Из курса от партнера National Taiwan University
頑想學概率：機率一
National Taiwan University
這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。課程內容和作業都使用生活化的例子，希望讓同學們快樂學習、快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
Из урока
WEEK 2
本週的兩個主題：1. 神聖的機率三公理和衍生的性質 2. 機率學中不能不知道的「條件機率」概念 很有趣哦！
Познакомьтесь с преподавателями
葉丙成
教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)
[果壳教育无边界字幕组] 听录:Rompue 时间轴:Ruhua 校对: 随心
好 同学 接下来呢
就是我来介绍我自己最喜欢的一节
就是概率里面的所谓的条件概率
好 首先呢 我们先来看一个范例
来介绍一下什么叫作条件概率
有的人听过 有的人没听过
但是 老师给你个例子
你就感觉 你就知道什么叫条件概率
好 这个 我跟各位讲一件事情
其实概率很多时候是反映我们对某件事情的了解程度
就像老师在上礼拜有讲说我们为什么要学概率
因为我们人对这个世界了解 其实很多时候是不够的
所以 概率 很多时候反映出我们人
对一件事情的了解程度
什么意思呢 举例来看 给你个例子
比如说 现在有一个没念书的混哥
因为他没念书嘛 对不对
所以对他来讲 考试的选择题
这个正解 这一题选择题的答案
到底是A 或者是B 或者是C 或者是D
对他来讲 正确答案是ABCD的这个概率呢
都是四分之一 对不对
因为他没念书嘛 所以对他来说都一样
可是呢 如果你是有念书的 卷哥
在我们台湾这边阿 台大这边 我们这个
这个 如果是各个系前几名的同学
我们学校校长会发书卷奖
所以我们常常在讲 卷哥 卷姐
也就是 指的就是 我们这个成绩非常好的同学
所以有念书的卷哥 对卷哥来讲的话
好 对他来讲 考试的选择题 怎么样
他正确的概率
这个A这个答案是正确答案的概率
不是1就是0嘛
对不对 因为他有念书
所以这个答案到底是对的
或者说这个答案是错的
他一看 一目了然 对不对
所以从这两个例子你就可以看出来说
哎 真的唉
概率真的反映出我们对 人对一些事情的
了解的程度哎 对不对
好 是不是 好
但是呢 我们发现一件事情
就是说 当你知道这个其他的事件发生了以后
如果说你今天偷偷
你知道某些事情发生了之后
我们对事情的了解 可以有所改变
好 什么意思呢？
比如说 今天如果混哥坐在卷哥的旁边
隔壁 考试的时候
所以他看到什么 他看到这个卷哥的手
这个卷哥可能比较矫情一点
答案怕人家看到
所以就是这个 这个遮起来了 ok
他看到这个东西 你想想看
当混哥看到这个事情
当这件事情发生了以后
对他来讲 这ABCD这四个答案
概率都还是四分之一吗？
不一样嘛 对不对 你看
在这个事情发生了之后
B跟D 你看上面这个曲线
这个美妙的 这个这个曲线
一看这个弧线 一看就觉得
好像跟B跟D比较像嘛 对不对 是不是？
好 所以 你看 当这件事情发生了之后
对混哥而言 B跟D答案是正确的概率
是高很多啊 是不是跟原来就不一样了
好 这就是所谓的条件概率
好 条件概率
也就是说 当 你观察到某些事情发生了
这个事情可能没有直接告诉你的outcome（结果）是什么
但是因为这个事情发生了
它会给你一些新的情报 新的资讯
那使得你
就会发现原来的一些概率呢 开始才出现了变化
OK 这就是所谓的条件概率
好 那条件概率呢
我们更精确的来说 更精准的来说
我们用数学的方式表示给大家看
它通常在数学上 我们会用这种符号来
表示条件概率的意思
好 什么意思呢
我们会写作P P就是概率
P of 什么 就是概率 对不对
P of X 英文我们会讲说 P of X given Y
好 这一杠呢 把它念做
这个叫做given
如果是英文的话 我们会念做 given
好 P of X given Y
X 就是你所关心的事件
比如说 这个混哥很关心说：B
这个答案到底是不是正确答案噢
所以他 B是正确答案
这个就是一个他关心的事件 对不对
那Y是什么 Y就是条件
就是你所观察到的已经发生的事件
以刚才那个例子 Y是什么
Y就是卷哥矫情
遮得露一条曲线嘛 对不对
所以 以前面那个例子
如果要这样写的话 就是说 它就是
P（B为正解| given 卷哥矫情露曲线）
好 就是这样写
这是数学严谨的表示法
那我们这么表示
我们要怎么去算这个概率
这个概率到底是 是等于多少呢？
那这个后面有它的一个逻辑
我们在这边来给大家解答
老师给大家来好好解释一下哈
条件概率怎么算呢？
P（B为正解|given 卷矫露曲）
这个卷哥矫情露曲线
这个到底是等于多少
不好意思 这个地方可能我们要加一条
这个新的公理
就是卷哥 永远是对的
假设我们这卷哥这答案是不会错的
卷哥永远是对的
这个可能是我们一个新的公理
好 你看看 当这个混哥没有偷看的时候
没有看到这个卷哥这个曲线的时候
听起来越来越奇怪哦 反正是
他没有看到卷哥的部分答案的时候
他没有偷看的时候
正确答案是未知的
它的样本空间是 A、B、C、D 对不对
跟大家讲 ABCD四个答案都有可能呐 对不对
但是呢 卷矫露曲之后呢
新的样本空间变成什么呢
假设卷哥永远是对的
那看到那么一点弧线的时候
新的样本空间变成什么？
新的样本空间我用S'表示 它就是什么？
它就是B跟D嘛 对不对
好 所以样本空间就变了
那卷矫露曲这个事件发生了之后
这整个事件变了
样本空间变了 有一个新的天地了
不符合卷矫露这个条件的outcome
统统都不可能再发生了
以刚刚那个例子来讲
A就会再发生了
在卷矫露曲这个条件之下
A是正解的概率等于0
那C是正解的概率呢 也等于0
好 所以这个东西如果我们把它延伸
就限制这种 这个ABC的解
但如果我们把它延伸的话
如果你的实验结果
就是你用 你把它套用在任何一个事件
跟任何一个条件
如果某一个实验的这个结果 Oi
这个outcome Oi
跟你的条件Y是不相交的 是互斥的话
那这个东西就不会发生嘛 就等于0
就像刚才这个case 有没有
卷矫露曲这个Y这个条件
跟A为正解 这个Oi
这两个是不会同时出现的
不会同时发生 概率是0 对不对
好 那对于那些 这个B跟D呢
对于卷矫露曲这个事件发生之后
符合卷矫露曲之后 就是刚才的B跟D
它到底在这个新的情况下概率变成什么呢？
好 这个我们来观察 大家来思考一下
不管卷矫露有没有发生 好
B为正解 跟 D为正解
这两个事情的概率比例应该是一样的
对不对 因为你看卷矫露那个条件
你看不出来是比较像B还是D嘛
你从这个事情来讲 B跟D
在卷矫露之前 他们两个哪个比较容易发生
或者两个发生的机会的 概率的比例
跟看到卷矫露之后
B跟D两个哪个比较容易发生
这个是应该没有产生什么变化才对 对不对
好 所以不管卷矫露这个条件有没有发生
B为正解跟D为正解这两个概率比例应该是一样的
也就是说 我们应该有这样的观察
就是说 在这个条件 given卷矫露曲的这个条件下
B为正解的概率比上 given卷矫露曲的情况下
D为正解的概率 这两个条件概率的比值 比例
应该要跟当初还没有发生这个条件之前
它们的比例是一样
就是B为正解的概率的比例
比上 D为正解的概率 ok
好 那如果是这个样子的话 那我又发现一件事情
因为刚才讲卷矫露发生之后
样本空间S'变成什么？
只有B跟D嘛 对不对
也就是说 这两个人呢 这两个答案呢
这两个outcome发生的概率加起来要等于1 好
也就是说 S'等于B跟D
所以在卷矫露曲的情况发生之下
新的这个样本空间
会表示 两个这个outcome加起来等于1
这个就是说 哎 这两个概率呢
加起来要等于1
因为现在在卷矫露曲这个事情发生之后
你们两个是唯一的
这个样本空间唯一残留下来的outcome
那你们两个加起来等于1
那你看 这两个概率呢
这两个条件概率加起来等于1
然后这两个概率的比例呢 我们也知道
是P(B)跟P(D)当初没有条件
没有发生条件之前它们概率的比
对不对 所以呢 我们发现说 那这样的话
根据这两个式子 我们可以得到说
两个比例你又知道 两个概率加起来又等于一
那你就可以得到说 那
B为正解的概率就是
当初 D这个条件没有发生之前
B为正解的概率加D为正解的概率分之B
也就是 那你看这个事件B为正解且D为正解
那其实就是 就是卷矫
卷哥会填那个曲线其实是因为B跟D
或者是D是正解的概率么 也就是
这其实就是 Probability of B∪D 嘛
好 因为卷哥那个答案露出来
其实是告诉你答案不是B或者D嘛
就是B或D嘛 对不对 好
所以从这里的话来说 噢
原来B为正解的概率 在卷矫露曲的情况之下
条件发生的情况下B为正解的概率
就是卷矫露曲的概率分之这个B的概率
B当初为正解的这个概率
葉丙成教授(Professor)
