這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
9-2.c：MGF (下)
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頑想學概率：機率二 (Probability (2))
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WEEK 9
頑想學概率最後一週課程，內容一樣有趣又充實！如果有好幾個隨機變數我們把它加在一起， 那加在一起之後產生的這個新的隨機變數，它的這個機率分布到底是什麼呢？MGF (Moment Generating Function) 是什麼？該怎麼用它找到隨機變數的機率分布？還有一定要知道的機率學中最重要的「萬佛朝宗」定理──中央極限定理！
Познакомьтесь с преподавателями
葉丙成教授 (Professor)
電機工程學系 (Department of Electrical Engineering)
［音樂］ ［音樂］
［音樂］ ［音樂］
好，那接下來我們來介紹MGF的一個重要性質，怎麼樣做運算？比如說你今天有一個
這個Y這個新的random variable等於aX加b，就是a是跟b都是常數，
那乘上，就a乘上一個隨機變數X，那加上b，那我們就很好奇那Y這個隨機變數 它的moment
generating function長什麼樣子呢？好，那你看一下誒，那ΦY(s) Y的moment generating
function按照定義是什麼？是不是應該等於exponential的sY次方 這個函數它的期望值，對不對？好，那Y是什麼？
Y是等於aX加b，剛才不是寫了嗎，對不對？所以你就把這個s乘上Y把它改寫成什麼？ s乘上aX加b。
那誒這個東西呢你就把它乘開，這是什麼？
這個E[es(aX+b)]，你可以
把它寫成這種，寫成e的saX次方。
就是前面這個s跟它這個相乘 乘上後面這個E[es]乘上b，好e的sb次方好，好，這個時候老師再問你一個問題，
在這個取期望值的這個東西裡面，這個式子裡面，哪一個東西是random？哪一個是ra- ndom的？
s有沒有random？s沒有，s就是這個變數，它不是隨機變數，對，所以s不是ran- dom。
a是什麼？a是個constant。
X是什麼？X是random，X是random。
好，X不random，b不random，所以 對這個來講的話，你看這東西一點都不亂，它不是個隨機變數，你可以把它看成
是一個又一個像一個一個常數或者常變數，常數對不對？ 所以說就可以把它拉到外面來，對不對？好，所以這後面是什麼？好就e的sb次方
把它拉到外面來，裡面是什麼？剩下e的saX，好，e的saX是什麼?
你想想看如果我有X的這個PMF或PDF的話，我是不是可以說X的MGF，那
s的MGF是什麼？s的MGF ΦX(s)是什麼？是等於E[esX]
這函數的期望值對不對？好，如果這個函數你有的話， E[es]的期望值這個東西你會不會有？它是
E[esaX]的期望值，也就是什麼？原來這個s這個角色要改成什麼？ 要sa來表示。
對不對？所以E[esX]這個東西如果是Φ X(s)的話，
那表示的這個東西是什麼？這個是Φ X(as)，因為在這邊的
這個s的角色已經被aX取代，所以這整個東西的期望值如果加上Φ X(s)的話，
那這整個東西應該是Φ X(as)，所以把它整理一下，它就是變成是E[esb]就是這個sb，好的
sb乘上Φ X(as) ，Φ X(as) ok？這就是moment generating function的一個性質。
好，好那我們接下來看一下，那既然我們一直講這麼多moment generating
function的定義和性質，那接下來 一些常見的隨機變數、 隨機機率分佈它的moment generating
function長什麼樣子呢？ 好我們來看一下，先看一下，比如說這個最簡單的Bernoulli。
Bernoulli是什麼？它等於0，x等於0的機率是1減p，等於1的機率呢是 p，對不對？好，那這東西就是moment
generating function應該是什麼？誒記得moment generatiing function是什麼？ moment generating
function是E[esX]這東西 期望值，那這東西是什麼？這期望值看一下，就把之前的式子再寫一下，這是X從負無窮大-
到無窮大 你的函數值是什麼？是E[esx]乘上你這個是什麼？你的PNF，所有的PNF值
乘上E[esX]，那X從負無窮大到無窮大。
那 問題是你看這東西你X是不是真的要從summation從負無窮大到無窮大？
不用，因為X真正不等於0的機率是什麼？ 這X在0這個地方跟X在1這個地方這兩項而已。
所以你只要算 這PMF不等於0的地方就只有這兩項就X等於0跟X等於1。
所以X等於0的時候是什麼？ X等於0的時候，那你這邊前面這E[esX]就是變成e s乘上0。
因為現在X是等於0，然後乘上px(x)的機率，也就是 px等於0的機率。
所以現在就是X等於1，所以這函數值就是es乘上 1乘上X等於1的機率。
那這東西你記得這是什麼？這是1減p。
那這東西它是什麼？是p ,對不對？那這裡你把它整理一下，就變成是
1減p加上e的X次方乘以p。
ok？這意思這就是Bernoulli的這個Bernoulli p的 moment generating function，老師這邊推導出來。
好Bernoulli p的moment generating
function如果你有的話， 那現在就是我們來看，那BIN(n,p)呢？回想一下，BIN(n,p)代表什麼意思？
BIN(n,p)代表的是我作Xn次實驗會成功的次數。
對不對？ 我作n次實驗裡面會成功多少次？這是個隨機變數，對不對？所以n次實驗裡面成功多少次？
好你先看到我作n次實驗成功多少次是不是等於我把
第一次實驗有沒有成功的次數，第一次實驗成功的次數是多少？不是0就是1嘛，對不對？ 第二次實驗成功的次數是什麼？也是一樣，不是0就是1。
第n次實驗成功的次數是什麼？也是一樣，不是0就是1。
你如果把第一次實驗成功的次數加上第二次實驗成功的次數加一直加到第n次實驗成功的次數 全部把它加起來就像這個樣子。
好，那我問你 这个X1，X1是第一次实验有没有成功？
一次实验有没有成功，不是0就是1，那是什么？是Bernoulli(p)的distr- ibution，對不對？第二次实验有没有成功
也是一樣，不是0就是1，對不對？它也是個Bernoulli，也是一樣同樣的p。
那一直到第n次實驗有沒有成功？也是不是0就是1，它也是個Bernoulli(p)，- 那重點是什麽？
每一次實驗呢是獨立的，我這一次實驗有沒有成功跟下次實驗有沒有成功 或是跟之前實驗有沒有成功完全都沒有關係，各自做各自的啊。
好了老師問你 我把第一次實驗有沒有成功的次數0或1加到第二次實驗有沒有成功的0或1一直加到
第n次實驗有沒有成功的0或1，這Sn，這S1一直到Sn全部這n個數字都把它加起來，
n個0或1加起來，那1的個數是什麽？加起來就是看就是變成說S1到Sn裏面有多少- 個1嘛，
S1到Sn裡面有多少個1是不是就是代表說我做了n次實驗裡面有多少是成功呢？是不是？
也就是說這是不是就是那個BIN(n,p)這個隨機變數呢？BIN(n,p)代表是說做- n次實驗裡面 有多少次成功。
那n次實驗裡面有多少次成功是不是就等於第一次有沒有成功0或1，加上第二次有沒有成功- 的0或1
一直加到第n次實驗有沒有成功0或1就把它加起來，對不對？所以我們會發現說哇 原來BIN的隨機變數可以表示成什麼？
可以表示成n個獨立的Bernoulli p的和誒。
它可以表示成n個Bernoulli隨機變數的和，所以一個BIN
(n,p)可以表示成n個Bernoulli這個而且是indepent這個Berno- ulli的這個的和，我們剛才講過
那X的PMF為什麼？你這個X的PMF若可以 表示成n個獨立的隨機變數的和的話，我們看一下情況，那X的
這個X的這個PMF是會等於S1
的PMF跟S2的PMF一直到Sn的PMF的摺積，n個的摺積，對不對？ 所以我們知道說誒如果是這樣的話，那你算moment generating
function的話，Φ X(s)會等於什麼？ Φ X(s)會等於它們所有的S1，S1的moment
generating function乘上Φ X2(s)
乘上Φ Xn(s)，這是我們剛才講的這是偷懶的方法有沒有？
在X事件裡面如果是n個PMF的相乘的摺積的話
在X的事件如果是n個PMF的摺積的話，會等於在S事件上面的 n個moment
generating function的相乘，有沒有？ 這就用這個性質。
所以我們就知道說誒如果BIN (n,p)可以表示成，BIN(n,p)的X可以表示成
它這個random variable會等價于是n個獨立的Bernoulli的 這隨機變數的和的話，那它的moment
generating function就會等於這n個Bernoulli的 moment generating function的相乘。
那問題是這n個moment， 這n個S，這個Si哦這每一個Si它都是同樣的Bernoulli(p)，
它們都是同樣的Bernoulli，然後每次作實驗成功的機率都成功的機率都是p都- 是一樣。
所以表示說它們的moment generating function通通長得都一樣，都是什麼？就是我上面算這個
1減p加上p乘上es，所以每一個X1的moment generating function也是長這個樣子。
X2的moment generating function也是長這個樣子，Xn的也是長這個樣子。
所以n個相乘以後就變成什麼？就變成這個東西n次方了。
n次方了。
所以這東西呢也是一樣， Bernoulli的moment generating function要不要背？不用背啊，直接推導就好了。
對不對？但是那BIN(N,P)要不要背？不用背，BIN(N,P)就是它的2次方而已。
也不用背對不對？這就是之前老師跟你說誒期望值的公式可以不用背，一個是另外一個n- 倍中來， 就是從moment generating function來的。
因為我的moment generating function是你的n倍，所以當我 微分n次的時候，我會多出一個n跑出來，所以這也是為什麼我的期望值
BIN(n,p)的期望值會等於Bernoulli的期望值的n倍。
好， 那我們再看一下那Geometric這東西老師就留給你自己推導，因為老師的
這個一直我一直認為這東西就是你要自己要能夠推導，你才能夠真的學會這moment generating function。
它的這個推導啊，還有它的這個運用，好所以這個東西呢 按照這個定義去推導一下。
好，這個東西按照定義嘛，就應該：X 等於負無窮大到無窮大
esx Px (x)，對不對？那Px (x) 呢，就是就是 Geometric 那個
PMF，把它代進去，要去推導一下、 化簡一下 這時候會是個等比級數的形式，你應該可以推導出來。
好 Geometric (p) 出來了，那這樣哦，Pascal (k, p) 能不能推導出來 Pascal (k,
p) 呢，也是一樣，先跟Binomial (n, p) 跟 剛才那個 Binomial (n,
p) 跟 Binomial 有些關係，對不對，Pascal (k, p) 跟 Geometric (p) 也有些關係。
什麼關係呢？回想一下 Pascal (k, p) 是什麼？Pascal (k,
p) 是說你做實驗做到第 k 次成功，前面總共做了多少次 好，你做到第 k
次成功，前面總共做了多少次？試了多少次才看到第 k 次成功，我問你
你試的次數是不是會等於，我先試出第一號成功，第一次成功 我做了多少次。
好，第一次成功，比如說第一次成功我試了三次，才看到第一次成功 那我現在看，那我第二次、
第二號成功，試了多少次 好，那第二號成功，比如說，試了四次
好，那第三次成功，第三號成功，我又試了多少次？好，比如說第三號成功 試五次，好。
所以，你看看，你光看到第一號成功 從零開始，一直試，試到第一下成功，哦，我試了三次看到第一下成功
好，接下來，我又重新 reset，又開始說，我又試了多少次看到第二號成功
我試了四次試驗才看到，第二次成功，第二號成功。
好，就 reset 那我又從頭又開始算，我試了多少次才看到第三號成功
對不對？所以你看看，這三個加起來是不是就等於 你要看到第三次成功總共需要試多少次。
所以呢，看到第 k 次成功
中間是總共做了多少次嘗試，跟你只看第一號成功而已，試了多少次，加上第二號成功又試- 了多少次
加上第三號成功試了多少次，加上第四號成功試了多少次，一直加到第 k 號成功本身試了多少次才看到第 k
號成功，對不對 這麼多個加起來就等於你，從頭看了看到第 k 次成功試了多少次，這 Pascal (k,
p) 跟 Geometric 那個關係，什麼關係？因為你看到第一次，你一直試試試試試
從零一直試試試試試，看到第一號成功，試了多少次 才看到第一號成功，這是個 Geometric
的，這個 random variable，對不對？ 好，第一次成功，看到了，從第一次成功再開始來算說，我要試多少次才能看到第二次成功
對不對？從第一次成功到第二次成功，中間出現多少次成功？就只有一次 所以看到第二次成功，又要再多做多少次？那其實也是個
Geometric 是個隨機變數，對不對？所以，你一般來說，任何一個 Pascal (k,
p) 都可以寫成什麼？寫成是 k 個獨立的
Geometric (p)
的和，所以 ∅x1 (s).......
∅xk (s)，因為每個呢 都是 Geometric
這個 p，對，所以就變成是其中隨便選一個來代表它的什麽 k
次方，對不對？所以只要是前面、 上面的 Geometric 你有算過的話，那這個東西就會算
好，還有一樣，Poisson 的，還有 discrete UNIF 的 moment
generating function，老師都讓你們算 另外呢，Exponential
呢，也是一樣，你要推導，這都是你要會推導，你會推導的話才真的有學會，然後呢，Er- lang (n,
λ ) 誒，Erlang (n, λ ) 記不記得？上次老師講 Erlang (n,
λ ) 就是打電動過 n 關需要花多久時間，對不對 過了到第 n 關總共要花多少時間，那每一關都是 Erlang (n,
λ )，你過n 關所需要的也就是 Erlang (n, λ )，所以你看看 Erlang (n,
λ ) 這個 random varival 就等於，誒，每一關，第一關要花多少時間，加上第二關要花多少時間，一直要加上第
n 關要花多少時間 就是整個 n 關要花的總時間嘛，對不對？那其中，剛才講說，誒，之前就講，每一個
Xi 呢都是 Exponential (λ) 的話，那 x 就會是 Erlang (n, λ )，對不對？所以，Erlang (n,
λ ) 可以寫成 n 個獨立的 Exponential (λ) 這樣的隨機變數的和，所以也是一樣
那這樣子的話，∅x(x) 它的 moment generating 的話就會等於是 ∅x1(x)
乘上......乘上 ∅xn(x)
而這個呢，因為每一個 Xi 長相都是一樣，都是同樣的 Exponencial，所以那這東西就等於
我們用其中一個來代表，就是 ∅x1(x) 的 n
次方，好那所以呢，你知道如果是上面這個東西 Exponential 的這個 moment
generating 有算出來的話，代到下面來上 n 次方就好，所以這也是一樣 需不需要去背 Erlang (n,
λ ) ？不用，你只要記得 Erlang (n, λ ) 是等於 n 個獨立的 Exponential (λ)
的和的話 那，只要算出 Exponential (λ) 的 moment generating function，你直接
n 次方就得到 Erlang (n, λ ) 好，那接下來呢，continuous 的 UNIF 的這個 (a,
b) 的這個 moment generating function，你要推導 Gaussian
呢，比較複雜，去找書，老師要訓練你 去自己找答案，找書，把這些 moment generating
function，把它填進去 這就是你以後的表，好，以後你要逆轉換什麽，誒看這個表你就會算了。
那這就是我們的 moment generating function 的部分。
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