Alors, regardons la preuve de ce théorème, en fait elle est très simple.
Donc pour cela, je vous renvoie à un théorème d'analyse.
Je vous rappelle que si g est une fonction convexe, vous avez que les tangentes
à la courbe sont toujours plus petites que les cordes liées à cette courbe,
donc vous pouvez toujours, pour tout petit a réel,
montrer qu'il existe un nombre réel lambda,
tel que le taux d'accroissement g(X)- g(A) / X- a soit plus grand que lambda a.
Et ceci, pour tout X réel, bien entendu.
Donc je répète : pour tout a, vous allez pouvoir trouver un nombre réel lambda a,
tel que la fonction g(X) soit supérieure ou égale
à la droite d'équation g(A) + (lambda a) (x- a).
Ici, a est fixé, et x varie.
Donc, une fois que nous avons admis cette inégalité-là,
nous allons l'appliquer pour x = X (oméga),
quel que soit oméga, et a = E(X).
Donc nous allons en déduire que il existe un certain nombre, lambda a,
tel que g(X) de oméga est supérieur ou égal
à g de E(X), la quantité que l'on veut obtenir ici,
+ lambda a, donc petit a étant égal à E(X),
facteur de X(oméga)- E(X).
Et nous voulons en prendre l'espérance.
Alors, on peut peut-être écrire ce que cela donne, donc je répète : nous avons
que g(x) est supérieure ou égal à g(a) + lambda a facteur de (X- a),
et nous allons l'appliquer avec a = E(X),
x = X(oméga).
Nous en déduisons que pour tout oméga dans grand oméga, g(X(oméga) )
est supérieur ou égal à g(E(X) ) + un
certain nombre lambda facteur de X(oméga)- a.
Prenons l'espérance de part et d'autre.
A gauche, nous allons avoir l'espérance de g(X), nous savons que l'espérance est
un opérateur positif, et donc l'espérance de g(X) va être supérieure ou égale