這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。課程內容和作業都使用生活化的例子，希望讓同學們快樂學習、快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
1-3.b：機率名詞 (下)
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頑想學概率：機率一 (Probability (1))
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WEEK 1
歡迎來到「頑想學概率：機率一」第一週課程！本週主題有三個： 1. 機率的概論──機率的本質是什麼？ 2. 所有機率課本都會講到的：集合論 3. 機率學中一些重要專有名詞含義的介紹
Познакомьтесь с преподавателями
葉丙成教授 (Professor)
電機工程學系 (Department of Electrical Engineering)
［音樂］ ［音樂］
［音樂］ ［音樂］ 好。
那我們現在看事件。
我們現在來介紹一下 機率上另外一個很常見也很重要一個名詞叫做事件，就是英文說的event。
什麼叫做事件呢？「事件」通常就是代表是 我們對實驗結果的某種描述，某種敘述。
比如說你丟骰子， 骰子出來了，你說："嗯，骰子出來點數是個偶數。
" 誒，那這個時候這是一個描述，對不對？你對骰子丟出來那個結果的一個敘述。
對不對？誒，是偶數，這是一種敘述。
誒，丟骰子出來結果是奇數， 結果是奇數，這五個字也是一種敘述，對不對？好，所以
所謂的事件就是你對實驗結果的一個某種敘述。
好。
那機率呢，我們通常講說，阿這個機率，比如說開學講說， 這個學生上課不規矩的機率是0.1。
對不對？好所以我們通常機率在講的就是說 你的實驗結果會符合某一個事件這個敘述的機會有多大。
比如你說，誒學生上課不規矩的機率是0.1，那就是說學生上課的這個
表現行為，這個結果符合不規矩這個敘述 的機會有多大。
又或者說你剛才講說丟骰子，丟骰子是偶數的這個事件 的機會有多大。
也就是說你丟出這個骰子的結果，結果可能是1可能是2可能是3可能是4可能是5可能是6， 這結果裏面，你丟出來之後這個結果符合你的敘述
"是偶數"這個事件的敘述的機會有多大。
ok。
所以機率通常就在講事件 某個敘述符合這個，結果會符合這個敘述的機率有多大。
那 這個呢其實有時候是很抽象，因為這是人講的話，所謂的敘述，敘述是人講的話，
我們在做機率，在探討機率這個數學呢，我們有時候這個對我們來說會很困難，所以我們想要-
說，誒事件， 事件除了是我們人對實驗結果的一個敘述之外，
我們有沒有什麼方法可以在數學上可以很明確地去界定一個事件？ 是有的。
在機率上，在機率裏面呢我們用數學的方法怎麼來
定義這個，界定一個事件呢？我們就用集合，剛才講過事件其實是一種集合， 來定義一個事件。
怎麼說呢？就說剛才講了你每一個事件都是
一個對實驗結果的敘述嘛，對不對？那你符合這些敘述的呢，有哪些，哪幾個實驗結果？
我們就把符合這個事件的敘述的這些實驗結果所形成的那個集合， 我們就用它來代表這個事件。
因為兩個事情是有它的一個等價性嘛。
好，某個 事件的敘述，然後我們就看說有哪些結果符合你這些敘述，把這些結果
括起來當作一個集合，這個集合就是 跟你這個對應的這個剛才講的這個事件，代表你這個事件，對不對？
所以你告訴我這個事件的敘述跟我直接告訴你說有滿足這個敘述的這個
有哪些實驗結果，是不是等於同一回事？所以事件
在數學上一個等價的表現就是什麼？就是直接把符合事件敘述的那些實驗結果
所形成的集合，直接用它代表這個事件。
所以 事件呢可以看成是，在數學上看成是它是一個結果的集合， 那其實呢它也是一個，因為它如果是
結果的集合，那我們知道，所有的結果的集合那個最大的 宇集是什麼？就是樣本空間。
那你事件是其中幾個結果的集合，那就代表著什麼？ 代表說這個事件呢它也是樣本空間的一個什麼？子集合。
ok？ 好。
我們舉個例子，比如說台大學生 上課的出席狀況。
學生嘛，全世界的學生都一樣，出席的狀況是什麼？有哪幾種可能的結果？ 一個是要麼就是準時，要麼就是遲到，要麼就是曠課，有三種可能的結果。
對不對？好。
那這三種可能的結果，我們來看一下。
那第一個，比如說我們很好奇這個事件，這個事件的敘述 是說學生有出席。
有出席這是個敘述，是人講的話，那我們用數學上怎麼來表示
這個事件呢？那我們就去看說，誒實驗結果裡面有哪些是符合這個敘述的。
準時， 準時有沒有出席？有。
遲到。
遲到雖然可惡，可是他有沒有出席？有。
曠課有沒有出席？誒沒有。
所以這三個結果裏面只有什麼？只有前面兩個有符合這個敘述。
所以呢有出席的這個事件呢我們可以等價地用一個集合來表示，什麼集合呢？就是用這個，
準時跟遲到這兩個實驗結果所形成的集合來表示它。
那同樣的道理，如果說你今天有個事件是 學生沒有規矩，上課沒有規矩。
那上課沒有規矩 這個事件，符合這個敘述的有哪些？你看這三個結果 準時有沒有沒規矩？準時很好阿，很有規矩阿。
那遲到是不是沒有規矩？對阿，遲到沒有規矩。
那曠課是不是沒有規矩？誒曠課沒錯，也是沒有規矩阿對不對？所以三個結果
裏面，符合所謂的"沒規矩"這個敘述的，實驗結果有幾個？ 兩個。
就是遲到跟曠課。
所以這個事件的等價的表示就是說 就是這個：遲到跟曠課。
ok？ 好，我們再舉個例子。
比如說你今天這個丟骰子， 小明丟一個骰子，小華再丟一次骰子，都是公平的骰子。
然後比，他們玩這種比點數的大小，大者呢贏，點數大的贏，這個蠻無聊的遊戲，但是
anyway，比如說他們就是玩這個遊戲。
那我們呢來記錄實驗的結果，我們用第一個數字 代表小明的點數，第二個數字代表小華的點數，我們用這個方式來記錄 實驗的結果。
好，第一個，小明不就是說，誒那你這個如果是個公平的骰子的話那就是 11223344，然後111213141516，然後再6162636465一直到6-
6，總共 36種組合，它們出現的機率都應該相等，都是1/36對不對？那我們看，
誒比如說我們可能想知道說，小明會不會贏？小明贏的這個事件，
小明贏的這個事件到底有多少實驗結果符合這個敘述呢？ 你看也就是，小明會贏的話就是第一個數字一定要比第二個數字大嘛。
所以就有什麼？ 就有(2,1)或者是(3,1)或者是(3,2)，然後之後(4,1),(4,2),(-
4,3), (5,1),(5,2),(5,3)...一直把它列出來。
你把所有的這種 36種組合裏面第一個數字比第二個數字大的這個實驗結果把它放進去。
這個這麼多個實驗結果所形成的這個集合， 我們就用它來代表小明贏這個事件。
所以小明贏這個事件 它就用等價于這個集合。
那小華贏呢？這個事件呢那就很簡單， 其實跟小明也是很類似，只是說變成是後面那個數字要比第一個前面那個數字大。
那你把這個把它列出來，誒就是這個集合哦。
(1,2),(1,3),(2,3)...一直到最後(5,6)。
好。 那如果還有一個事件說，誒那小明和小華平手的事件呢？
那你就把它列出來，那就是什麼？就兩個，如果事件是兩個是平手的話，就表示什麼？
結果不是(1,1)，不然就是(2,2)，不然就是(3,3)，不然就是(4,4)，還- 有這個，這個就是 台灣永遠的天團，(5,5)跟(6,6)。
這個5566在台灣是一個非常紅的天團。
anyway。
好，那這個對於一個實驗而言呢， 這個我們就發現一個問題，誒那你看你看，這個每一個實驗好像就有，裏面有各式各樣的事件-
阿，對不對？ 那對於一個實驗來講，到底究竟有多少個可能的事件呢？
你看剛才這個丟骰子有小明贏的事件、 小華贏的事件、 也有平手的事件，那還有沒有其他的事件？
到底有多少種可能的事件？ 誒這是一個很好的問題。
你做一個實驗到底會不會有可能出現多少種不同的事件？ 好我們先看一個例子。
這個就是比如說，回到剛才台大生上課出席的狀況，它的樣本空間是什麼？
樣本空間就是準時或遲到或曠課，三種可能的結果對不對？那這三個可能的結果會組成多少- 種事件？
這個問題跟我們前面剛才，前面有提過一件事情就是說，事件是什麼？
事件就是結果所形成的集合。
ok？所以我，人家如果問你說那："阿這個實驗會有幾個多少可能的事件？" 其實就等價于在問你說，你從這三個可能的結果
可以組合出多少種可能的集合嘛。
對不對？那你看，有三樣東西給你，問你可以組合出多少可能的集合？一個就是，
要麼就是通通都沒有，一個東西都沒有，這是一個空集合。
或者是說，誒三個裏面呢隨便取一個來， 這個只有一個東西的集合，那就是三個各取一個來，就有三種可能性，對不對？或者是說
這三個裏面呢任取兩個形成一個集合，這也很好，那這樣就有三個取兩個的集合。
還有一個是什麼？就是三個都出現的集合。
對不對？好所以這個呢就是，你看舉例來講，就是 要麼是0個，就是空集合；要麼就是只有一個東西的
集合，那從這三個裏面可以產生出三個這樣的東西，這樣的集合；還有一個是說，誒裏面有兩- 個東西的
集合，那從三個裏面我們可以產生出三取二個這樣的集合，兩樣東西的集合；
還有一個呢就是三樣東西，那三個東西通通都在裏面就只有一種。
所以你看看，三種可能的結果可以組合出 這八個可能的結果。
那這個就是所謂的，這整個東西就是所謂我們所謂的「事件空間」。
你把所有可能的事件，都把它列出來，所形成的這個集合，
就是事件空間，好，那你看哦，這個是什麼，大引號裡面有一堆集合
好，也就是說，事件空間其實它的本質是什麼 它是set of
sets，它是一個由 集合，一些小集合，所形成的一個集合
好，所以集合的集合，ok？ok，好，那這個呢，這個是三個的啊，從三個可以形成出
八個事件，好，八個是2的3次方，那如果你今天做的實驗有n個結果的話，你會形成出多少個
這個事件呢，好，事實上，其實你 會延伸的話，其實沒錯，就是2的n次方個事件
怎麼說呢，我們在這邊把事件空間進行一個比較嚴謹的定義，所以事件空間就是說把你這個實- 驗所有的事件都集合
都把它列進來的這個集合，這就是事件空間，好 那事件空間呢，它其實會有多少個東西呢，其實跟你的樣本空間有關係，你的樣本空間
比如說樣本空間呢，有n個可能的結果，你樣本空間有n個東西，也就是有n個可能的結果
那你的事件空間呢，就像剛才一樣，你就來列啊，由0個東西所組成的集合，就是空集合
那接下來呢，我們來考慮只有1個東西的集合，那就是o1放進來
或o2放進來，或者是o3，好，一直到on，總共有n個 可能，n種只有一個東西的集合
那接下來我們要考慮的是，兩個結果所形成的集合，那就是n取2個，那就是把它全部都- 列出來，
除此之外呢，還有多少種，3個東西所形成的集合，4個東西的集合，一直到最後 n個東西所形成的集合，對不對，好，那你把這些全部都列出來，
所這些集合所形成的大集合，這就是所謂的事件空間
好，那為什麼我們care的事件空間，again，我們前面
最早，前面哈，要跟前面呼應啊，就是說，機率是一個函數 然後我也講過，機率是個函數，這個函數的自變數是什麼，還記不記得自變數是什麼
就是你函數吃什麼東西進去，吃什麼東西進去那就是妳的 自變數，我們講說，某個事件發生的機率是0.6
也就是說，機率函數這個P，好，P這個機率函數，它吃進來的東西是個 事件，機率函數的自變數是事件，ok？
所以呢，我們透過這個函數的，這個，這個，從 這個函數的概念，可以把機率看成是什麼，它是一個映射
好，它是什麼映射，它就是一個從事件空間裡面，你隨便給我一個事件
我呢，這個機率函數就會吐出來一個0到1裡面的一個數字，好，所以它是一個從事件空- 間映射到
0，1這個區間的一個映射，ok，好，所以這個
在數學的符號上來講的話，它就是這個意思，它就是我們這樣寫，就是說
它是從事件空間映射到0，1，好，也就是說P這個東西呢， 這個函數呢，是從事件空間裡面隨便抓一個事件
吃進去，然後它吐出來的是[0，1)這個區間裡面的
任何一個，某一個數字，它是從事件空間映射到[0，1)的一個映射，ok，好
所以這就是為什麼呢，我們非常非常會在意這個，這個，這個集合
因為事件就是一個集合，那你這機率是吃的是事件，也就是它吃的是一個集合，所以這就是為-
什麼我們前面講，我們需要很 在意集合一些性質，好
好，那我們這個呢，最後呢，我們來回顧一下，我們這個禮拜，好，剛才，今天介紹的這些東西
1-1，我們介紹的是什麼，這個機率概論，這個主要我們探討就是說，我們要怎麼樣來理解- 機率等於0.6
的意義，好不好，也就是說，距離等於1.23公尺，這個事情我們能夠很容易理解
時間等於8.2秒，我也很容易理解，但是這個是為什麼我們很容易理解的，因為 它就是對於公尺，對於秒，對於這個度量衡，其實有個很
明確的一個定義，但是機率呢，我們要怎麼來，來理解 機率等於0.6這個事情，好，那老師這邊提供一個方法，就是說我們用幸運之人來
幫助我們，了解說，啊，怎麼樣用這樣一個東西來衡量 好，這個事情發生的機會有多大，ok，好
好，那另外一個呢，1-2，我們複習，我們要做的是什麼，我們就是複習集合論啦，集合論- 啦，好，我們就講到什麼宇集啊，補集啊，差
集啊，交集啊，連集啊，一堆集的，好，集集復集集，好，那這些呢，都是對我們來講都非常- 重要，為什麼，因為
之後我們探討這個機率函數P呢，它吃的東西就是一個集合 好，它吃的東西就是集合，所以我們需要了解自變數的一些性質，好，那這些
集啦，還有不相交，互斥啦，那另外我們有講到De Morgan's Law，那這是集合的一個很重要的一個定理
那特別是我們在這個集合，這個De Morgan's Law證明呢，我們也學到一個手法，就是說
當你要證明，數學上要證明，一個集合等於另外一個集合的時候，你就要用到什麼，你要 用到你中有我，我中有你，這個，這個秘訣
好，這個秘訣，ok？好，那最後1-3呢，就是我們要把這個機率一些重要
的名詞來介紹給大家，就是說實驗，結果，樣本空間，事件，事件空間，這些
都是我們之後會用到的名詞，所以要在這邊特別的跟大家介紹清楚，好，那最重要的是，我們- 要特別跟大家
要讓大家了解的是機率函數的本質，這個我已經講了 很多遍了，但是因為它實在是太重要了，所以一定要在你的腦海中
要烙印一個很深的印象，也就是說，機率函數的本質是什麼 它吃什麼東西進來，它是吃事件進來，所以它是一個事件的函數
它吃事件進來，然後吐回一個數字給你，所以它的本質就是一個
事件的函數，好，那事件，其實剛才講事件等價一個集合，所以機率函數它也是一個
就是一個，它的本質就是一個集合的函數，吃一個集合，吐出一個數字，ok？
好，那，這就是我們這個禮拜的，這個，這個，這個機率的課，好，那希望下個禮拜還能夠
這個同學能夠，還能夠繼續，有恆心的繼續來參加我們的課程，ok？好，好，謝謝大家！
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