[音樂] [音樂] [音樂] [音樂] 那最後一組呢我們來介紹就是這個POI,如果你是 x值是POI(α)∑的話,它的期望值跟它的σ統統都是α 兩個是壹模壹樣,哎這很有意思的啊,然後呢,如果你這個x呢是個 UNIF(a,b)啊,distrit到UNIF幾率分佈的話,均勻的幾率分佈 的話,它的期望值μ,就是a跟b的中點,就是 貳分之a加b,然後σ指的是拾貳分之壹的b減a乘上b減a加2, 這些呢,統統都是可以推導呢,好,那老師呢,需要你們去推導 這個作業裡面,有個作業老師說需要你們去推導這幾個或某幾個,這個 這個,這個,期望值跟σ,好,你呢 可以是自己推導,不然呢,就是有些你自己推導過了以後, 推導幾次都推不出來的話,欸那你可以去,找壹些書啊或者什麼來看這到底是什麼,去圖書- 館找書, 但是呢,務必要自己搞懂,那老師坐你面前問你說你有沒有推導,自己會不會推導,有沒有- 推導過, 那大家都是誠實的,作為老師的學生,老師已經跟大家講了,老師相信各位,你們是不會 作弊的,對不對,所以呢,就自己好好做,老師希望你自己能夠把它推導出來,不然就是 繼續查書,但是,當然啦,能不要查書就不要查書啦,因為我就是教你怎麼 證的,你還去查書,那這樣不是好像我們教的這個,這個就是 不會教嘛,對不對,不是。 好,怎麼去設期望值呢,好,說實在的哈 老師這壹次就是傳授給你們,這個是我多年來做這個幾率和這個問題 其實,幾率或是這些數學的推導或者證明,它的終極奧義是什麼? 就是壹個要訣啦,什麼要訣?就是「湊」,「湊」字訣 什麼意思呢,好,老師給你個例子,我們就以POI(α) 它的這個期望值為例子,我們來推導看看POI(α)需要怎麼推導啊 你看一下,當你要推導POI(α)的期望值的時候,你先要知道什麼?你要 知道人家POI(α)的這個PF長什麼樣子啊,對不對?你連PF都不知道你怎麼去推導人- 家期望值 它的PF呢,長這個樣子,x階層分之αx加e的負α次方,x是從0, ,1,2,點點點壹直到無窮大都有可能。 好,那所有的數學證明或推導, 你要真的要去推,要去證明之前,推導或者證明之前,你要去想想看,你手上到底有什麼。 你想想看呢,到底有什麼有利的條件跟情報,可以讓我們等下後續有用 如果人家告訴你PF長這個樣子的話,如果有人告訴我PF,哎有個 PF長這個樣子的話,你手上有什麼情報,你手上有什麼公式,什麼情報可以用? 有的,什麼公式?就是 PF,所有的PF值加起來會等於1,有沒有?所以就是這個 所有的x階層分之αx乘e的負α次方,這個都是 把它從x,所有可能x,從0到無窮再把什麼壹起來,最後出來等於多少? 最後會等於1,好,所以這個就是非常有利的壹個情報啊,等下我們這個證明的時候,就要想- 辦法好好利用這個條件,就是 這整個東西∑等於壹,哦,這個公式要好好 利用,所以呢,PF要不要背?要,每壹個PF呢,就是壹個公式 你如果記住PF的話,你就是多了壹條公式可以用,好,就是PF加起來等於1 好,那回過頭來,x的期望值是什麼?x的期望值就是x 乘上它的PF值,奧,x乘上它的PF值,把∑起來,那這個x跟x 階層呢,可以消掉壹個x階層的x,所以x階層這邊分母x階層就變成x減1階層 所以我們就變成x減1階層分之αx次方乘e的負α次方 再把∑起來,對不對?好,那這東西呢,我們就卡在這個地方,這個東西怎麼做? 沒做過,x減1階層分之αx次方,然後乘e的負α次, ∑這個等於多少?這個級數,我們學過等比級數,等價基數,但是這個東西 但是現在這個級數,這是什麼,什麼鳥東西,這個根本看不出來是什麼東西啊,對不對? 怎麼辦?哎那我們回過頭來看看我們手上有什麼東西,數學 的證明推導都是這樣,先看看你手上有什麼情報,有什麼 條件可以用,我們手上剛才講的,哎我們有這個條件 吶,我們有這個∑,我們知道這樣的形式∑等於壹, 那我們現在要做的是這個∑,那我們現在就想到壹個問題說,好了那下面這個我們為什麼不把 想辦法湊得跟上面很像?那我們就有機會能湊出答案了,對不對? 那我們來觀察壹下上面這個東西,上面這個東西∑從哪裡開始,從0開始,但是我下面這個東- 西,∑從哪裡, 從1開始,對不對?就不大壹樣。 上面這個東西你看壹下,α的次方這個x階層的x是壹樣的 可是這個地方呢,α的次方是x,下面的是x減壹階層,也還是不壹樣的 那至於e的負α次方,誒e的負α大家都知道還是壹樣,那就還好,但是我們想看,那就想辦- 法先來湊吧 上面這個地方x,這上面這個α的次方跟這個什麼階層這個東西,兩個是壹樣的對不對? 好,那我下面就想辦法看能不能湊成壹樣,你這邊既然是x減壹階層,那我 上面就把你湊得壹樣,就變成α的次方把湊得變成α的x減1次方 好,所以你看誒,我就湊到壹個x減1階層,上面是αx減1次方,這裡還湊得 壹樣。 可是呢這裡遠離是α的x次方,你給我變成αx減1次方,那就表示什麼? 好,外面又多出來壹個α,然後就把壹個α拉到外面來,對不對? 好,所以呢,你看,誒目前我們再跟上面這個∑比較壹下, 好,x階層,這個階層的這個地方跟次方這個地方把它弄得壹樣,誒 階層這個地方跟次方弄成壹樣,OK?但是人家這個東西,人家是x啊,你這個 人家這個是壹個變數x,而且你這個x減壹看起來很難看吶,對不對? 我們就做這壹個變數變化。 我就說誒我就把你整個x減壹叫做x'的話,要怎麼辦? 所以呢,我們就定x'等於x減1,如果這個x'等於x減1的話,那這邊 就變成α的x'次方,下面就是x'的階層,那課題就跟上面有點像了哦,就是 課題就是x'的階層,上面是α的x'次方,對不對?好 但是呢,本來原來的∑是從x開始,現在給它變成x'了, 那這裡∑的上下線我就要該壹下,對不對?你想想看,原本的x是怎樣,x是從1, 原本x是從1到無窮大,那x'呢,x'就等於x減1嘛,對不對 那x既然是從1到無窮大,那x'就是等於什麼?它應該從1減1到無窮大減1。 x從1到無窮大的話,那x'是x減1的話,x是從1開始,1減1 那x,是無窮大,x'就是無窮大減1,對不對?所以這東西你把整理起來的時候就是0 到無窮大嗎,對不對?這就是0到無窮大,所以,你整理一下就發現是0,那這個αx' α乘上這個∑的話,x'的範圍就是什麼?應該就是 x'從0到無窮大,所以你把整理一下就變成x'等於0到無窮大 那x'階層分之α的x'次方加e的負α次方,我們把這個∑,這個∑ 跟上面這個∑,這個1號跟2號 你把比較一下,你發現怎麼樣? 壹模壹樣,你發現說誒, 這個呢,這邊呢是叫x,這邊叫做x',這邊叫α的x次方,這邊 叫做α的x'次方,這邊是x,∑從,x從0到無窮大,我這邊是把它改成x',但是它也是- 從0到無窮大 所以可以發現,這個整個東西怎麼樣,它的這個值是等於1。 是的,就是等於1啦,所以我們就是辛辛苦苦,終於壹步壹步終於對它湊成,就等於1了。 跟我們手上有的這個條件長得樣子很像,就是一樣的一個式子,那你就可以直接利用它 所以就變成α乘上1,最後就等於α。 所以這個推導過程,老師就是想要讓你 看到,就是希望傳授給你,就是說,幾率證明或者數學的證明的都是「湊」的, 你要做這個問題之前,要推導壹個東西之前,要證明壹個東西, 先想想看,先注意看壹下,你手上,先清查壹下你手上有什麼公式, 有什麼條件,在我們這邊呢,我們的條件就是這個,然後呢你在 證明的過程中,推導的過程中,想辦法把你碰到的處理一些的很怪 長相很奇怪的事,想辦法讓它長得越來越像你 手上有的那個條件,那個式子的話,那你就可以把它化解出最後一個 很簡單的答案,這個就是所謂的「湊」字訣,所有的數學的證明跟推導 「湊」字訣都扮演著非常重要的角色,但是很多書,很多人是不會跟你講這件事情的,因- 為這東西 這是老師的心得,在這裡跟大家分享,大家是有緣吶,老師可以跟你分享, 好,所以講過了「湊」字訣,馬上這個期望值α 這個α這個期望值我們推導出來是α之後,那接下來有人問那你的σ值是多少? 那σ值呢,就等於說E[x²]減去[μ²],那E[x]我們已經證出來了,是 是α,對不對,所以現在是怎樣,現在我們只需要,說實在我們只要證出x平方的期望值,能- 夠推導出來是什麼 我們就可以得到答案,那x平方的期望值是什麼,x平方的期望值根據 定義的話,x平方是x的函數對不對,那你就應該把小x代進去,就是小x的平方 乘上x的pmf,這個summation等於多少,好,那這個時候 老師要問你了,這個東西,這個東西一定要證哦,這個非常重要,這個東西如果你證出來的話 你能夠自己推導出來的話,那就表示你沒有問題啦,你期望值學得通透了 好,但是老師給你一些一些hint,一些一些一些提示 again,當你要推導這個東西之前,先想想看,先清查一下你手上有哪些有利的 情報,這個情報,有沒有,還是可以用啊,pmf加起來等於1 還是可以用,所以,1號情報我們還是有的,好了,那現在還有什麼情報 光是這一條1號夠不夠,很遺憾哪,不夠 你還需要一條情報,應該還有一些情報,還有,還有更多情報才能夠幫助你, 好,但是你想想看有什麼情報,你手上還沒有什麼公式,除了這個pmf值加起來會等於1外- ,還有什麼公式? 有的,我們剛才推導的是什麼,我們剛才是才推導出 new x 等於α,也就是x的期望值等於α,那x的期望值是什麼,就是這個式子嗎,x乘上pmf 之後,summation 來等於 α,所以x 這個這個整個式子等於α,這是什麼,這是第三式,好,所以 1號跟3號式子都是我們的什麼,現在我們出發點手上有的這個情報啦,好,所以 你看看,你,當你推出來了 μx 之後,我們手上又多了一個條件 所以你現在就是要靠1號條件跟3號條件這兩個式子,這個式 這個式子,這個式子,然後,利用這兩個看你能不能 把它湊出一個東西出來,x平方乘pmaf,你看看能不能 湊出跟3號式子跟1號式子很像的一些,一些一些一些數值,然後最後看看它長相長什麼樣子- ,老師剛才已經跟你講說 它是α了,但是你要證明出來為什麼它是α,好,這個問題值得好好做,還有那個bino- mial np也還是值得 你去推導,iii 的Mean跟Variance還有binomial np的Mean跟Variance,如果你推導出來 OK的,基本上是你學通了。 好,那我們這一節來回顧一下 好,我為什麼想知道期望值,因為對一個random variable,它這個 數字是亂的,我們無從掌握,所以我們很希望說有沒有一個好的方式可以估算它 期望值就是我們一個很常用來估、 估算估測一個random variable的一個方法一個詞 那根據大數法則,期望值等於什麼,期望值會等於你做無窮多次實驗之後 所得到的這個實驗結果的平均值,好,所以這個是期望值的一個直觀上的一個很重要的意義,- 根據大數法則來的 那隨機變數它的期望值,我們會取,那當然,函數的期望怎麼樣,g(x)函數的期望值- 會不會求 我們會求啦,就直接小x代到g裡面去,然後再乘上對應的pmf值,x的pmf值sum起- 來,對不對,好 那其中,最常我們覺得最重要的一個,最常用的一個就是,就是variance,就是變異- 數,那變異數的意義 是什麼,它其實告訴,某種程度上告訴我們,你這個random variable多亂,這個 數字分佈範圍有沒有分佈很廣,或是有沒有很亂,這個是variance 一個,哎,很多時候它可以告訴我們一些這方面的information 那數學或是一些推導機率呀,或是一些數學一些證明,最重要的 一個要訣是什麼,就是剛才老師最後告訴你的,湊字決,非常重要 然後,你務必要自己推導過,老師在作業裡面要求你推導的,那你才能夠真正領悟湊字決的這個 要義,OK?好,那這個就是我們今天的這個課了,那我們下個禮拜再見啦,拜拜 [音樂] [音樂] [音樂] [音樂]