L'intérêt de cette condition est que, puisque nous avons mis une probabilité
sur l'ensemble oméga, A, ronde, on a notre espace de probabilité sous-jacent,
on va pouvoir transporter cette probabilité par la variable aléatoire X.
En se posant la question : peut-on mesurer la probabilité de B
au sens où en fait nous allons mesurer la probabilité de X- 1(B),
c'est-à-dire de l'ensemble des oméga, tel que oméga est dans B?
Donc, on essaye de savoir la probabilité de réalisation
de tels événements aléatoires : ensemble de oméga tel que X de oméga est dans B.
Donc, nous avions déjà défini cette notion,
c'est cela que nous avons appelé la loi de X : c'est la probabilité sur R
caractérisée sur R muni de sa tribu borélienne, qui à chaque borélien,
un borélien c'est un élément de la tribu borélienne,
à chaque borélien B, associe la probabilité d'avoir : X appartient à B.
Je vous rappelle que nous avons montré que Px était une probabilité sur (R, B(R) ).
Notre question ici, c'est de savoir, dans le cas où X prend ces valeurs dans R,
si l'on peut caractériser, d'une manière simple, la loi de X : P indice x.
Alors vous voyez qu'ici on ne peut pas, comme dans le cas discret,
caractériser la probabilité par les probabilités de ces singletons,
parce que R est constitué d'une famille infinie non dénombrable de singletons,
et si l'on veut connaître, par exemple, la probabilité d'un ensemble constitué,
ou d'un intervalle qui va être une réunion infinie non dénombrable de singletons,
eh bien on ne va pas pouvoir écrire que cette probabilité est égale à la
somme des probabilités des singletons, les éléments appartenant à l'intervalle,
parce que la somme est non dénombrable.
Or, nous avons vu que la propriété de sigma additivité,
qui est la propriété fondamentale de la définition d'une probabilité,
n'est vraie, n'est satisfaite,
que pour une somme ou une réunion d'événements disjoints dénombrables.
Donc il faut trouver autre chose.