2-2.a：條件機率 (上)

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頑想學概率：機率一 (Probability (1))

144 оценки

National Taiwan University

頑想學概率：機率一 (Probability (1))

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這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。課程內容和作業都使用生活化的例子，希望讓同學們快樂學習、快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

Из урока

WEEK 2

本週的兩個主題：1. 神聖的機率三公理和衍生的性質 2. 機率學中不能不知道的「條件機率」概念很有趣哦！

2-0：咱們聊聊，是學習，還是應付? 15:32

2-1.a：機率公理性質 (上)16:09

2-1.b：機率公理性質 (中) 16:06

2-1.c：機率公理性質 (下) 10:07

2-2.a：條件機率 (上) 10:41

2-2.b：條件機率 (中) 12:43

2-2.c：條件機率 (下) 16:02

Познакомьтесь с преподавателями

葉丙成
教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)

[果壳教育无边界字幕组] 听录:Rompue 时间轴:Ruhua 校对: 随心

好同学接下来呢

就是我来介绍我自己最喜欢的一节

就是概率里面的所谓的条件概率

好首先呢我们先来看一个范例

来介绍一下什么叫作条件概率

有的人听过有的人没听过

但是老师给你个例子

你就感觉你就知道什么叫条件概率

好这个我跟各位讲一件事情

其实概率很多时候是反映我们对某件事情的了解程度

就像老师在上礼拜有讲说我们为什么要学概率

因为我们人对这个世界了解其实很多时候是不够的

所以概率很多时候反映出我们人

对一件事情的了解程度

什么意思呢举例来看给你个例子

比如说现在有一个没念书的混哥

因为他没念书嘛对不对

所以对他来讲考试的选择题

这个正解这一题选择题的答案

到底是A 或者是B 或者是C 或者是D

对他来讲正确答案是ABCD的这个概率呢

都是四分之一对不对

因为他没念书嘛所以对他来说都一样

可是呢如果你是有念书的卷哥

在我们台湾这边阿台大这边我们这个

这个如果是各个系前几名的同学

我们学校校长会发书卷奖

所以我们常常在讲卷哥卷姐

也就是指的就是我们这个成绩非常好的同学

所以有念书的卷哥对卷哥来讲的话

好对他来讲考试的选择题怎么样

他正确的概率

这个A这个答案是正确答案的概率

不是1就是0嘛

对不对因为他有念书

所以这个答案到底是对的

或者说这个答案是错的

他一看一目了然对不对

所以从这两个例子你就可以看出来说

哎真的唉

概率真的反映出我们对人对一些事情的

了解的程度哎对不对

好是不是好

但是呢我们发现一件事情

就是说当你知道这个其他的事件发生了以后

如果说你今天偷偷

你知道某些事情发生了之后

我们对事情的了解可以有所改变

好什么意思呢？

比如说今天如果混哥坐在卷哥的旁边

隔壁考试的时候

所以他看到什么他看到这个卷哥的手

这个卷哥可能比较矫情一点

答案怕人家看到

所以就是这个这个遮起来了 ok

他看到这个东西你想想看

当混哥看到这个事情

当这件事情发生了以后

对他来讲这ABCD这四个答案

概率都还是四分之一吗？

不一样嘛对不对你看

在这个事情发生了之后

B跟D 你看上面这个曲线

这个美妙的这个这个曲线

一看这个弧线一看就觉得

好像跟B跟D比较像嘛对不对是不是？

好所以你看当这件事情发生了之后

对混哥而言 B跟D答案是正确的概率

是高很多啊是不是跟原来就不一样了

好这就是所谓的条件概率

好条件概率

也就是说当你观察到某些事情发生了

这个事情可能没有直接告诉你的outcome（结果）是什么

但是因为这个事情发生了

它会给你一些新的情报新的资讯

那使得你

就会发现原来的一些概率呢开始才出现了变化

OK 这就是所谓的条件概率

好那条件概率呢

我们更精确的来说更精准的来说

我们用数学的方式表示给大家看

它通常在数学上我们会用这种符号来

表示条件概率的意思

好什么意思呢

我们会写作P P就是概率

P of 什么就是概率对不对

P of X 英文我们会讲说 P of X given Y

好这一杠呢把它念做

这个叫做given

如果是英文的话我们会念做 given

好 P of X given Y

X 就是你所关心的事件

比如说这个混哥很关心说：B

这个答案到底是不是正确答案噢

所以他 B是正确答案

这个就是一个他关心的事件对不对

那Y是什么 Y就是条件

就是你所观察到的已经发生的事件

以刚才那个例子 Y是什么

Y就是卷哥矫情

遮得露一条曲线嘛对不对

所以以前面那个例子

如果要这样写的话就是说它就是

P（B为正解| given 卷哥矫情露曲线）

好就是这样写

这是数学严谨的表示法

那我们这么表示

我们要怎么去算这个概率

这个概率到底是是等于多少呢？

那这个后面有它的一个逻辑

我们在这边来给大家解答

老师给大家来好好解释一下哈

条件概率怎么算呢？

P（B为正解|given 卷矫露曲）

这个卷哥矫情露曲线

这个到底是等于多少

不好意思这个地方可能我们要加一条

这个新的公理

就是卷哥永远是对的

假设我们这卷哥这答案是不会错的

卷哥永远是对的

这个可能是我们一个新的公理

好你看看当这个混哥没有偷看的时候

没有看到这个卷哥这个曲线的时候

不是没有看到卷哥露出来的那个曲线的时候

听起来越来越奇怪哦反正是

他没有看到卷哥的部分答案的时候

他没有偷看的时候

正确答案是未知的

它的样本空间是 A、B、C、D 对不对

跟大家讲 ABCD四个答案都有可能呐对不对

但是呢卷矫露曲之后呢

新的样本空间变成什么呢

假设卷哥永远是对的

那看到那么一点弧线的时候

新的样本空间变成什么？

新的样本空间我用S'表示它就是什么？

它就是B跟D嘛对不对

好所以样本空间就变了

那卷矫露曲这个事件发生了之后

这整个事件变了

样本空间变了有一个新的天地了

不符合卷矫露这个条件的outcome

统统都不可能再发生了

以刚刚那个例子来讲

A就会再发生了

在卷矫露曲这个条件之下

A是正解的概率等于0

那C是正解的概率呢也等于0

好所以这个东西如果我们把它延伸

就限制这种这个ABC的解

但如果我们把它延伸的话

如果你的实验结果

就是你用你把它套用在任何一个事件

跟任何一个条件

如果某一个实验的这个结果 Oi

这个outcome Oi

跟你的条件Y是不相交的是互斥的话

那这个东西就不会发生嘛就等于0

就像刚才这个case 有没有

卷矫露曲这个Y这个条件

跟A为正解这个Oi

这两个是不会同时出现的

不会同时发生概率是0 对不对

好那对于那些这个B跟D呢

对于卷矫露曲这个事件发生之后

符合卷矫露曲之后就是刚才的B跟D

它到底在这个新的情况下概率变成什么呢？

好这个我们来观察大家来思考一下

不管卷矫露有没有发生好

B为正解跟 D为正解

这两个事情的概率比例应该是一样的

对不对因为你看卷矫露那个条件

你看不出来是比较像B还是D嘛

你从这个事情来讲 B跟D

在卷矫露之前他们两个哪个比较容易发生

或者两个发生的机会的概率的比例

跟看到卷矫露之后

B跟D两个哪个比较容易发生

这个是应该没有产生什么变化才对对不对

好所以不管卷矫露这个条件有没有发生

B为正解跟D为正解这两个概率比例应该是一样的

也就是说我们应该有这样的观察

就是说在这个条件 given卷矫露曲的这个条件下

B为正解的概率比上 given卷矫露曲的情况下

D为正解的概率这两个条件概率的比值比例

应该要跟当初还没有发生这个条件之前

它们的比例是一样

就是B为正解的概率的比例

比上 D为正解的概率 ok

好那如果是这个样子的话那我又发现一件事情

因为刚才讲卷矫露发生之后

样本空间S'变成什么？

只有B跟D嘛对不对

也就是说这两个人呢这两个答案呢

这两个outcome发生的概率加起来要等于1 好

也就是说 S'等于B跟D

所以在卷矫露曲的情况发生之下

新的这个样本空间

会表示两个这个outcome加起来等于1

这个就是说哎这两个概率呢

加起来要等于1

因为现在在卷矫露曲这个事情发生之后

你们两个是唯一的

这个样本空间唯一残留下来的outcome

那你们两个加起来等于1

那你看这两个概率呢

这两个条件概率加起来等于1

然后这两个概率的比例呢我们也知道

是P(B)跟P(D)当初没有条件

没有发生条件之前它们概率的比

对不对所以呢我们发现说那这样的话

根据这两个式子我们可以得到说

两个比例你又知道两个概率加起来又等于一

那你就可以得到说那

B为正解的概率就是

当初 D这个条件没有发生之前

B为正解的概率加D为正解的概率分之B

也就是那你看这个事件B为正解且D为正解

那其实就是就是卷矫

卷哥会填那个曲线其实是因为B跟D

或者是D是正解的概率么也就是

这其实就是 Probability of B∪D 嘛

好因为卷哥那个答案露出来

其实是告诉你答案不是B或者D嘛

就是B或D嘛对不对好

所以从这里的话来说噢

原来B为正解的概率在卷矫露曲的情况之下

条件发生的情况下B为正解的概率

就是卷矫露曲的概率分之这个B的概率

B当初为正解的这个概率

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