Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Pannes informatiques
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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2
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VECTEURS ALÉATOIRES (2/2)
Il s'agit de la suite et de la fin du Cours 4. Nous allons en particulier généraliser le résultat qui nous permet de faire des calculs de lois.
Познакомьтесь с преподавателями
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON]
[AUDIO_VIDE] Bonjour,
bienvenue dans le cours d'aléatoire de l'Ecole Polytechnique.
Nous en sommes au cours 4 et
je vais présenter un exercice qui s'intitule pannes informatiques.
Un réseau informatique comporte un processeur et une carte mémoire centraux.
Leurs durées de vie avant panne peuvent être modélisées,
pour des constantes alpha et bêta strictement positives, par des variables
aléatoires grand X et grand Y indépendantes et de lois exponentielles,
exponentielles de paramètre alpha et exponentielles de paramètre bêta.
Première question : calculer la probabilité
pour que grand X soit strictement plus petit que grand Y,
et la probabilité pour que grand Y soit strictement plus petit que grand X.
La probabilité pour que ce soit le processeur qui tombe en panne avant
la carte mémoire, et la probabilité pour que ce soit la carte mémoire
qui tombe en panne avant le processeur.
Deuxième question : calculer les lois des variables aléatoires
grand M qui est le minimum entre grand X et grand Y, et grand R qui est
la valeur absolue de grand X moins grand Y, et montrer qu'elles sont indépendantes.
Donc grand M c'est le minimum de grand X et de grand Y,
c'est la durée qu'il faut attendre pour que l'un des 2, entre le processeur et la
carte mémoire tombe en panne, et grand R, valeur absolue de grand X moins grand Y,
peut s'interpréter comme étant le temps résiduel de celui qui n'est pas
tombé en panne après la panne du premier, donc ça ça finit l'énoncé.
[AUDIO_VIDE] Donc solution de l'exercice qui s'appelle pannes informatiques.
La première question c'était de calculer la probabilité que grand X est
strictement plus petit que grand Y.
Donc cette probabilité, nous pouvons l'écrire comme étant
l'espérance de l'indicatrice que grand X soit strictement plus petit que grand Y.
Nous l'écrirons, comme ça nous pourrons utiliser le fait que nous connaissons la
densité du couple grand X, grand Y un couple de variables indépendantes.
Donc la densité du couple c'est le produit des densités
grand X exponentielles de paramètre alpha grand Y exponentielle de paramètre bêta,
donc c'est le produit de ces densités que nous connaissons parfaitement.
Et donc c'est l'intégrale sur X positif, Y positif,
ça c'est les bornes des 2 densités exponentielles,
les charges que les X strictement positifs pour la première et les Y strictement
positifs pour la seconde, indicatrice de petit x étant plus petit que petit y,
donc ça c'est l'indicatif de grand X étant plus petit que grand Y,
que l'on va intégrer par rapport à la densité du couple.
Et ensuite alpha exponentiel moins alpha x multiplié par bêta
exponentiel moins bêta y, le produit des densités dx dy.
Un tout petit réarrangement nous montre que donc, la probabilité que grand X est
strictement plus petit que grand Y c'est l'intégrale sur l'ensemble
de R de xy tel que 0 est strictement plus petit que x strictement plus petit que y
de alpha exponentiel moins alpha x, bêta exponentiel moins bêta y dx dy.
Nous reprenons cette dernière inégalité la probabilité que grand X est strictement
plus petit que grand Y, c'est l'intégrale sur l'ensemble de xy
où 0 est strictement plus petit que x, est strictement plus petit lui-même que y de
alpha exponentiel alpha x, bêta exponentiel moins bêta y, dx dy.
Nous pouvons appliquer le théorème de Fubini,
c'est-à-dire intégrer d'abord en petit y et ensuite en petit x.
Donc nous pouvons écrire ça comme étant l'intégrale pour x positif de
alpha exponentiel moins alpha x.
Donc ensuite, nous prenons l'intégrale pour y strictement plus grand que x de
bêta exponentiel moins bêta y de y, et tout ça nous l'intégrons par rapport à dx.
Nous intégrons d'abord en y et ensuite en x.
Et donc cette intégrale entre parenthèse,
intégrale sur y strictement plus grand que x, bêta e exponentiel moins bêta y dy,
est tout simplement exponentiel de moins bêta x par primauté de l'action facile ou
par des résultats classiques sur les valeurs exponentielles.
Donc en définitive, nous obtenons que la probabilité que grand X soit
strictement plus petit que grand Y c'est l'intégrale
sur x positif de alpha exponentiel moins alpha x, exponentiel moins bêta x dx.
En regroupant de façon que le produit
de dx exponentiel c'est l'exponentiel de la somme, donc c'est l'intégrale pour
x positif de alpha exponentiel moins alpha plus bêta x dx.
Et ensuite, de nouveau soit par les résultats classiques qui seront les
variables exponentielles ici de paramètres alpha plus bêta soit en primitivant,
nous trouvons que ceci ça vaut alpha sur alpha plus bêta.
Nous avons donc démontré que la probabilité que grand X est strictement
plus petit que grand Y c'est alpha sur alpha plus bêta.
Donc en définitive et en utilisant soit la symétrie entre grand X et grand Y,
soit la complémentation qui dit que essentiellement
x est strictement plus petit que y et complémentaire à Y inférieure ou égal à
grand X et le fait que grand X soit égal à grand Y est de probabilité nulle.
Nous savons que la probabilité que grand X est strictement plus petit que grand Y
c'est alpha sur alpha plus bêta et la probabilité que grand Y est
strictement plus petit que grand X c'est bêta sur alpha plus bêta.
La symétrie c'est tout simplement changer alpha en bêta et on obtient ça.
Donc on peut remarquer que grand X sera plus petit que Y,
que la panne du processeur arrive avant la panne
de la carte mémoire est proportionnelle aux paramètres alpha de l'exponentiel qui
correspond à la durée de vie du processeur, de même la probabilité
que grand Y soit en panne en premier proportionnel à bêta et les constantes de
proportionnalité sont évidemment données par le fait que la somme fait 1,
donc c'est alpha sur alpha plus bêta et bêta sur alpha plus bêta.
Pour solution de la deuxième question, la question était présentée :
donner la loi de grand M, la loi de grand R, et montrer qu'elles sont indépendantes.
Donc, il s'agit de calculer la loi jointe du couple grand M grand R,
de voir que cette loi jointe est le produit de 2 lois, la densité va être le
produit de 2 fonctions, l'une d'une variable et l'autre de l'autre.
Et ensuite identifier ces lois, les lois qui apparaissent dans le produit
qui vont être donc les lois de grand M et de grand R.
De toute façon à un moment pour montrer qu'elles sont indépendantes,
il faut calculer la loi jointe du couple, donc il vaut mieux partir
du calcul de la loi jointe du couple plutôt que de calculer la loi de grand M,
la loi de grand R et ensuite faire le calcul de la loi du couple.
Donc pour calculer la loi du couple grand M grand R,
nous utilisons la méthode de la fonction muette.
Donnons une fonction h partante continue bornée de R2 plus dans R
puisque M et R sont positives.
Donc nous pouvons calculer l'espérance de h de grand M grand R,
par définition de grand M et de grand R, c'est l'espérance de h du minimum
entre grand X et grand Y et de la valeur absolue de grand X moins grand Y.
Donc nous connaissons la loi du couple grand X grand Y puisque que c'est 2
variables aléatoires indépendantes et exponentielles, on connait leur densité,
d'exponentielle de paramètre alpha et d'exponentielle de paramètre bêta.
Et donc la loi du couple grand X grand Y c'est le produit de 2 densités donc
nous pouvons cette espérance comme étant l'intégrale pour x positif et
y positif de h de min de petit x et petit y, valeur absolue de x moins y,
alpha exponentiel moins alpha x, bêta exponentiel moins bêta y, dx dy donc nous
écrivons les espérances comme l'intégrale de petit h par rapport à la densité,
au produit des densités qui est la densité du couple.
Donc ensuite il est assez naturel à ce moment là pour se débarrasser du minimum
et de la valeur absolue de couper cette intégrale en 2,
l'une sur l'ensemble des xy tel que 0 est strictement plus petit que x et x lui-même
est strictement plus petit que y et l'autre tel que sur l'ensemble des xy,
tel que 0 est strictement plus petit que y et strictement plus petit que x.
Un autre avantage qu'il y a une symétrie entre ces 2 morceaux,
il suffira de calculer une intégrale.
Donc l'espérance de h de grand M et de grand R s'écrit comme étant l'intégrale
pour 0 strictement inférieur à x, strictement inférieur à y de h de x
virgule y moins x, le minimum de xy dans ce cas là c'est x et la valeur absolue
c'est y moins x alpha exponentiel moins alpha x, bêta exponentiel moins bêta y
dx dy plus l'intégrale pour 0 strictement plus petit que y,
strictement plus petit que x, h de y, dans ce cas là y est le minimum, x moins y,
x étant plus grand, la valeur absolue de x moins y est x moins y,
alpha exponentiel moins alpha x, bêta exponentiel moins bêta y dx dy.
Donc nous devons calculer l'intégrale pour 0 strictement plus petit que x,
strictement plus petit que y de h de x y moins x, alpha exponentiel moins alpha x,
bêta exponentiel moins bêta y, dx dy.
A ce moment là nous faisons un changement de variables où x
continue à être x et z nous posons z égal y moins x donc z va être positif ou nul,
donc en utilisant ce changement de variables z, y moins x, nous avons
l'intégrale pour x strictement positif, z strictement positif de h de x, z.
Et ensuite comme c'est 1, donc nous avons changé l'ensemble d'intégration
mais ce changement de variable étant une translation, essentiellement où Jacobien
vaut 1, c'est très facile à calculer, et donc nous retrouvons de nouveau
l'intégrale par rotation par rapport à alpha exponentiel de moins alpha x,
bêta exponentiel de moins bêta x plus z, y c'est x plus z donc nous écrivons x plus
z dx dz, ça c'est le changement de variables bi-dimensionnel mais en fait
très simple parce qu'on garde la coordonnée x et la coordonnée
z est tout simplement un translaté par rapport à x de dy donc du Jacobien.
Ensuite avec cette formule il suffit de réarranger un petit peu pour dire que
c'est l'intégrale pour x positif z positif, h de x,
z alpha exponentiel de moins alpha plus bêta x, les propriétés de l'exponentiel,
on regroupe les termes en x, bêta exponentiel moins bêta z dx dz,
donc nous allons calculer un des 2 termes qui nous intéresse.
Donc en utilisant la symétrie pour calculer le second terme,
l'espérance de h de grand M ou de grand R c'est,
je change de variables d'intégration pour que ça sonne plus clair, c'est intégrale
pour s positif t positif h de s, t alpha exponentiel moins alpha plus bêta s,
bêta exponentiel moins bêta t dsdt, c'est juste le terme qu'on vient de calculer
sauf qu'il y avait x à la place de s et z à la place de t, plus l'intégrale de
même sur s était positif donc on fait une symétrie h de s de t,
bêta exponentiel moins alpha plus bêta s, alpha exponentiel moins bêta t, dsdt.
Nous trouvons la même formule en remplaçant alpha par bêta,
enfin en intervertissant alpha et bêta.
Donc c'est la même formule.
Et donc ensuite il s'agit de regrouper ce qui est
en s d'un côté et ce qui est en t de l'autre.
Donc c'est l'intégrale pour s positif t positif de h de s et de t,
alpha bêta exponentiel de moins alpha plus bêta s facteur de
exponentiel moins alpha t plus exponentiel moins bêta t de tout intégrer en dstdt.
Donc nous voyons qu'il y a une forme produite la densité du couple
et un produit de fonction de s est un produit de fonction de t, donc cette forme
produite en elle-même montre l'indépendance de grand M et grand R.
De plus, si on veut éviter trop de calculs nous remarquons que la densité de grand
M est proportionnelle à l'indicatrice de s positif exponentiel moins alpha
plus bêta s.
Donc nous reconnaissons que c'est la densité exponentielle de paramètres alpha
plus bêta qui est donc donnée par indicatrice de s positif alpha plus bêta
exponentiel moins alpha plus bêta s.
Une fois que nous avons reconnu ça,
il est facile de calculer la loi de R et de lui donner la bonne normalisation à la
loi de R et nous pouvons interpréter en particulier la loi de R
comme étant un mélange d'exponentiel et plus précisément de densité alpha sur
alpha plus bêta indicatrice de t positif bêta exponentiel moins bêta t, plus bêta
sur alpha plus bêta indicatrice de t positif alpha exponentiel moins alpha t.
Donc nous reconnaissons alpha sur alpha plus bêta,
c'est la probabilité que ce soit alpha t.
l'exponentiel en alpha qui soit la plus petite, donc dans ce cas là on peut
interpréter ce terme là en disant qu'avec probabilité alpha plus alpha plus bêta,
il faut attendre uniquement celle de bêta puisque c'est l'alpha qui arrive d'abord,
et ensuite avec la probabilité bêta sur alpha plus bêta la probabilité que ce soit
l'exponentiel en bêta qui soit la plus petite.
Il faut attendre pour qu'il ait indicatrice de t positif alpha exponentiel
moins alpha t donc on attend en une durée exponentielle de paramètres alpha
donc tout ça nous n'allons pas à fond dans l'explication mais
ça illustre les propriétés d'absence de mémoire de la variable exponentielle.
En particulier si alpha est égal à bêta, la loi de R est tout simplement
exponentiel de paramètre alpha, vous prenez 2 variables exponentielles aux
paramètres alpha, vous regardez d'un côté le minimum et ensuite le temps résiduel,
le temps qu'il faut attendre pour que entre le minimum et le maximum,
c'est exactemet la valeur absolue de la différence des 2, le minimum c'est une
variable exponentielle de paramètres alpha plus bêta, nous l'avons vu, et le temps
qui reste, le temps résiduel est encore une exponentielle de paramètre alpha.
Ceci termine l'exercice.
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