Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Séance 7 (2/2) : INÉGALITÉS FONDAMENTALES
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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (3/3)
Nous terminons cette semaine le Cours 3 avec, d'une part, un résultat important permettant de calculer la loi d'une variable aléatoire et, d'autre part, des inégalités très utiles.
Meet the Instructors
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON]
Nous allons voir maintenant une inégalité d'un autre type,
puisqu'elle est liée à la convexité, à des notions de convexité, mais en fait,
c'est aussi une inégalité extrêmement utile dans la pratique.
Cette inégalité s'appelle l'inégalité de Jensen,
là aussi du nom d'un mathématicien, Jensen.
En fait, cette inégalité, va être une espèce de généralisation d'une inégalité
que nous avons déjà vue quand nous avons étudié la variance d'une variable
aléatoire, ou v.a., de carré intégrable : nous avions remarqué que l'expérience de
X² était toujours inférieure ou égale à l'espérance de X².
Je vous rappelle que la différence de ces deux quantités-là est égale à la variance
de x, et la variance de x, par définition, est positive.
Ou nulle.
Donc ici, nous allons supposer que,
dans notre théorème général, que X est intégrable, et nous considérons
une fonction g, qui est mesurable et telle que g(X) soit intégrable.
Donc rappelez-vous, quand j'émets cette hypothèse-là, par exemple, j'inclus toutes
les fonctions qui sont, soit positives, soit bornées, et mesurables bien sûr.
Mais on va supposer, en plus, que g est convexe.
Ce qui était le cas, remarque de la fonction qui à X donne X².
Eh bien si g est convexe, l'espérance de g(X)
va être toujours supérieure ou égale à g pris en l'espérance de X.
Vous voyez qu'ici, E(X), l'espérance de X, c'est un nombre,
donc on regarde g en ce nombre-là, alors qu'ici, nous regardons la v.a.
g(X) et nous en prenons l'espérance.
Une petite remarque, un corollaire de ce théorème, si g est une fonction concave,
je vous rappelle qu'alors, -g est une fonction convexe, donc dans ce cas,
vous aurez l'inégalité de Jensen avec -g,
de part et d'autre de l'inégalité, et donc, pour une fonction concave,
vous avez l'inégalité avec le sens inverse, ici, des inégalités.
Vous voyez qu'en particulier, si vous prenez g(X) = X², on retrouve cette
inégalité, que nous avions déjà observée grâce à la positivité de la variance.
Si vous supposez plus généralement, que X est par exemple une v.a.
positive et qui admet un moment d'ordre P, tel que l'espérance de XP est finie,
pour P supérieure ou égal à 1, eh bien, comme X donne XP est
convexe sur l'ensemble des réels positifs, eh bien, l'espérance de
X puissance P va être toujours supérieure ou égale à l'espérance de X puissance P.
Alors, regardons la preuve de ce théorème, en fait elle est très simple.
Donc pour cela, je vous renvoie à un théorème d'analyse.
Je vous rappelle que si g est une fonction convexe, vous avez que les tangentes
à la courbe sont toujours plus petites que les cordes liées à cette courbe,
donc vous pouvez toujours, pour tout petit a réel,
montrer qu'il existe un nombre réel lambda,
tel que le taux d'accroissement g(X)- g(A) / X- a soit plus grand que lambda a.
Et ceci, pour tout X réel, bien entendu.
Donc je répète : pour tout a, vous allez pouvoir trouver un nombre réel lambda a,
tel que la fonction g(X) soit supérieure ou égale
à la droite d'équation g(A) + (lambda a) (x- a).
Ici, a est fixé, et x varie.
Donc, une fois que nous avons admis cette inégalité-là,
nous allons l'appliquer pour x = X (oméga),
quel que soit oméga, et a = E(X).
Donc nous allons en déduire que il existe un certain nombre, lambda a,
tel que g(X) de oméga est supérieur ou égal
à g de E(X), la quantité que l'on veut obtenir ici,
+ lambda a, donc petit a étant égal à E(X),
facteur de X(oméga)- E(X).
Et nous voulons en prendre l'espérance.
Alors, on peut peut-être écrire ce que cela donne, donc je répète : nous avons
que g(x) est supérieure ou égal à g(a) + lambda a facteur de (X- a),
et nous allons l'appliquer avec a = E(X),
x = X(oméga).
Nous en déduisons que pour tout oméga dans grand oméga, g(X(oméga) )
est supérieur ou égal à g(E(X) ) + un
certain nombre lambda facteur de X(oméga)- a.
Prenons l'espérance de part et d'autre.
A gauche, nous allons avoir l'espérance de g(X), nous savons que l'espérance est
un opérateur positif, et donc l'espérance de g(X) va être supérieure ou égale
à l'espérance de cette quantité-là mais le premier terme
de cette quantité est un nombre, donc l'espérance du nombre g pris
en E(X) est juste g pris en E(X),
plus alors j'utilise là, la linéarité de l'espérance,
lambda fois l'espérance de X- alors,
je réalise qu'ici j'ai mis a, alors que nous avions dit que a était E(X),
donc, a ici, c'est égal à E(X).
Donc vous voyez que, finalement, j'ai l'espérance de X,
moins son espérance, et nous savons que cette quantité-là est égale à 0.
Nous avons ainsi montré l'inégalité de Jensen,
à savoir que l'espérance de g(X) est
supérieure ou égale à la fonction g, prise en le point E(X).
Nous allons donc voir quelques applications de ce résultat,
je vous ai mis ici deux applications que nous allons prouver.
La première application est un tout petit exercice, qui vous dit que si vous avez,
donc c'est un petit résultat général, si X est une v.a.
centrée, centrée, je vous rappelle que cela veut dire que E(X) est nulle,
pour tout lambda réel, on a que l'espérance de
e puissance lambda x est supérieure ou égale à 1.
Bien évidemment, si nous savions que lambda x était positif, ça serait trivial,
sinon ce ne serait pas si immédiat que ça, et nous allons donc montrer ce résultat.
Donc comment faire?
Nous regardons l'espérance de e puissance lambda x.
Comment allons-nous montrer cette inégalité?
Remarquons que la fonction x donne e puissance lambda x est convexe.
Une remarque que je n'ai pas précisée,
on fait l'hypothèse que X admet des moments exponentiels.
C'est effectivement, dans le cas où cette espérance est finie,
que nous avons l'inégalité ; cela dit,
si jamais cette espérance était infinie, elle serait égale à + l'infini,
on aurait toujours le droit de faire ça et on aurait l'inégalité aussi.
Mais donc, pourquoi la fonction x donne e puissance lambda x est convexe?
Je vous rappelle qu'un moyen de vérifier sa convexité,
c'est de montrer que la dérivée seconde est positive, et donc,
si vous dérivez deux fois cette fonction, x donne e puissance lambda x,
vous allez avoir lambda ² exponentiel de lambda x, qui est bien positive.
Nous utilisons donc la convexité, et nous allons avoir, par l'inégalité de Jensen,
que l'espérance de e puissance lambda X est supérieure ou égale
à l'exponentiel de lambda fois l'espérance de X.
Donc là, j'ai appliqué l'inégalité de Jensen à la fonction g
qui à X associe e puissance lambda x.
Or, nous avons supposé que E(x) = 0, donc ici, à droite, nous avons exactement 1.
Vous voyez que c'est une inégalité immédiate,
il suffit juste de penser à appliquer l'inégalité de Jensen.
Revenons à la deuxième application, ici, qui est un peu plus subtile,
ça c'est une inégalité qui est assez souvent utilisée en mathématique
financière pour des problèmes dits de barrières, donc là, on la voit
à titre d'exercice, on considère, pour changer je l'ai appelée G, une v.a.
de loi normale centrée réduite, et nous allons montrer,
que pour tout réel X sigma et K,
on a que l'espérance de la v.a.
partie positive de x e puissance exponentiel de sigma fois G- sigma² / 2,
le tout moins le nombre réel K, donc on prend la partie positive de tout ça,
est supérieur ou égal à la partie positive de X- K.
Comment on peut faire une chose pareille?
Je vous ai donné deux informations,
on va vérifier que l'espérance de exponentielle de la v.a.
sigma G- sigma² / 2 est égale à 1, et on va vérifier que
la fonction G(U) égale partie positive de x u moins K est une fonction convexe.
Et nous appliquerons l'inégalité de Jensen.
Alors, regardons déjà l'allure de la fonction x donne x partie
positive de x u moins K, bon, comme on sait on a une partie positive,
là on ne peut pas espérer dériver cette fonction partout,
mais on peut donner son allure, hein, vous voyez que cette fonction-là va s'annuler
si u égale K sur x, donc on va supposer déjà que x est strictement positif et
que K sur x est par exemple ici, et il est facile de voir donc,
pour une plus petit que K sur x, donc, xu sera plus petit que K,
donc on aura un nombre négatif pour xu moins K, donc la partie positive dans ce
cas-là sera nulle, donc cette fonction-là va être nulle avant K sur x,
et ensuite elle vaut xu moins K, donc c'est une fonction
qui est linéaire avec la pente petit x donc par exemple comme on a dit,
on va supposer par exemple que x est positif et on aura cette allure-là.
Donc voyez que ça c'est l'allure d'une fonction qui est convexe.
Donc on a bien une fonction convexe.
Donc je vais appeler g cette fonction-là, g est convexe.
Sur R.
Bien.
Alors deuxième ingrédient, nous allons montrer que si g est une variable
de loi normale N(0, 1),
on va calculer l'espérance de exponentielle sigma G.
Et en calculant cette espérance on va aussi montrer et justifier pourquoi
cette espérance est bien définie.
Bon c'est l'espérance d'une variable aléatoire positive, comme je l'ai dit tout
à l'heure, ça peut toujours être défini et égal à plus l'infini,
mais ici on va voir pourquoi cette quantité-là est bien un nombre réel.
Donc, par définition, cette espérance vaut un sur racine de deux pi,
intégrale sur R de e puissance sigma x, exponentielle moins x deux sur deux dx.
Hein, et donc vous voyez que nous avons une exponentielle de sigma x,
mais multipliée par la densité qui est en exponentielle moins x deux sur deux et
même si sigma est un nombre positif ici, eh bien exponentielle moins x deux
sur deux écrase tout vers zéro et écrase en particulier l'exponentielle sigma x.
Donc on a bien une intégrale qui est définie ici sur tout R, hein,
c'est une intégrale convergente.
Alors pour la calculer, alors je garde mon un sur racine de pi devant,
je vais écrire ces exponentielles comme le début d'un carré.
Hein, donc on va écrire exponentielle de moins un demi facteur
de x moins sigma le tout au carré.
Hein, voyez que si je développe ce x moins sigma au carré,
ça me fait x deux moins deux sigma x plus sigma au carré,
donc je vais avoir exponentielle moins x deux sur deux, fois exponentielle de
sigma x, fois exponentielle de moins sigma deux sur deux.
Donc pour rectifier, je vais rajouter un exponentiel sigma deux sur deux, dx.
Cet exponentiel sigma deux sur deux se met en facteur,
et il est multiplié par un sur racine de deux pi,
intégrale de e puissance moins un demi de x moins sigma au carré, dx.
Bon, alors vous voyez qu'ici, si vous posez y égale x moins sigma, votre
intégrale peut encore s'écrire intégrale de exponentielle moins y deux sur deux,
dy, hein, puisque si y égale x moins sigma dy égale dx,
et l'intégrale multiplié par un sur racine de deux pi va être égal à un.
Donc toute cette quantité vaut en fait exponentiel sigma deux sur deux.
Nous avons donc montré que l'espérance de l'exponentiel
sigma g moins sigma deux sur deux était égal à un.
J'appelle grand X la variable aléatoire
positive exponentiel sigma g moins sigma deux sur deux.
Et je vais appliquer l'inégalité de Jensen, à
cette variable aléatoire grand X,
et à la fonction g(u) égale
xu moins K partie positive, dont on a vu qu'elle était convexe.
Alors ça nous donne quoi, ça va nous donner, alors je vous rappelle inégalité
de Jensen, espérance de g(X) supérieur ou égal à
g de espérance de grand X, et on remplace.
Donc nous allons avoir que l'espérance de X
e puissance sigma g moins sigma deux sur deux moins
K partie positive,
est supérieure ou égale à X,
alors je remplace maintenant u par l'espérance de x qui vaut un,
moins K, partie positive.
Hein, parce que ça on a montré que ça vallait un.
Et cette inégalité est exactement l'inégalité que j'avais annoncée.
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