обзор
Поиск
Для организаций
Войти
Присоединиться бесплатно

Trois exemples de convergence en loi

Loading...

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

Политехническая школа

4.7 (оценок: 22) | Зарегистрировано учащихся: 3.6K

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

Просмотреть программу курса

Рецензии

4.7 (оценок: 22)

5 stars
15 ratings
4 stars
7 ratings

MK

Jul 30, 2018

Merci pour ce cours ? mi chemin entre la th?orie et la pratique; tr?s utile dans l'exploitation et la description du comportement de donn?es en grandes dimensions :)

SP

Aug 21, 2018

Cours tr?s int?ressant, qui donne envie d'aller plus loin. Merci beaucoup

Из урока

FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES, CONVERGENCE EN LOI ET THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE (2/2)

Cette dernière semaine est consacrée au second pilier de la théorie des probabilités : le théorème de la limite centrale. Ce résultat nécessite une nouvelle notion de convergence : la convergence en loi. Nous verrons notamment une application aux intervalles de confiance qui sont utilisés pour les sondages.

Trois exemples de convergence en loi10:04

Erreurs d’arrondi7:09

Second tour d'une élection présidentielle7:14

La convergence du Théorème Central Limite ne peut pas être en probabilité5:35

Test de moyenne nulle16:03

Преподаватели

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Carl Graham

Текст видео

[SON] Bonjour.

Nous allons faire un exercice sur 3 exemples de convergence en loi.

Exercice : 3 exemples de convergence en loi.

Chacune des 3 questions constitue un petit exercice à part.

Première question, pour tout n, soit Xn une variable aléatoire de loi uniforme sur

1, n, sur l'ensemble 1, 2, 3, jusqu'à n.

Soit a strictement plus petit que b dans R.

Montrer que si n tend vers l'infini, alors la variable aléatoire Zn égale a +

(b- a) sur n, Xn converge en loi et en donner la limite.

Deuxième question de l'exercice, pour tout epsilon strictement positif,

soit X epsilon une variable aléatoire de loi géométrique sur N étoile,

de paramètre de succès p epsilon, strictement inclus entre 0 et 1,

dont la loi est donnée par probabilité que X epsilon est égal à k,

est égale à p epsilon facteur de (1- p epsilon) à la puissance (k- 1),

pour k supérieur ou égal à 1.

Montrer que si epsilon tend vers 0, et p epsilon sur epsilon tend vers lambda,

constante strictement positive, alors Z epsilon, qui est

défini comme étant epsilon fois X epsilon, converge en loi et en donner la limite.

Troisième question de l'énoncé, pour tout thêta strictement positif,

soit N thêta une variable aléatoire de loi de Poisson, paramètre thêta.

Montrer que si thêta tend vers l'infini, alors la variable aléatoire Z thêta,

définie comme étant N thêta moins thêta, le tout divisé,

par racine de thêta, converge en loi et en donner la limite.

Solution de l'exercice : 3 exemples de convergence en loi.

Première question,

nous avons pris une variable aléatoire Xn uniforme sur l'ensemble discret 1, 2, 3,

jusqu'à n, et Zn qui est égal à a + (b- a) sur n, fois Xn.

Nous devons montrer que Zn converge et trouver la limite.

Commençons par utiliser la définition de la convergence en loi.

Soit une fonction f continue sur l'intervalle a, b arbitraire,

continue sur l'intervalle a, b, fermé, fini, c'est donc continue bornée.

Par définition, l'espérance de f de Zn,

c'est l'espérance de f de a + (b- a) sur n, Xn.

C'est Zn qui vaut a + (b- a) sur n, Xn.

Et ensuite, puisque Xn est uniforme sur 1, 2, 3, jusqu'à n,

ça s'écrit comme 1 sur n, somme de k égale 1, à n, f de a + (b- a) sur n, k.

Donc, ensuite il faut pour y arriver, à trouver la limite de cette somme.

Alors, donc, l'espérance comme nous l'avons vu de f de Zn, c'est 1 sur n,

somme de k égale 1, à n, f de a + (b- a) sur n, k.

Nous avons envie de faire intervenir les sommes de Riemann.

Donc, nous multiplions et divisons par b- a, donc,

nous trouvons que l'espérance de f de Zn, c'est 1 sur (b- a) facteur de (b- a)

sur n, somme de k égale 1, à n, f de a + (b- a) sur n, k.

Nous reconnaissons les sommes de Riemann, qui convergent vers l'intégrale de f de x,

dx, donc, l'espérance de f de Zn converge, pour tout f, donc,

continu, vers 1 sur (b- a), intégrale de a à b de f de x,

dx, donc la limite de Zn, c'est la loi uniforme sur l'intervalle a, b.

Ceci termine une preuve du fait que Zn converge vers la loi uniforme.

Une autre preuve, ça serait d'utiliser les fonctions de répartition, pas très

compliquée à faire, c'est des fonctions en escaliers qui se rapprochent de plus

en plus de la droite, qui va joindre le point a0 au point b1.

Je vous laisse faire comme sous-exercice.

Deuxième question de l'exercice,

nous prenions X epsilon, une loi géométrique sur N étoile,

de paramètre de succès p epsilon, qui est de l'ordre de l'ordre d'epsilon,

epsilon tendant vers 0, et Z epsilon qui est égal à epsilon fois X epsilon.

Donc, le paramètre de succès est de plus en plus petit, X epsilon aura

tendance à être de plus en plus grand, mais si on multiplie par epsilon,

on peut espérer ramener et donc, Z epsilon égale epsilon X epsilon,

à une variable aléatoire qui admettra une limite.

Pour montrer qu'il y a une convergence, étant donné la forme particulièrement

simple des fonctions de répartition de la loi géométrique,

nous allons utiliser les fonctions de répartition F epsilon, F Z epsilon,

F Z epsilon va indiquer la fonction de répartition de Z epsilon,

ou plutôt ce qui est encore plus simple, ce qu'on appelle les fonctions de survie,

les F barre de epsilon, qui sont 1- F epsilon.

La convergence des fonctions de survie et des fonctions de répartition,

c'est évidemment, tout à fait, équivalente.

Donc les fonctions de survie F barre d'epsilon,

s'écrivent F barre d'epsilon la fonction qui a a appartenant à R+,

on va se limiter à des valeurs positives, associe F epsilon de a, F barre

epsilon de a égale la probabilité que Z epsilon soit strictement plus grand que a.

Donc, pour tout a positif ou nul, la probabilité que Z epsilon soit

strictement plus grand que a, c'est donc la probabilité que X epsilon soit

plus grand que a sur epsilon, puisque Z, c'est epsilon X.

Donc X epsilon, c'est une variable aléatoire géométrique, cette probabilité,

c'est 1 moins p epsilon, puissance la partie entière de a sur epsilon.

Il faut avoir eu puissance entière de a sur epsilon échec,

entre guillemets, pour que X epsilon soit plus grand que a sur epsilon, donc c'est 1

moins p epsilon à la puissance partie entière de a sur epsilon, ou alors,

vous faites le calcul à partir de la loi en sommant une série géométrique.

Donc, 1 moins p epsilon à la puissance partie entière de a sur epsilon,

pour voir quelle est sa limite, nous l'écrivons comme étant l'exponentielle de

partie entière a sur epsilon fois le logarithme de 1 moins p epsilon.

Nous prenons l'exponentielle du logarithme de 1 moins p epsilon à la puissance

partie entière de a sur epsilon et puis, vous utilisez la propriété du logarithme.

Donc, ensuite, il suffit puisque epsilon tend vers 0, et que p epsilon sur epsilon

tend vers lambda strictement positif, c'est que p epsilon tend 0.

Donc, il suffit de faire un développement limité

dans le logarithme de 1 moins p epsilon.

Le premier terme, c'est moins p epsilon, et puis, ensuite un petit o de p epsilon.

Donc, en définitive, nous trouvons que la probabilité pour que Z epsilon soit

strictement plus grande que a, s'écrit exponentielle de moins partie entière de

a sur epsilon, multiplié par p epsilon plus un petit o de p epsilon.

Alors, epsilon tendant vers 0, la partie entière de a sur epsilon est

de plus en plus proche asymptotiquement de a sur epsilon, équivalent à a sur epsilon,

donc multiplié par p epsilon, c'est équivalent à lambda a, donc nous trouvons

que la limite de la probabilité de Z epsilon strictement plus grand que a,

c'est exponentielle de moins lambda a,

nous reconnaissons la fonction de survie de l'exponentielle ou 1 moins la fonction

de répartition de l'exponentielle ou si vous préférez l'intégrale de a à l'infini,

de lambda exponentielle moins lambda x, dx.

Donc, la limite est exponentielle de paramètre lambda,

nous utilisons le théorème qui dit que les fonctions convergent en loi,

si et seulement si les fonctions de répartition convergent simplement en tout

point de continuité de la fonction de répartition limite, donc, ici,

nous regardons les fonctions de survie qui sont 1 moins les fonctions de répartition,

le théorème demeure exactement le même.

Donc, ainsi, nous avons montré que ces lois, ces variables aléatoires

géométriques renormalisées convergent vers une variable aléatoire exponentielle.

Solution à la troisième question, N thêta est une variable aléatoire de Poisson,

paramètre thêta.

Et Z thêta, c'est N de thêta moins thêta divisé par racine de thêta.

Nous savons que les variables aléatoires de Poisson ont une fonction génératrice et

donc, une transformée de Fourier et donc, une fonction caractéristique

qui s'écrit assez simplement, donc nous allons utiliser la caractérisation

de la convergence en loi par les fonctions caractéristiques,

donc nous utilisons les fonctions caractéristiques,

Phi indice thêta qui sont fonctions caractéristiques de Z thêta.

Donc, nous prenons u réel et nous calculons Phi thêta de u.

Par définition, c'est l'espérance de l'exponentielle de i u,

facteur de N thêta moins thêta sur racine de thêta.

Donc, première chose, il y a des constantes que nous pouvons sortir, donc,

nous mettons en facteur l'exponentielle de moins i u racine de thêta,

moins thêta sur racine de thêta, c'est racine de thêta, donc,

facteur de l'espérance d'exponentielle de i u racine de thêta N thêta.

Là, nous voyons que c'est la valeur de la fonction génératrice de N de thêta prise

en Z égale exponentielle de i u sur racine de thêta ou alors

on utilise la formule de la fonction caractéristique qui se déduit comme ça.

Par conséquence, Phi thêta de u s'écrit donc, cette constante qui est sortie de

l'espérance, exponentielle de- i u racine de thêta, fois la valeur de

la fonction génératrice d'une variable de Poisson de paramètre thêta, prise en e i u

racine de thêta, c'est-à-dire l'exponentielle de thêta, entre parathèse

e i u sur racine de thêta le tout moins 1, thêta en facteur de tout ça.

Donc, pour ça nous utilisons simplement la fonction génératrice d'une variable de

Poisson, paramètre thêta.

Donc, ensuite, il suffit de faire un développement d'ordre 2,

thêta tendant vers l'infini, 1 sur racine de thêta ou u sur racine de thêta,

tend vers 0, donc on fait un développement limité de l'exponentielle,

donc, premier terme, c'est 1, ça va se simplifier avec le 1 e i u

sur racine thêta moins 1, deuxième terme, ça va se simplifier, ça va être plus

i u thêta fois 1 sur racine de thêta, c'est-à-dire i u racine de thêta,

ça va se simplifier avec la constante que l'on avait sorti d'exponentielle,

et il reste le développement d'ordre 2, donc le terme d'ordre 2,- 1/2 de u 2,

plus un petit o de 1 sur racine de thêta, donc Phi thêta de u ça vaut

l'exponentielle de- 1/2 de u 2 plus un petit o de 1 sur racine de thêta, quand

thêta tend vers l'infini, ça converge vers l'exponentielle de- 1/2 de u 2.

On reconnaît là la fonction caractéristique d'une variable aléatoire

gaussienne centrée réduite donc grâce à la caractérisation des

convergences en loi par de convergence simple des fonctions caractéristiques,

la limite de Z thêta est gaussienne centrée réduite.

Ceci termine, donc, la troisième question de l'exercice, et l'exercice lui-même.

[AUDIO_VIDE]

Ознакомьтесь с нашим каталогом

Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.

Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.

© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.

Загрузить из App Store

Загрузить в Google Play

Coursera
О проекте
Руководство
Карьера
Каталог
Сертификаты
Сертификаты MasterTrack™
Степени
Для организаций
Для правительственных организаций

Сообщество
Learners
Partners
Developers
Beta Testers
Translators

На связи
Блог
Facebook
LinkedIn
Twitter
Instagram
YouTube
Технический блог

Еще
Условия
Конфиденциальность
Помощь
Доступность
Пресса
Контакты
Справочник
Филиалы