這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
6-2.d：期望值 I (末)
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頑想學概率：機率二 (Probability (2))
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Из урока
WEEK 6
本週我們將延續上週還沒說完的連續機率分布，並介紹離散的隨機變數期望值。
Познакомьтесь с преподавателями
葉丙成教授 (Professor)
電機工程學系 (Department of Electrical Engineering)
[音樂] [音樂]
[音樂] [音樂]
那最後一組呢我們來介紹就是這個POI，如果你是
x值是POI（α）∑的話，它的期望值跟它的σ統統都是α
兩個是壹模壹樣，哎這很有意思的啊，然後呢，如果你這個x呢是個 UNIF(a,b)啊，distrit到UNIF幾率分佈的話，均勻的幾率分佈
的話，它的期望值μ，就是a跟b的中點，就是
貳分之a加b，然後σ指的是拾貳分之壹的b減a乘上b減a加2，
這些呢，統統都是可以推導呢，好，那老師呢，需要你們去推導
這個作業裡面，有個作業老師說需要你們去推導這幾個或某幾個，這個
這個，這個，期望值跟σ，好，你呢 可以是自己推導，不然呢，就是有些你自己推導過了以後，
推導幾次都推不出來的話，欸那你可以去，找壹些書啊或者什麼來看這到底是什麼，去圖書- 館找書，
但是呢，務必要自己搞懂，那老師坐你面前問你說你有沒有推導，自己會不會推導，有沒有- 推導過，
那大家都是誠實的，作為老師的學生，老師已經跟大家講了，老師相信各位，你們是不會
作弊的，對不對，所以呢，就自己好好做，老師希望你自己能夠把它推導出來，不然就是
繼續查書，但是，當然啦，能不要查書就不要查書啦，因為我就是教你怎麼
證的，你還去查書，那這樣不是好像我們教的這個，這個就是 不會教嘛，對不對，不是。
好，怎麼去設期望值呢，好，說實在的哈 老師這壹次就是傳授給你們，這個是我多年來做這個幾率和這個問題
其實，幾率或是這些數學的推導或者證明，它的終極奧義是什麼？
就是壹個要訣啦，什麼要訣？就是「湊」，「湊」字訣
什麼意思呢，好，老師給你個例子，我們就以POI（α） 它的這個期望值為例子，我們來推導看看POI（α）需要怎麼推導啊
你看一下，當你要推導POI（α）的期望值的時候，你先要知道什麼？你要
知道人家POI（α）的這個PF長什麼樣子啊，對不對？你連PF都不知道你怎麼去推導人- 家期望值
它的PF呢，長這個樣子，x階層分之αx加e的負α次方，x是從0，
,1,2，點點點壹直到無窮大都有可能。
好，那所有的數學證明或推導， 你要真的要去推，要去證明之前，推導或者證明之前，你要去想想看，你手上到底有什麼。
你想想看呢，到底有什麼有利的條件跟情報，可以讓我們等下後續有用
如果人家告訴你PF長這個樣子的話，如果有人告訴我PF，哎有個
PF長這個樣子的話，你手上有什麼情報，你手上有什麼公式，什麼情報可以用？
有的，什麼公式？就是
PF，所有的PF值加起來會等於1，有沒有？所以就是這個
所有的x階層分之αx乘e的負α次方，這個都是
把它從x，所有可能x，從0到無窮再把什麼壹起來，最後出來等於多少？
最後會等於1，好，所以這個就是非常有利的壹個情報啊，等下我們這個證明的時候，就要想- 辦法好好利用這個條件，就是
這整個東西∑等於壹，哦，這個公式要好好
利用，所以呢，PF要不要背？要，每壹個PF呢，就是壹個公式
你如果記住PF的話，你就是多了壹條公式可以用，好，就是PF加起來等於1
好，那回過頭來，x的期望值是什麼？x的期望值就是x
乘上它的PF值，奧，x乘上它的PF值，把∑起來，那這個x跟x
階層呢，可以消掉壹個x階層的x，所以x階層這邊分母x階層就變成x減1階層
所以我們就變成x減1階層分之αx次方乘e的負α次方
再把∑起來，對不對？好，那這東西呢，我們就卡在這個地方，這個東西怎麼做？
沒做過，x減1階層分之αx次方，然後乘e的負α次，
∑這個等於多少？這個級數，我們學過等比級數，等價基數，但是這個東西
但是現在這個級數，這是什麼，什麼鳥東西，這個根本看不出來是什麼東西啊，對不對？
怎麼辦？哎那我們回過頭來看看我們手上有什麼東西，數學 的證明推導都是這樣，先看看你手上有什麼情報，有什麼
條件可以用，我們手上剛才講的，哎我們有這個條件 吶，我們有這個∑，我們知道這樣的形式∑等於壹，
那我們現在要做的是這個∑，那我們現在就想到壹個問題說，好了那下面這個我們為什麼不把
想辦法湊得跟上面很像？那我們就有機會能湊出答案了，對不對？
那我們來觀察壹下上面這個東西，上面這個東西∑從哪裡開始，從0開始，但是我下面這個東- 西，∑從哪裡， 從1開始，對不對？就不大壹樣。
上面這個東西你看壹下，α的次方這個x階層的x是壹樣的 可是這個地方呢，α的次方是x，下面的是x減壹階層，也還是不壹樣的
那至於e的負α次方，誒e的負α大家都知道還是壹樣，那就還好，但是我們想看，那就想辦- 法先來湊吧
上面這個地方x，這上面這個α的次方跟這個什麼階層這個東西，兩個是壹樣的對不對？
好，那我下面就想辦法看能不能湊成壹樣，你這邊既然是x減壹階層，那我 上面就把你湊得壹樣，就變成α的次方把湊得變成α的x減1次方
好，所以你看誒，我就湊到壹個x減1階層，上面是αx減1次方，這裡還湊得 壹樣。
可是呢這裡遠離是α的x次方，你給我變成αx減1次方，那就表示什麼？ 好，外面又多出來壹個α，然後就把壹個α拉到外面來，對不對？
好，所以呢，你看，誒目前我們再跟上面這個∑比較壹下，
好，x階層，這個階層的這個地方跟次方這個地方把它弄得壹樣，誒
階層這個地方跟次方弄成壹樣，OK？但是人家這個東西，人家是x啊，你這個
人家這個是壹個變數x，而且你這個x減壹看起來很難看吶，對不對？ 我們就做這壹個變數變化。
我就說誒我就把你整個x減壹叫做x'的話，要怎麼辦？ 所以呢，我們就定x'等於x減1，如果這個x'等於x減1的話，那這邊
就變成α的x'次方，下面就是x'的階層，那課題就跟上面有點像了哦，就是
課題就是x'的階層，上面是α的x'次方，對不對?好
但是呢，本來原來的∑是從x開始，現在給它變成x'了，
那這裡∑的上下線我就要該壹下，對不對？你想想看，原本的x是怎樣，x是從1，
原本x是從1到無窮大，那x'呢，x'就等於x減1嘛，對不對
那x既然是從1到無窮大，那x'就是等於什麼？它應該從1減1到無窮大減1。
x從1到無窮大的話，那x'是x減1的話，x是從1開始，1減1
那x,是無窮大，x'就是無窮大減1，對不對？所以這東西你把整理起來的時候就是0
到無窮大嗎，對不對？這就是0到無窮大，所以，你整理一下就發現是0，那這個αx'
α乘上這個∑的話，x'的範圍就是什麼？應該就是
x'從0到無窮大，所以你把整理一下就變成x'等於0到無窮大
那x'階層分之α的x'次方加e的負α次方，我們把這個∑，這個∑
跟上面這個∑，這個1號跟2號 你把比較一下，你發現怎麼樣？
壹模壹樣，你發現說誒，
這個呢，這邊呢是叫x，這邊叫做x'，這邊叫α的x次方，這邊
叫做α的x'次方，這邊是x，∑從，x從0到無窮大，我這邊是把它改成x'，但是它也是- 從0到無窮大
所以可以發現，這個整個東西怎麼樣，它的這個值是等於1。
是的，就是等於1啦，所以我們就是辛辛苦苦，終於壹步壹步終於對它湊成，就等於1了。
跟我們手上有的這個條件長得樣子很像，就是一樣的一個式子，那你就可以直接利用它
所以就變成α乘上1，最後就等於α。
所以這個推導過程，老師就是想要讓你
看到，就是希望傳授給你，就是說，幾率證明或者數學的證明的都是「湊」的，
你要做這個問題之前，要推導壹個東西之前，要證明壹個東西， 先想想看，先注意看壹下，你手上，先清查壹下你手上有什麼公式，
有什麼條件，在我們這邊呢，我們的條件就是這個，然後呢你在
證明的過程中，推導的過程中，想辦法把你碰到的處理一些的很怪
長相很奇怪的事，想辦法讓它長得越來越像你
手上有的那個條件，那個式子的話，那你就可以把它化解出最後一個
很簡單的答案，這個就是所謂的「湊」字訣，所有的數學的證明跟推導
「湊」字訣都扮演著非常重要的角色，但是很多書，很多人是不會跟你講這件事情的，因- 為這東西
這是老師的心得，在這裡跟大家分享，大家是有緣吶，老師可以跟你分享，
好，所以講過了「湊」字訣，馬上這個期望值α
這個α這個期望值我們推導出來是α之後，那接下來有人問那你的σ值是多少？
那σ值呢，就等於說E[x²]減去[μ²]，那E[x]我們已經證出來了，是
是α，對不對，所以現在是怎樣，現在我們只需要，說實在我們只要證出x平方的期望值，能- 夠推導出來是什麼
我們就可以得到答案，那x平方的期望值是什麼，x平方的期望值根據 定義的話，x平方是x的函數對不對，那你就應該把小x代進去，就是小x的平方
乘上x的pmf，這個summation等於多少，好，那這個時候 老師要問你了，這個東西，這個東西一定要證哦，這個非常重要，這個東西如果你證出來的話
你能夠自己推導出來的話，那就表示你沒有問題啦，你期望值學得通透了
好，但是老師給你一些一些hint，一些一些一些提示
again，當你要推導這個東西之前，先想想看，先清查一下你手上有哪些有利的
情報，這個情報，有沒有，還是可以用啊，pmf加起來等於1
還是可以用，所以，1號情報我們還是有的，好了，那現在還有什麼情報
光是這一條1號夠不夠，很遺憾哪，不夠 你還需要一條情報，應該還有一些情報，還有，還有更多情報才能夠幫助你，
好，但是你想想看有什麼情報，你手上還沒有什麼公式，除了這個pmf值加起來會等於1外- ，還有什麼公式？
有的，我們剛才推導的是什麼，我們剛才是才推導出 new
x 等於α，也就是x的期望值等於α，那x的期望值是什麼，就是這個式子嗎，x乘上pmf
之後，summation 來等於 α，所以x 這個這個整個式子等於α，這是什麼，這是第三式，好，所以
1號跟3號式子都是我們的什麼，現在我們出發點手上有的這個情報啦，好，所以 你看看，你，當你推出來了
μx 之後，我們手上又多了一個條件 所以你現在就是要靠1號條件跟3號條件這兩個式子，這個式
這個式子，這個式子，然後，利用這兩個看你能不能 把它湊出一個東西出來，x平方乘pmaf，你看看能不能
湊出跟3號式子跟1號式子很像的一些，一些一些一些數值，然後最後看看它長相長什麼樣子- ，老師剛才已經跟你講說
它是α了，但是你要證明出來為什麼它是α，好，這個問題值得好好做，還有那個bino- mial
np也還是值得 你去推導，iii 的Mean跟Variance還有binomial
np的Mean跟Variance，如果你推導出來 OK的，基本上是你學通了。
好，那我們這一節來回顧一下 好，我為什麼想知道期望值，因為對一個random
variable，它這個 數字是亂的，我們無從掌握，所以我們很希望說有沒有一個好的方式可以估算它
期望值就是我們一個很常用來估、 估算估測一個random
variable的一個方法一個詞 那根據大數法則，期望值等於什麼，期望值會等於你做無窮多次實驗之後
所得到的這個實驗結果的平均值，好，所以這個是期望值的一個直觀上的一個很重要的意義，- 根據大數法則來的
那隨機變數它的期望值，我們會取，那當然，函數的期望怎麼樣，g(x)函數的期望值- 會不會求
我們會求啦，就直接小x代到g裡面去，然後再乘上對應的pmf值，x的pmf值sum起- 來，對不對，好
那其中，最常我們覺得最重要的一個，最常用的一個就是，就是variance，就是變異- 數，那變異數的意義
是什麼，它其實告訴，某種程度上告訴我們，你這個random variable多亂，這個
數字分佈範圍有沒有分佈很廣，或是有沒有很亂，這個是variance 一個，哎，很多時候它可以告訴我們一些這方面的information
那數學或是一些推導機率呀，或是一些數學一些證明，最重要的
一個要訣是什麼，就是剛才老師最後告訴你的，湊字決，非常重要
然後，你務必要自己推導過，老師在作業裡面要求你推導的，那你才能夠真正領悟湊字決的這個
要義，OK？好，那這個就是我們今天的這個課了，那我們下個禮拜再見啦，拜拜
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