Из курса от партнера National Taiwan University
頑想學概率：機率一
National Taiwan University
這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。課程內容和作業都使用生活化的例子，希望讓同學們快樂學習、快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
Из урока
WEEK 3
本週的三個主題：1. 不同事件，機率的獨立性 2. 使用圖解的方式計算複雜難算的機率 3. 我們可以怎麼樣利用數數的方式，來幫我們數東西、算機率，這跟算機率有什麼關係？
Познакомьтесь с преподавателями
葉丙成
教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)
好 那接下来呢 我们要探讨的是 怎么用图解的方法
来帮我们计算一些 很复杂的概率的问题
这是个非常实用的技巧 所以 同学们一定要好好的学下来
当我们碰到一个很复杂的概率的问题的时候
我们先观察一下 这个问题的实验的结构
这个概率问题 它的这个实验 它这个结构长什么样子
然后我们来思考几个问题
这个实验是不是能够分解成几个子实验
如果说这是个很复杂的问题
牵扯到一个很复杂的实验
那里面可以分解出好几个子实验的步骤的时候
那 如果可以 我们就可以利用图解的方法来帮助我们
解决这个概率的问题
好 这边呢 老师给大家一个范例
这个 我讲一下这个 兄弟情
这个 小明跟小华呢 兄弟情笃
他们两个就是兄弟 感情都很好
但是我们前面 上个礼拜有讲 他们都在追小美嘛 对不对
他们为了不破坏他们的兄弟感情
所以 他们就决定说什么 他们就决定说
一个人来放弃追求小美 以免伤害彼此之间的情谊
所以呢 他们怎么 他们就觉得那这个东西 就一切交给老天来做决定
看谁要来放弃小美
那他们就在罐子里面 放进去两个白球 一个黑球
两个白球 一个黑球
然后呢 游戏规则是这样
就是说 第一个 我们先决定 先猜拳 看先决定谁先抽
之后呢 就开始轮流 从罐子里面抓球出来
每次可以抽一到两个球 一到两个球
你可以抽一球 你也可以抽两球 随便你 你自己决定
但是呢一直抽到什么 抽到有人抽到黑球
一旦有人抽中黑球 抽中黑球的那个人 就是 就是退出追求小美的行列
OK 就玩这个游戏 那来决定谁来退出
那这个是一些 一些我们预先知道的一些概率
已经知道呢 这两个人的猜拳是公平的猜拳
猜输赢的概率的1/2 0.5
然后呢 另外一个 根据小明的习性
他每次抽球 抽一颗的概率是0.4
那 有时候他抓的比较大把 抓到两颗球的概率是0.6
然后呢 小华相反 小华呢 抽一颗球时候 概率比较高 是0.7
那抽两颗球的概率是0.3
好 那这种情况之下
到底是小明比较容易退出呢 还是小华比较容易退出
小明退出的概率到底是什么呢？
虽然 他前几天已经被小美 巴了一巴掌 好像已经捷足先登
但是 游戏既然玩 你要愿赌服输啊
小明退出这个游戏 退出这个追求的概率到底是多少呢？我们来想想看
第一个 我们来思考 来看一下这个问题
这个感情是个很复杂的问题啊 对不对
那这个复杂的 先不要害怕 我们想想看 这个问题是不是能够拆成
它这个整个实验是不是能拆成几个子实验呢？
我们发现 是可以的 你看看 给它拆成什么 ？
拆开 拆成猜拳 猜拳输赢之后 你还是可以拆说
谁先抽球 谁后抽球 你可以把它拆成好几个实验
所以 我们发现 这个问题 它其实是有机会用图解法来解的
好 那这边呢 老师给大家一个例子 怎么用图解法来解呢
首先 刚才讲说 这个实验的一开始的子实验
第一个子实验是什么？ 是猜拳嘛 对不对
所以就有0.5的概率是什么 走上面 小明赢 0.5的概率是小明输
如果是0.5小明赢的这个事 我们先看一下这条路 小明赢的这条路
接下来小明赢了 小明接下来做什么实验？
接下来下一个子实验 就是小明要去抽球嘛
小明抽球 又分两条路 一个是0.4的概率 他只抽一颗
一个是0.6的概率他抽两颗 对不对
0.4的概率他抽一颗 现在是什么 里面有两颗白球一颗黑球 对不对
所以他 抽中一颗 他抽一颗球的概率 会有几种可能？有两种可能
有1/3的概率 小明就 哇 一下就抽中签王 抽中黑球
有2/3的概率 他会抽到白球 对不对
所以 这又可以分解出一个实验
所以 小明抽黑球 他就退出了 对不对
那如果小明抽到白球呢？ 那下一个实验要做的是什么？
小明抽完白球 就该小华抽啦
小明抽了白球之后 剩下两颗球 哪两颗？ 一个是白的 一个是黑的
小华要么就是0.7的概率 只抽一球 OK
要么就是0.3的概率他抽两球 他抽中白的跟黑的
就已经只剩下白球跟黑球 你还要抽两球
小华你不喜欢小美你就直接说嘛 干嘛那么矫情
还要装着一副 这个 这个抽了球 啊 不好意思 我要放弃追求小美了
这是题外话 哈哈
既然规则是 就算剩两球 他还是有这个概率要抽两球的话 好 那就是这样子
0.3的概率 他抽两球 那小华自然就抽中白的跟黑的
那就是 小华中奖 退出了
但是如果是 上面那个 小华抽中一球 0.7的概率小华抽中一球
那就什么 还剩下一个什么 小华就抽中那个
既然抽一球的话 你只抽一球 那就是 白的跟黑的 各有一个概率
1/2的概率被你抽中 所以 有一个概率
下面就是 小华又抽到黑的 对不对
不然是什么 小华抽中白的
小华抽中白的
从这个地方呢 下一步再出发 是什么
你看 前面呢 走这条路的话 小明已经抽一个白的 小华又抽了一个白的
那现在只剩一颗球是什么 是黑的啊
那 所以 小明就是有概率1 是一定又抽中黑球
所以 就中奖了 对不对
所以 就按照这个例子 就可以看出
这样一个这么复杂的问题 其实我们是有办法一步一步的
把它 拆解成 好几个子实验
一步一步的用图解 算出每一条 每一个结果发生的概率 对不对
所以像这个 下面这个 小明他抽两球的
又有一个可能是黑的被你抽到 白的跟黑的被你抽到
不然就是 抽到白的跟白的
那接下来 再往下延伸 一直到这个结果
同样的 下面下半部 小明输的话
你也可以做这样同样的分析 你可以做出这样子
所以我们来看一看 在这种情况之下 你也可以做这样同样的分析 你可以做出这样子
所以我们来看一看 在这种情况之下
小明抽到黑球 要退出追求小美的 这个结果会有哪几个
会有一个 两个 三个 四个 五个 六个
好 那我们就是把这六个的概率把它算出来
好 然后加起来 就是小明退出的概率
那这每一个的概率怎么算 很简单
就看它每一步路 有什么样的概率
比如说 这一个好了 小明抽到黑球
它就是什么 要让这件事情发生 发生了哪几件事情
要0.5的概率猜拳赢了 然后0.4的概率小明抽了一球
还有他抽了一球的里面 1/3的概率刚好抽到黑球 对不对
所以就是 0.5乘以0.4乘以1/3
所以小明退出的概率你看 0.5乘以0.4乘以1/3
这是刚才第一个的case 同样的
其他五个的事件呢 五个事件他会发生的概率呢？
你看 这 一 二 三 四 五 全部把它算出来 加在一起 就是小明退出的概率了
这个例子 老师就给大家看到 就是说
即使是一个很复杂的题目 只要你能够
观察这个题目的这个架构 是有办法拆解成几个 这个子结构的话
诶 那就是你赶快要来利用这个图解法来解它的机会了
因为这个会很好算 比较好算 OK
好 所以这节呢 比较简单 我们就一个例子给大家回顾一下
就是说 图解 繁复的这个概率 适用哪一类的问题呢
刚才已经讲过了
就是 你那个问题可以拆解成很多个子结构 子实验的话
那这样问题就很适用 好
葉丙成教授(Professor)
