這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
9-4.b：中央極限定理-萬佛朝宗 (下)
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Из урока
WEEK 9
頑想學概率最後一週課程，內容一樣有趣又充實！如果有好幾個隨機變數我們把它加在一起， 那加在一起之後產生的這個新的隨機變數，它的這個機率分布到底是什麼呢？MGF (Moment Generating Function) 是什麼？該怎麼用它找到隨機變數的機率分布？還有一定要知道的機率學中最重要的「萬佛朝宗」定理──中央極限定理！
Преподаватели
葉丙成
教授 (Professor)
[音樂] [音樂]
[音樂] [音樂]
好，接下來我們來看一個例子 好，這個，我們台灣很有名的一個天團，叫五五六六
這個五五六六號稱有百萬粉絲，假設 每個粉絲各自獨立，你今天會不會買CD跟我會不會買CD是
我會不會買跟你是沒有關係的，但是我們假定他們每個人買CD的機率都是0.2
他們都是有0.2，只要天團發了CD的話 發行的這個CD，他們的每一個歌迷都會有0.2的機率買這個CD
但是歌迷彼此之間會不會買，他們是independant的。
好，假設今天天團出了一張精選集 請問，天團賣的CD的數量會超過
200,800張之機率是多少？好你想想看
你現在有一百萬個歌迷，對不對，每一個會不會買CD的機率是 0.2。
所以這個是什麼，買CD的個數是什麼，其實這個是像一個
Binomial的distribution，因為有一百萬個歌迷嘛，每一個歌迷會不會買
唱片的這個機率是0.2，就好像你做一百萬次實驗 每一個歌迷買唱片都是一個實驗，那有多少歌迷，有一百萬個歌迷
對不對，所以每一次實驗成功就代表他決定去買這個唱片，所以這個
可以看成是一個Binomial(1000000,0.2)然後n等於一百萬，p等- 於0.2
所以你說我已經知道這個機率分佈就是Binomial(1000000,0.2)
所以它大於200800的機率，你說老師拜託這種問題你也在問，太簡單了吧，就是把這個- PMF怎麼樣
把這個PMF從200801一直加到
它等於1000000的機率，就是把它這個PMF長相就是這個樣子，有沒有
把它從200801一直加到1000000。
好，那你說老師 答案已經寫出來了，那問題是數字等於多少，要你算到小數第二位，你要算出來，要算吶
你說，老師，算就算，有什麼了不起，我現在算第一項，第一項是什麼
第一項就是代這個吧，x=200801的時候，那你算一下它的PMF值
第一個你要算x=200801的時候，你是不是要代到這個，這個1000000取x，就- 是要算什麼
就要算1000000取200801，1000000取200801就是什麼就是100- 0000的階乘除以
200801的階乘乘以799199的階乘
那這個等於多少，這怎麼算，1000000的階乘等於多少
天文數字啊，1乘上2乘上3一直乘到1000000，天文數字啊
200801的階乘也是天文數字，799199的階乘也是天文數字啊 好，所以這邊給你一個例子，你去算這樣一個random
variable 的distribution 如果它這個數字是非常非常大的數字，你這個機率就算知道distribution你也-
算不出來 就是這個例子，你知道是Binomial，可是你看，光是這個 1000000取200801你就算不出來，你還怎麼去算後面的機率
根本算不出來，那怎麼辦？那我們就說，老師剛剛有講過，好多個東西的和
可以用這個中央極限定理來算，對不對？那我們已經知道，我們已經知道什麼
我們已經知道Binomial(n,p,k)寫成n個iid的和，n個iid的Bern- oulli的和，對不對
所以這是Binomial 1000000，我是不是可以把它寫成1000000個
iid的和，每一個都是Bernoulli什麼，都是Beinoulli 0.2嘛，因為你這邊是Binomial
n，p 這個p等於0.2，所以它就可以寫成是1000000個Bernoulli
0.2的和 1000000個夠不夠多，1000000已經很多了
1000000個iid加一起出來是什麼，是個Gaussion啦，中央極限定理跟我們- 講這個問題就是Gaussion了，對不對
但是你要知道這個Gaussion它的mean跟期望值是多少，我們知道說μx1是0.- 2，你如果知道
每一個xi都是Bernoulli 0.2，那你就看x1就好了，x1，Bernoulli
0.2 它的這個μx1是0.2，它的variance是0.16 所以呢我們知道說1000000個加在一起的話，剛才講
它的新的這個Gaussion，新的這個常態分佈，它的的mean是什麼，就是它的n倍- 的ux1
那variance就是n倍的σ square x1，所以呢我們就知道說，那它的ux是什麼
n倍嘛，1000000就是你的n，n倍的ux1，有沒有，然後你的variance 就是1000000的σx
square，所以你去算一算會發現說那這樣就是ux等於1000000乘以0.2就是- 200000
σx square就是等於1000000乘以0.16 你如果要σx就是再開根號，會等於400，所以我們就會發現說
哇，x的機率分佈會不會很接近μ=200000，σ=400這樣的常態分佈
好，當你知道這個X是Gaussion以後，是常態分佈以後，那這個X
大於200800的機率可不可以算，當然可以算啦，對不對，我們知道說如果X是Gaus- sion的話
我們之前有學過，任何一個Gaussion，它減掉自己的μ，除以這個σx，這個東- 西是什麼
它是不是都很接近Gaussion 0，1，這個standard normal，對不對
所以你還記得，我們之前如果要算一個Gaussion random variable
如果大於 某個東西的機率，我們就怎麼樣，兩邊呢，這個x跟200800兩個怎麼樣，同時減去
μx，你這邊減掉200000，我這邊也減掉200000，兩邊同時減，這個不等號- 還是成立
你同時除以你的σx，我也同時除以你的σx，這個機率 還是維持不變，但是我這邊的X這樣子整形過後
這個X自己減掉μ再除以σx，這個東西呢就會變成什麼 這個東西是一個Gaussion
0，1的random variable，所以我現在只要算一個standard normal會大於200800
減掉200000除以400那是什麼，最後化簡就是算出這個standard normal大於2的機率
那大於2的機率就是Q of 2，那你自己去算一下，或者說在這 0.023，那就可以算出這個機率了，好
好，那如果你現在X是離散的變數的和 我們還可以算得更精確，這是De
Moivre-Laplace Formula，什麼意思呢 就是說你今天要算X落在K1到K2之間的機率的話，你這邊最好加一個修正一下
不要直接算K1到K2，你算K1-0.5 到K2+0.5之間的機率，什麼意思，老師畫圖給你看
假設你現在X是個discrete的這個 隨機變數，那你還有PMF，那你想要算它落在
K1到K2之間的機率，也就是你想算這個probability x
of K1加上probability x of K1+1，一直加上點點點，加上
probability x of K2，這是我們要算的這個機率。
好，那這個東西呢 假設你這個X，本身是好幾個，剛剛講我們在討論中央極限定理，就是說他這個應該是
很多個id的和，它的行為應該很像Gaussion，比如說像這個藍色的Gaussion
好，老師現在問你一個問題，你要算的是這個機率，因為這邊你要算的是
X落在K1和K2之間的機率，那就是等於這個機率，那這個機率是不是可以把它寫成這種
是不是可以寫成這個1乘上px(k1)加上1
乘上px(k1+1)加上點點點，也就是上面每一個數字
每個px值都把它乘上1，是不是這個和是不變的，是不是還是等於
X落在k1跟k2之間的機率，對不對，好，但是這個代表什麼意思，這個相當於就是這個
現在紅色括出來的面積，就是，你看，1乘上px(k1)就是這個
高度是px(k1)，我乘上1，就是寬度為1的這個紅色的這個長條
所以這一個大小就等於這個長條的面積，對不對，所以
你看每一個pnf都乘上1，那是不是就是都乘上1就是這個長條的面積
對不對，所以這邊，你都乘上1，你會發現說，其實你這樣算落在k1跟k2之間機率其- 實是在算
這些長條圍起來的這個面積，對不對，好 但是呢，你今天如果用Gaussion來approximate它，你用這個藍色的Ga-
ussion區間來approximate它 如果你今天算的這個機率是屬於這個顏色，從這個地方，你說從這個k1，一直
積到k2，就只算這裡面這個 面積的話
那你看看紅色的地方有沒有缺
有啊，你看你缺的是什麼，缺的是這塊綠色的，有沒有 從k1-0.5到k1，從k2
到k2加0.5的這一塊有沒有？好，應該這一個點是k2加 0.5。
這一個點是什麼？是k1減0.5對不對？
所以有沒有說誒，其實你如果只從k1用Gaussion那個分佈只從k1積到
k2的話，你其實還會缺這兩個半塊你會缺這個從k1減0.5到k1， 還有從k2到k2加0.5。
所以這是為什麼我們說那你乾脆你就直接 一開始在這邊算的時候，你這個Gaussion呢就是直接從這個地方有沒有？
直接就算它落在k1減0.5到k2加0.5之間的機率，
這就是我們為什麼要加減0.5，就是因為要這個兩邊的那個兩個半
小塊直接這樣算的話會更準，不要算從k1到k2而是算從
k1減0.5到k2加0.5這之間的面積會更接近原來那個紅色 的那些長條圍出來的面積。
好，那我們來看這個例子。
這個假設呢，這個有個女孩子這個女孩叫萱萱，她是5566的忠實粉絲。
她 幫她的這個好朋友們去收集這個
天團出的唱片，她就自告奮勇幫她這些好朋友去買這些CD。
她呢，為了幫她朋友好朋友去買，所以她去了20家店去買這個CD。
好，那每一家店 呢就只限購她買一張，所以每一家店呢要麼就是買得到要麼就是買不到，那機率呢缺貨機率是-
0.5， 好，也就是買到機率是0.5。
那請問萱萱去20家 能夠買到7
張的機率是多少？所以先問你一個問題 她去20家能夠買到多少張這是一個隨機變數嘛
這個隨機變數x的機率分佈是什麼？去20家 然後每一家都可能有可能沒有，有的機率是0.5。
所以它是什麼？它是一個BIN 的20P，所以它的n 呢就是20，它的P就是0.5。
好那你今天要算什麼？你要算的是 她買到7 張的機率那就是算x等於7的機率，x等於7的機率你帶BIN
因為這個20還蠻小的，所以你可以帶BIN P and
5去算真的可以算， 算出來機率是什麼？是0.0739。
好， 那你剛才我們也有知道說，那你BIN20其實可以看成是20個
Bernoulli的ID的Bernoulli的和嘛，對不對？那我們就想說那我們是不- 是可以用Gaussion Probability 來算算看，看看到底多準。
所以呢，你可以把它表示成用中央極限定理來算的話， 這個可以把它表示成是20個Bernoulli的0.5這種ID
的和，好所以它是20個Bernoulli的0.5。
好，那Bernoulli如果是0.5的話，那Xi是0.5的話，那它的μ就會是0.5 它的σ呢會是0.25。
好，這個東西有了以後 我們就可以去算說那你這樣的話，如果是20個這樣的ID加起來的話，那它應該相當於是一-
個normal，一個 常態分佈，那它的μ呢就是20倍的σ1。
好，還有20倍的σ 好，所以就是Gaussian這個μ等於10 然後σ呢是等於5。
OK？好，那這個 μ等於10，σ等於5這樣的Gaussian，如果你是算它等於7的機率是多少？
我們就算說x等於7的機率對不對？那也就是就是它落在
7跟7之間，那剛才我們講說這個x是一個discrete，所以你可以用一些
我們用一個更準確的說法，你不要算7跟7之間嘛，你就變成是這種7減掉0.5
跟就是6.5跟7加上0.5就是7.5，你不要呆呆的就算7跟7之間
連續落在7跟7之間的機率是0啊，所以你一定要有個面積叫什麼就剛才講說
你就是兩邊一個加0.5一個減0.5，所以就是算落在6.5 落在6.5跟7.5之間的機率。
好，你這樣去算帶那個φ你說哦
答案是0.732，你看看0.0732跟0.0739準不準吶？好準
吶對不對？所以就知道說哇，中央極限定理好不好用？好用啊
特別是算bernoulli啊，iii啊， iii吶，這些本身就是等於好幾個這其它Random
Variable的ID的和的這樣的Distribution啊， 用中央極限定理非常好用。
OK，好，這就給你看一個例子。
如果是離散的你怎麼樣中央極限定理可以算的更準 要記得兩邊一個要減0.5，一個要加0.5
OK？好，我們來回顧一下我們這一周的這個課程。
這一周呢，我們一開始呢是在介紹說能兩個隨機變數加在一起的話，這個新的隨機變數
它的幾何機率分佈是什麼？好，那特別是我們特別在意的是兩個隨機變數如果是獨立的話，
我們發現說它就變成是這個新的這個PMF就會等於這原來兩個PMF的連積。
好，那如果是PD的話也是一樣，等於它們兩個的連積。
好，那所以褶積呢就很難算 對不對？所以我們就介紹什麼？導致教你們這個MGF，因為MGF就是一種轉換
直接做褶積很難算，但是我如果先把你變成MGF在s的世界裡面兩個相乘以後再做
逆轉換回來的話，哇，那褶積有時候就不用自己真的算了，會比較好算，對不對？這就是為什- 麼要學MGF。
好，那如果學了MGF之後呢我們就可以開始來算多個隨機變數的和了。
那我們今天探討兩個一個是固定個數，就像你看壽司100個壽司，固定100個壽司
好，100個飯量的和，100個SI的和，我們也學了如果你這邊的話， 這個個數本身也是亂的。
好，是有一個它的一個 Random Variable
N，大N來控制的話，那我們這個它這個整個x1加上xn的這個和 我們會用n的P的這個Moment
Generating Function跟xi的Moment Generating Function來表示，這個我們剛才也學過。
最後我們學到的是什麼？我們學到機率最重要的定理是什麼？就是中央極限定理。
萬佛朝宗，任何你有很多個Random Variable ID的
這個Random Variable很多個加在一起，它的行為就非常像Gaussian。
事實上也沒有很多，我們剛才 例子可是只要4個5個甚至6個加在一起，它就已經非常像Gaussian了，對不對？這-
個時候有什麼好處，可以幫 我們算一些機率可以用Gaussian的近似的話算會很好算，查一查表就可以算得出-
來，不然 像剛才講說用那個很大的bernoulli，100萬取20萬801，
光是那個階乘就算不出來了，對不對？所以這一種中央極限定理對我們來講是非常非常有 幫助的。
特別在算一些機率的話，很多時候它如果沒有辦法算的，手算不出來， 剛好它有那個性質是很像是i
第一個，好幾個ID隨機變數的和的話，你就可以用中央極限定理。
好，這個就是我們今天這個最後一個禮拜整個的課程，謝謝大家。
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