[AUDIO_VIDE] [AUDIO_VIDE] Bonjour, bienvenue dans le cours d'aléatoire. Nous sommes au cours cinq et nous allons faire un exercice sur le fait que la convergence presque sûre implique la convergence en probabilité. Soit Xn pour n positif ou nul et X, des variables aléatoires définies sur un même espace de probabilité. Démontrer le résultat suivant, énoncé dans le cours : si Xn converge presque sûrement vers X, alors, Xn converge en probabilité vers X. Voici la solution de l'exercice sur le fait que la convergence presque sûre implique la convergence en proba. Nous commençons par supposer donc que Xn converge presque sûrement vers X. Nous prenons un epsilon strictement positif. Nous pouvons remarquer que la probabilité pour que la valeur absolue de Xn moins X soit plus grande que epsilon, c'est exactement l'espérance de l'indicatrice de l'événement où Xn- X est supérieur ou égal à epsilon. Clairement, pour tout petit oméga appartenant à l'ensemble de probabilité, si Xn de oméga converge vers X de oméga, alors l'indicatrice de l'événement où valeur absolue de Xn de oméga- X de oméga est plus grand que epsilon converge aussi vers zéro. Par définition, la convergence est une suite réelle. Ainsi, par hypothèse, on obtient le fait que l'indicatrice de l'événement Xn- X supérieur ou égal à epsilon converge presque sûrement vers zéro. De plus, l'indicatrice vaut zéro ou un. Donc elle est comprise entre zéro ou un. Donc nous pouvons appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue et le théorème de convergence dominée donne donc que le probabilité pour que la valeur absolue de Xn- X soit supérieure ou égale à epsilon, qui donc est égale à l'espérance de l'indicatrice de cet événement, tend vers zéro. L'indicatrice tend vers zéro, elle est dominée, donc par convergence dominée, son espérance tend vers zéro aussi. Comme epsilon est arbitraire, on conclut que Xn converge en probabilité vers X par définition de la convergence en probabilité. Ainsi finit l'exercice.