La longueur d'un cercle de diamètre 1 c'est pi.
Ce cercle coupera 2 fois une même rainure presque sûrement,
et donc l'espérance de son nombre de chevauchements vaut 2 puisque
presque sûrement le nombre de chevauchements est 2.
L'espérance vaut 2.
Donc c fois pi est égal à 2,
on utilise le fait que l'espérance du nombre de chevauchements c'est
C fois a sur l donc C fois pi est égal à 2 et donc la constante C c'est 2 sur pi.
Donc en général l'espérance du nombre de chevauchement vaut 2 sur pi, a sur l.
Donc je vais faire rapidement un petit dessin expliquant l'idée du lancer de
cercle de diamètre 1 ou plus généralement de diamètre l sur le plancher,
donc nous avons un plancher avec des lattes verticales comme ça.
Les lattes sont de largeur l qui peut être pris égal à 1 mais on
pourrait prendre un l générale.
Donc évidemment si on choisit de lancer un cercle qui a exactement
[SON] qui a exactement, bon le dessin n'est peut-être pas parfait,
qui a exactement un diamètre de l, bah vous voyez quelque soit la position mais
le dessin n'est pas très bon mais il va couper la même rainure 2 fois,
sauf si éventuellement on est juste comme ça, alors après bon ça c'est avec,
c'est un événement de probabilité nulle.
Mais donc dès qu'on avec probabilité non nulle, le cercle va [SON]
couper deux fois une rainure donc l'intuition géométrique de Borel c'était
premièrement l'espérance est additive donc va être proportionnelle à a sur l.
Deuxième chose, ça peut être une aiguille droite comme ça peut
être une aiguille courbe suffisamment régulière.
En particulier on peut prendre un cercle et si on choisit ce cercle particulier là,
on trouve la constante de proportionnalité.
Donc ça c'est, ça termine en tout cas la question que l'espérance
du nombre de chevauchements s'écrit comme étant 2 sur pi, a sur l.
Donc nous sommes dans le deuxièmement.
La question du petit c on demandait de démontrer, de calculer, de retrouver le
résultat précédent de probabilité de chevauchements pour a plus petit que l.
Donc évidemment si a est inférieur ou égal à l,
alors le nombre de chevauchements vaut soit 0 soit 1.
Si l'aiguille est de longueur strictement inférieure ou égale à l,
elle ne peut que chevaucher une seule rainure à la fois,
presque sûrement donc la probabilité qu'il y ait un chevauchement exactement égale
à l'espérance du nombre de chevauchements si vous avez une variable aléatoire de
Bernoulli qui vaut 1 ou 0 presque sûrement, évidemment la probabilité de
valeur 1 est exactement égale à l'espérance de la variable aléatoire donc
la probabilité que l'événement qu'il y ait un chevauchement est égale à l'espérance
du nombre de chevauchements dans ce cas là, donc si a est inférieur ou égal à l.
Et donc nous retrouvons 2 sur pi, a sur l, la formule principale qui peut se,
aussi se, nous avons fait un calcul probabiliste avec des intégrales mais
ce calcul là peut se faire de façon assez géométrique, bien entendu.