Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Intégration par parties
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From the course by École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (2/3)
La notion abordée cette semaine est celle d'espérance d'un variable aléatoire.
Meet the Instructors
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[AUDIO_VIDE]
[AUDIO_VIDE] Donc
l'exercice que nous allons faire s'appelle intégration par parties,
soit grand X une variable aléatoire réelle positive, et h de R plus dans
R plus une fonction positive croissante et C une continuement dérivable.
Donc première question, montrer que l'espérance de h(X) ça peut s'écrire comme
étant h(0) plus l'intégral de zéro à l'infini de h'(t) probabilité
que X est strictement plus grand que t, dt, à valeur dans zéro plus l'infini,
l'intégral ayant un sens à valeur dans zéro plus l'infini,
suivant l'intégrabilité de h, deuxièmement, spécialiser aux fonctions h
de la forme pour une constant a positive ou nulle, soit x donne x puissance a,
soit x donne exponentiel de a puissance x, fonction exponentielle.
Pour faire correctement cet exercice,
on a besoin d'être un petit peu à l'aise avec la théorie de la mesure,
ou alors si on connait plutôt l'intégration simple sur R,
de supposer que X est une variable aléatoire réelle à densité.
Mais l'exercice est valable pour une variable aléatoire réelle quelconque.
Donc avant de donner la solution, je vous conseille de chercher un peu la solution,
si vous êtes suffisamment à l'aise en intégration pour
envisager de calculer des intégrales un peu abstraites comme ça.
Solution de l'exercice à intégration par partie, donc par définition,
l'espérance de h(X), h étant positive, l'intégrale a toujours un sens,
l'espérance a un sens dans zéro plus l'infini, infini inclu,
hein, donc c'est l'intégrale sur les x positifs ou nuls,
puisque X est a valeur positive, de h(x) probabilité loi de X de dx.
Donc si il y a une densité vous dites P(X), dx.
Donc, ensuite h(x), hein, h est C un, donc on peut écrire, continûment différentiable
avec dérivée continue donc, h(x) en particulier on peut écrire que c'est h(0),
la valeur de en zéro plus l'intégrale de zéro à x hein, l'intégral pour t
appartenant à l'intervalle zéro x mettons, fermé en zéro et ouvert x, de h'(t) dt.
Etant donné que c'est la mesure de Lebesgues,
que l'intervalle soit fermé ou ouvert, ça ne change rien.
Donc nous écrivons espérance de h(X) c'est l'intégral sur les x positifs de (h(0)
plus l'intégral pour t appartenant à zéro, x, h'(t) dt, intégré par la loi P(X) dx).
Donc ensuite c'est là qu'il faut utiliser un tout petit peu le calcul intégral
pour dire qu'il y a une interversion d'intégral qu'on peut faire,
qu'on appelle le théorème de Fubini, donc déjà le premier terme h(0) vous intégrez
sur une mesure de probabilité qui ne charge que les x positifs, h(0),
l'intégrale d'une mesure de probabilité c'est un donc il y a h(0) qui sort,
plus donc l'intégrale double, intégrale de x positif,
intégrale de t appartenant à zéro, x, de ce que l'on écrit.
Donc on change l'ordre d'intégration, Fubini, donc, on intègre, en changeant
l'ordre d'intégration c'est l'intégrale pour t positif ou nul, de h'(t),
on sort h'(t) puisque ça ne dépend pas de x, de l'intégrale pour x strictement plus
grand que t donc t est compris entre zéro et x, donc ça signifie que, pas Fubini,
il va falloir maintenant intégrer x strictement plus grand que t, de la loi
P(X) dx, donc le tout de cette intégrale, en petit x, le tout intégré par dt.
Donc nous avons, espérance de h(X) c'est h(0) plus l'intégrale pour les t positifs
de h'(t) (intégrale de x strictement plus grand que t, loi de x, dx ) dt Fubini.
Donc ensuite on interprète cette intégrale sur petit x en mettant la probabilité pour
que X soit strictement plus grande que t.
Alors par définition, de la probabilité, ou par
définition de l'intégrale d'une fonction par la loi d'une variable aléatoire,
hein, on est en train de regarder tous les petits x strictement plus grand que t,
on intègre par rapport à la loi de X,
c'est bien la probabilité pour que X soit plus grand que t.
Donc, en définitive, dans zéro, plus l'infini inclu, hein, l'espérance de h(0)
+ intégrale pour t positif, de h'(t) P(X strictement plus grand que t) dt.
Nous aurons ainsi résolu la première question de l'exercice.
La deuxième question de l'exercice c'était particulariser à des fonctions h soit de
la forme puissance soit de la forme exponentielle,
nous donnons une constant a positive ou nulle, hein, on voulait des fonctions
positives et croissantes, donc constantes en question vont être positives ou nulles,
le cas nul n'étant pas très intéressant, donc si on prend h(x) égale x puissance a,
on calcule h'(x) c'est a x puissance a moins un, dérivée de fonction puissance,
et donc on obtient comme formule que l'espérance de x puissance a,
du moment a i m de X, et que c'est en positive hein, ne l'oubliez pas,
c'est égal à petit a intégrale de zéro à l'infini, t puissance a moins un,
P(X plus grand t) dt.
Déjà sous cette forme-là on reconnait un petit peu plus une intégration par parties
mais c'est pas essentiellement la formule qu'on avait démontrée et donc
deuxième cas particulier, H(x) égale exponentielle de a x,
toujours avec a positif, hein, on est en train de calculer essentiellement une,
ce qu'on appelle parfois une iii de la place,
mais en tout cas on est en train de calculer l'espérance de e a puissance X,
donc h'(x) c'est tout simplement a exponentiel de a x, hein, dérivée
de l'exponentiel, je vous rappelle qu'il y avait le terme h(0) qui vaut ici un,
donc l'exponentiel donc l'espérance d'exponentiel de a X c'est un h(0),
plus a intégral de zéro à l'infini de exponentiel de at P(X supérieur à t) dt.
Donc ces deux formules vous disent quand même quelque chose, vous disent
qu'il y a un lien entre le fait, donc tout ça c'est des choses à valeur dans zéro,
plus l'infini, pour pouvoir avoir l'intégrabilité du moment d'ordre a,
pour que l'espérance de x puissance a soit finie,
il faut avoir une intégrabilité de la probabilité de ce
qu'on appelle la queue parfois de X, la probabilité que X soit plus grand que T,
il faut que ça multiplié par t puissance a moins un soit intégrable par rapport à dt,
et pour avoir ce qu'on appelle parfois un moment moins exponentiel,
l'existence de la finitude surtout de l'espérance de l'exponentielle de ax,
donc là, la dérivée conserve l'exponentiel,
et donc il faut que la queue de X, P(X) strictement plus grand que t,
multiplié par l'exponentiel de at, soit intégrable pour la mesure de Lebesgue.
C'est deux conclusions, enfin c'est des choses qu'on utilise pour des calculs,
et ça fait un lien entre les queues de distribution,
hein les probabilités que X soit plus grand que t, et l'intégrabilité,
c'est essentiellement ça que cette formule donne.
Donc ainsi nous terminons la deuxième question de l'exercice
sur l'intégration par partie.
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