[音樂] [音樂]
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好，那我們剛才講MGF這個方法很神奇，那我們看這個MGF這個方法，這一節來介紹它是- 怎麼work的。
那MGF它全名是什麼呢？它的英文的全名叫做moment generating function，
那我們等下會介紹為什麼叫這個名字，好，那我們再回過來，為什麼要學MGF，回過來我- 們前面有
講過，就是因為那個摺積，convolution很不好算，所以我們要學這個MGF方法- ，看有沒有這種比較好算的方法。
那在老師教你MGF之前，老師先給你個例子，幫助你了解這個概念，什麼概念呢？
比如說，我們先看一個例子，這個在台灣有一個行業，我想在大陸可能也有，叫做紅娘，就是她
專門在，這個工作就是在撮合一些這個沒有結婚的，沒有男女朋友的這些男生女生。
好，那比如說，這個小明跟小華的這個兄弟小園，這個小園超宅的，
整天就是在家裡，就是窩在家裡不出門，然後這個小美的手帕交小麗呢，
哇，這個這個，長得又漂亮又大方，所以在外面很夯，行情非常好。
好，那我問你，如果今天這個紅娘，有個紅娘接到一個任務，是要撮合小園跟小麗，我問你，- 這個任務簡單嗎？
那很難嘛，對不對，你這個小園，整天都窩在家裡，對不對，人家這個小麗，哇，外面這個大家
又漂亮又大方大家都喜歡，小麗怎麼看得上眼，怎麼看得上小園，對不對？所以這個紅娘如果- 接了這個任務是不是很難？
但是這個紅娘就是想有沒有什麼方法，有沒有什麼方法，可以讓這個事情比較簡單？
她就是說，有了！我先花點功夫，雖然有點辛苦，但是她先花點功夫，什麼功夫呢？
她把小園跟小麗從這個文明的世界呢，把他們呢，轉移到什麼？
把他們轉移到這個亞馬遜的這個熱帶雨林的荒野世界，把他們轉換到那個世界，
然後呢，把他們呢，都改造一下，把這個小園本來長得很宅很矬的，她就把他改造一下，變- 得很潮，
潮到滴水，那這個小麗也是一樣，給她改造一下，所以他們就有新的造型，然後新的身份，還- 有新的名字。
好，接下來就撮合啦，那問你，老師問你，這個撮合容不容易？一男一女身處
荒郊野外，晚上的時候，外面都是亂七八糟，這種鬼哭神嚎的聲音，
那只是有什麼？只有一堆螢火，跟你我相互依偎的溫暖，
我問你，在這種情境之下，你要撮合小園跟小麗，容不容易？ 那這個當然容易啊，在這麼危險的環境之下，這兩個人
很容易怎麼樣？就看對眼啦，只有你我可以相互依偎，馬上就看對眼了，對不對，好，就有- 感情了。
`所以撮合，在這種環境下就比較容易了，所以，剛才，你要把他們送到亞馬遜是不是要花很- 多功夫？是要一點功夫，
但是在這邊呢，花了這點功夫是值得的，因為在這邊呢，要撮合他們變得很簡單，一旦撮合他-
們有了感情之後， 那接下來就怎麼樣？再做逆轉換，就是把他們送回原來的文明世界，那兩個已經有感情了，你-
把他們送回 文明世界的話，兩個人感情還是依舊在，對不對，所以，你有沒有花功夫？你有多花功夫-
，花這個 機票，轉換，把他們改造，從文明世界到亞馬遜世界，
然後呢，你要還要怎麼？還要從亞馬遜世界把他們帶回來文明世界， 這個兩個是要花功夫的，但是如果這個功夫花起來
比你，這個撮合他們來講，在這個文明世界撮合他倆， 還比較簡單一點的話，那這個轉換是值得做，這個轉換肯定值得做，因為
做了以後，你在那邊撮合他們，在這個新的世界撮合他們很簡單。
好，那我們再回過頭來，這是現實 世界的例子，可是老師想了很久，這個想了很久幫你理解，想了這個例子給你。
好，那我們回到數學， 好，剛剛要做摺積，很辛苦，對不對，有沒有什麼偷懶的方式？剛剛講摺積是，為什麼要做摺-
積，比如說 舉例，你有x1的PMF給你，x2的PMF給你，現在要算什麼？要算它們兩個PMF的摺-
積，為什麼？ 你要算x1加x2的PMF的話，我們剛剛講說，這兩個隨機變數的和
的PMF會等於x1的PMF跟x2的PMF的這個摺積，就是這個，對不對？
那這個我們剛剛講說，這個東西怎麼樣？很難算的，很複雜，所以我們想說，有沒有什麼方法- 可以偷懶？
有沒有什麼方法可以偷懶，所以原來這個函數都是在x的這個世界，因為它們都是x的函數，
我們現在說，我們就把它轉換，轉換到哪裡呢？轉換到一個新世界，我們叫S世界，
那轉換的世界，轉換出去以後改造出來的結果，我們叫什麼？就叫做大家說的MGF，M- GF就是
送到那個世界改造出來的結果，怎麼說呢？比如說你這邊x1的PMF呢，我們就把它 轉換成什麼？我們把它改造成фx1
of s，把x這是個函數 轉換過去變成s這個函數，s這個函數，那你說這個s函數怎麼算呢？
很簡單，就是算這個函數值，就你如果，我有x1的PMF了， 我是不是可以算x1的任何函數的期望值，對不對，好，那exponential
sx1這是不是就是x1這個隨機變數的函數？
是啊，它是x1這個隨機變數的函數，那任意函數的期望值，只要我
x1的PMF都可以算對不對？所以這個東西可不可以算？可以呀，這個東西算出來等於什麼？
這個東西就等於summation的x從負無窮大到無窮大，對不對，所有的可能的
x1的值，那你就是先把函數值，函數值是什麼？是exponential
s，那現在 x，對不對？乘上這個x1等於x的機率，就是它的PMF的值，對不對？
summation起來，這出來的結果是什麼？你看，這個東西對x做summation- ，這summation完，只剩下什麼？還會不會
有x1，或者x，不會有嘛，只剩下小s而已，所以這是為什麼最後出來的結果是一個s- 的函數， 這個東西呢，фx1
of s，就是我們說，我們就說這是x1的MGF，這也就是
把它轉換到s世界之後新的這個結果，好，那同樣的道理，
px2，這個x2的PMF，它今天做這個轉換，它轉換到哪裡？ 它轉換到фx2
of s，它轉換到фx2 of s，這就是x2的轉換，所以，你看，不同的函數
不同的PMF，轉換過去都會有一個它們各自的фxi of s
那這個是什麼呢？也是一樣，這個是x2的MGF，所以它就是什麼？ 就是exponential
sx2這個函數對x2的PMF， 去算你的期望值，好，有了這個轉換之後，那接下來
在原來在x世界做摺積很困難，那算到s世界的話，它這個對應的運算是什麼？
非常好做，就是什麼？相乘就好，你有фx1 of s
你有фx2 of s，你接下來做什麼？把它相乘就好了，相乘簡不簡單？ 太簡單了，好，相乘之後，接下來做什麼？再做逆轉換
逆轉換，把它逆轉換回去，這個x的世界，所以你就把它做逆轉換，回來x的世界呢，最- 後就等於
它這個摺積，但是你又要說，老師，為什麼我做這樣的MGF到s世界裡面，要把它做成MGF
然後相乘再做逆轉換回去剛好會等效，會等於這個我原來直接做摺積？這個就是在數學
就要證明，這是數學家推導出來的，那這就是數學就要推導出，這樣子可以偷懶，
就是可以偷懶，我就不用做那麼複雜的摺積，我就先把它轉換過去，
相乘，再逆轉換回來，哇，這種轉換，他有找到一種轉換，只要做個MGF，然後它會發現
就有這樣的特性，所以大家就用這種MGF的方法，所以這個不是天上掉下來，這是數學家很- 努力地去找，
好，所以，這個呢，從這個地方老師也要教你們一個，這個是在外面的書可能比較少
講的，這個觀念沒有把它點破，就是說你在數學上有很多這樣類似這種所謂的轉換，什麼轉換？ 什麼Laplace
transform，拉普拉斯轉換，Fourier transform，這個傅立葉轉換，這個數學上很多轉換
它這個轉換的本質是什麼？它們的本質很多就是什麼？
就是偷懶，就是什麼？就是逃避現實，就像這個 我就是在這個原來這個x，在這個世界裡面要算摺積很難算我不想算，
有沒有什麼偷懶的方式，有沒有什麼轉換可以把我轉換到別的地方，然後我就可以很簡單地- 做一做，
然後逆轉換回來可以得到原來我那個很難算的東西，有沒有這樣的東西，有沒有這樣的轉- 換方式？
有的話，這種轉換就是，我們就很喜歡用這種轉換
來幫我們算那個很難算的東西，所以拉普拉斯轉換，Fourier轉換，
傅立葉轉換，很多時候就可以用來做這種事情，它其實都是，很多時候就是可以幫我們偷懶，
我們不用在原來的x世界去算這樣複雜的運算，我們只要把它轉換到 別的世界，利用Laplace
transform，拉普拉斯轉換，或這是Fourier transform，傅立葉轉換，
我們都可以轉換過去，做一個很簡單的事情，再逆轉換回來就可以算出那個很難算的事情。
所以，所有很多這些數學的變換，都是為了什麼？ 為了偷懶，為了逃避現實。
所以這個，這個nokia，nokia曾經有句話說，科技始終來自於人性，對不對，但是- 丙成要告訴你，
文明始終來自於什麼？來自於惰性，人類的文明都是因為什麼？
都是因為人懶，才會發明出這一堆有的沒的，不管是數學上的轉換或者是
生活上這些工具，好，所以，文明，都是來自於我們人的惰性，好。
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葉丙成教授 (Professor)
