9-2.a：MGF (上)

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Из курса от партнера National Taiwan University

頑想學概率：機率二

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National Taiwan University

頑想學概率：機率二

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這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

Из урока

WEEK 9

頑想學概率最後一週課程，內容一樣有趣又充實！如果有好幾個隨機變數我們把它加在一起，那加在一起之後產生的這個新的隨機變數，它的這個機率分布到底是什麼呢？MGF (Moment Generating Function) 是什麼？該怎麼用它找到隨機變數的機率分布？還有一定要知道的機率學中最重要的「萬佛朝宗」定理──中央極限定理！

9-1.a：隨機變數之和 (上)11:18

9-1.b：隨機變數之和 (下) 13:49

9-2.a：MGF (上) 10:18

9-2.b：MGF (中) 14:06

9-2.c：MGF (下) 15:53

9-3.a：多個隨機變數和 (上) 10:35

9-3.b：多個隨機變數和 (下) 13:01

9-4.a：中央極限定理-萬佛朝宗 (上) 16:45

9-4.b：中央極限定理-萬佛朝宗 (下) 17:19

Познакомьтесь с преподавателями

葉丙成
教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)

那我们刚才讲这个MGF这个方法很神奇

那我们看这MGF这个方法这节来介绍它是怎么work的

那MGF它全名是什么呢

它英文的全名叫MOMENT GENERATING FUNCTION

MOMENT GENERATING FUNCTION

那我们等一下会介绍为什么名字叫这个名字

那我们再回过头来为什么要MGF

回过来我们前面有讲过就是因为前面那个

褶积Convolution很不好算

所以我们要学这个MGF这个方法

看有没有比较好算的方法

那在老师叫你MGF之前老师先给你个例子

帮助你了解这个概念什么概念呢

比如说我们先看个例子在台湾有个行业

我想在大陆可能也有就是红娘就是它专门在

这工作就在撮合一些没有结婚的没有男女朋友

这些男生女生

那比如说小明跟小华兄弟小圆

这小圆是超宅的整天就窝在家里不出门

然后小美的手帕交小丽呢

长的是又漂亮又大方所以在外面很夯

行情非常好那我问你

如果今天有个红娘接到一个任务是要撮合小圆跟小丽

我问你这个任务简单吗那很难嘛

你这个小圆整天都窝在家里对不对

人家这个小丽哇外面又漂亮又大方大家都喜欢

小丽怎么看得上眼怎么看得上小圆对不对

所以这个红娘如果接这个任务是不是很难

但是这个红娘也是

有没有什么方法什么方法可以让这个事情比较简单

她就说啊！有了我先花点功夫虽然有点辛苦

但是她先花点功夫什么功夫呢

她把小圆跟小丽从这个文明的世界

把它呢转移到什么

把它转移到亚马逊热带雨林这个荒野的世界

把它转换到那个世界然后呢

把他们呢都改造一下

把这个小圆本来长得很宅很搓的

她就把他改造一下变得很潮然后潮到滴水

这个小丽也是一样把她改造一下

所以他们就有新的造型新的身份新的名字

接下来就撮合啊问你

老师问你这个现在撮合容不容易

一男一女身处荒郊野外晚上的时候

这个外面都一堆乱七八糟鬼哭狼嚎的声音

这个诶只是有什么只有一堆营火

跟你我相互依偎的温暖我问你在这种情境之下

你要撮合小圆跟小丽容不容易

这个当然容易在这么危险的环境之下

这两个人很容易就看对眼了

只有你我可以相互依偎这就看对眼了

对不对就有感情了

所以撮合在这种环境下就比较容易所以

刚才你要把他们送到亚马逊是不是要花很多功夫

是要一点功夫但是在这边呢

花这点功夫是值得的

因为在这边要撮合他们变得很简单

一旦撮合他们有了感情之后而且又怎么样？

再做逆转换就是把他们送回原来的文明世界

两个已经有感情了你把他们送回文明世界的话

两个感情还是依旧在对不对

所以你有没有花功夫你有多花功夫

花机票转换把他改造

从文明世界到亚马逊世界

然后你要还什么

还要从亚马逊世界再把他带回来文明世界

这两个是要花功夫的但是如果这个功夫花起来

比你撮合他来讲在文明世界撮合他俩

还比较简单一点的话那这个转换是值得做的

这个转换跟逆转换值得做因为做了以后

你再撮合他在新的世界撮合很简单

那我们再回过头来这是现实世界的例子

这老师想了很久想了很久要帮你理解下

想了这个例子给你那我们回到数学

刚才做褶积很辛苦对不对有没有什么偷懒方式

刚才讲的褶积为什么褶积比如说举例

你有X1的PMF给你有X2的PMF给你

现在要算什么要算它们两个PMF的褶积

为什么你要算X1加X2的PMF的话

我们刚才讲说这两个随机变量的和会等于

X1PMF X2PMF的褶积就是这个对不对

这个我们刚才讲说这个东西什么

很难算很复杂所以有没有什么方法可以偷懒

有什么方法偷懒所以原来这个函数都是在

X的世界因为它们都是X的函数

我们现在讲我们现在就把它转换

转换到哪里呢转换到一个新世界

我们叫s世界

转换世界转换出去以后

改造出来结果我们叫什么

就是他们说的MGF

MGF就是送到那世界改造出来的结果

怎么说呢比如说

如果是X1的PMF我们就把它转换成什么

我们把它改造成Φx1(S)

把X这个函数转换过去变成S这个函数

S这个函数那你说说S函数怎么算呢

很简单就是算这个函数值

就如果我有X1的PMF了

我是不是可以算X1的任何函数的期望值

对不对那Exponential SX1

这是不是就是X1这个随机变量的函数是啊

它是这个X1这随机变量的函数

那任意函数的期望值

只要我X1的PMF我都可以算对不对

所以这东西可不可以算可以啊

这东西算出来等于什么这东西就等于

summation的X从-∞到∞ 对不对

所有的可能的X1的值对不对那你就直接把

函数值函数值是什么

是e^sX对不对乘上Px1（x）就是它PMF的值对不对

summation起来这出来结果是什么你看

这东西对X做summation 是summation完

只剩下什么还会不会X1（x）不会有嘛只剩下s而已

所以这为什么最后出来结果是个s的函数

这个东西呢Φx1（s）我们就说这是X1的MGF

这也就是把他转换到s世界之后新的结果

那同样道理Px2（Ｘ）这个X２的PMF

它今天做这个转换它转换到哪里

它转换到Φx2（s）它转换到Φx2（s）

这就是X2转换所以你看不同的函数

不同的PMF转换过去都会有一个它们各自的Φxi（s）

那这是什么也是一样这是X2的MGF 所以它就是什么

就是e^sX2这个函数对X2的PMF去算你的期望值

有了这个爽快之后那接下来

比方说在X世界做褶积很困难那算到s世界的话

它这对应的运算是什么非常好算就是什么

相乘就好你有Φx1（s）你有Φx2（s）

你现在要做什么把它相乘就好了

相乘简不简单太简单了相乘之后接下来是什么

再做逆转换逆转换把它逆转换回去

这个X的世界所以你就把它做逆转换回到X世界

最后就等于它这个褶积但是你要说

老师为什么我做这样的MGF

到s世界把它做MGF的时候然后相乘再做逆转换回去

刚好会等于我原来直接做褶积

这就叫数学的证明这是数学家推导出来的

那其实是数学家推导出诶这样子可以偷懒

这样子可以偷懒就不用做那么复杂的褶积

我就先把它转换过去相乘再逆转换回来

哦这种转换他有找到一种转换

只要造个MGF 他发现诶有这样的特性

所以大家就用这种MGF方法

所以这不是天上掉下来是数学家很努力去找的

所以这个呢从这个地方老师也教你们一个

这是在外面书可能比较少讲的这个观念没有把它点破

就说你在数学上有很多类似这样的转换什么转换

什么Laplace Transform拉普拉斯变换

Fourier transform这傅立叶变换

这个数学是很多转换它的转换的本质是什么

它们的本质很多就是什么就是偷懒

就是什么就是逃避现实就像这个

我就是原来这个X在这个世界要算褶积很难算我不想算

有没有什么偷懒的方式有没有什么转换

可以把我转换到别的地方然后我就可以很简单的做一做

那我逆转换回来可以得到原来我那个很难算的东西

有没有这样的东西有没有这样的转换方式

有的话这种转换就是我们很喜欢用这种转换

来帮我们算那个很难算的东西

所以拉普拉斯变换 Fourier变换傅立叶变换

很多时候就可以用来做这种事情它其实都是

很多时候就是可以帮我们偷懒的

我们不用在原来的x世界去算些复杂运算

我们只要把它转换到别的世界

利用Laplace Transform拉普拉斯变换

或是Fourier Transform傅立叶变换我们都可以

转换过去做一些简单的事情再逆转换回来

就可以算出来任何函数的值所以

所以很多这个数学的变换

都是为了什么为了偷懒为了逃避现实

所以这个Nokia Nokia曾经有句话说

科技始终来自于人性对不对但是丙申也告诉你

文明始终来自于什么来自于惰性

人类的文明都是因为什么都是因为人懒

才发明出一堆有的没的不管是数学上的这些转换

或者是生活上的这些工具

所以文明都是来自于我们人的惰性

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