【果壳教育无边界字幕组】 听录: @Racoon 时间轴: @sakuraaa 校对: @特立独行的青蛙 好 那我们现在来看“事件” 好 我们现在来介绍一下 概率（机率）上另外一个很常见 很重要的一个名词叫"事件" 也就是英文说的event 什么叫做事件呢？ 事件 通常就是 代表的是我们对实验结果的某种描述 某种叙述 比如说你丢骰子 骰子出来 你说 恩 骰子出来点数是个偶数 诶 这是不是 就是个描述 你对骰子丢出来的结果的一个叙述 对不对 诶 是偶数 就是一种叙述嘛 诶 丢骰子出来结果是个奇数 哦 结果是奇数 这五个字也是一种叙述 对不对 哦 所以所谓的事件 就是你对实验结果的一个某种叙述 那概率呢 我们通常讲说 啊这个概率 平时看到学生讲说 哦 这个学生上课不规矩的概率是0.1 对不对 我们概率通常在讲的就是说 你的实验结果会符合某个这个事件的叙述的机会有多大 比如你说 诶 学生上课不规矩的概率是0.1 那就是说学生上课的这个表现行为这个结果 符合“不规矩”这个叙述的机会有多大 又或者是说你刚才讲说丢骰子 丢骰子是偶数的这个事件的机会有多大 也就是说 你丢出这个骰子的结果 结果可能是1 可能是2 可能是3 可能是4 可能是5 可能是6 这结果里面 你丢出来的结果符合你这个叙述 是偶数 这个事件的叙述机会有多大 OK 哦 所以概率通常在讲 事件 某个叙述 结果会符合这个叙述的概率有多大 那 这个呢 其实也是很抽象 因为这都是人讲的话 所谓的叙述 叙述就是人讲的话 我们在做概率 在探讨概率这个数学呢 我们有的时候 这个对我们来说会很困难 所以我们会想到说 诶事件 事件除了是我们人对实验结果的叙述之外 我们有没有什么方法可以在数学上可以很明确地去界定一个事件 哦 是有的 在概率上 在概率里面 我们就用数学的方法怎么来定义来界定一个事件呢？ 我们就用集合 刚才讲过事件其实是一种集合 来定义一个事件 怎么说呢？刚才讲的 你每一个事件 都是一个对实验结果的叙述嘛 对不对 那你符合这个叙述的 有哪些 哪几个实验结果 我们就把符合这个事件 这个叙述的这些实验结果 所形成的那个集合 我们就用它来代表这个事件 因为这两个它就是有这种等价性嘛 某个事件的叙述 然后我们就看说有哪些结果符合你这叙述 把这些结果括起来当做一个集合 这个集合 就是跟你这个 对应的这个 刚才讲的那个事件 代表了这个事件 对 所以 你告诉我这个事件的叙述 跟我直接告诉你说有满足这个叙述的这个有哪些实验结果 是不是等于同一回事 所以 事件 在数学上一个等价的表现 就是什么 就是直接把符合事件叙述的那些实验结果 所形成的集 的集合 集用它代表这个事件 所以 事件呢 可以看成是 在数学上看成是 它是一个结果的集合 那其实呢 它也是一个 因为它如果是结果的集合 那我们知道 所有的结果的集合 那个最大的全集（宇集）是什么 就是样本空间 那你事件是其中几个结果的集合 那代表是什么？ 代表说 这个事件呢 它也是样本空间的一个什么 子集合 OK？ 好 我们举个例子 比如说 台大学生 上课的出席状况 哦 学生吗 全世界学生都一样 出席的状况是什么 有哪几种可能的结果？ 要么就是准时 要么就是迟到 要么就是旷课 有三种可能的结果 对不对？ 好！那这三种可能的结果 我们来看一下 第一个 比如说我们很好奇这个事件 这个事件的叙述是说“学生有出席” “有出席”这是个叙述 是人讲的话 那我们用数学上怎么来表述这个事件呢？ 那我们就去看说 实验结果里面有哪些是符合这个叙述的 准时 准时有没有出席？有 迟到 迟到是很可恶？可是他有没有出席 有 旷课 有没有出席？ 没有 所以这三个结果里面 只有什么 只有前面两个符合这个叙述 所以呢 “有出席”这个事件呢 我们可以等价地用一个集合来表示 什么集合呢？ 就是用这个 哦 准时跟迟到这两个实验结果所形成的集合来表示它 好 那同样的道理 你有一个事件是 “学生没有规矩” “上课没有规矩” 哦 那“上课没有规矩” 这个事件 符合这个叙述的有哪些？你看 这三个结果 准时有没有没有规矩？诶准时很好啊 很有规矩啊 那迟到是不是没有规矩？诶对迟到没有规矩 那旷课是不是没有规矩？诶旷课没错也是没有规矩 所以三个结果里面符合所谓的“没规矩”这个叙述的实验结果有几个？ 两个 就是迟到和旷课 所以这个事件等价的表示就是这个 迟到跟旷课 好 我们再举个例子 比如说 你今天这个丢骰子 小明丢个骰子 小华再丢一次骰子 都是公平的骰子 那他们玩这种比点数的大小 大者赢 你的点数大就赢 这种蛮无聊的游戏 但是anyway 比如说他们就是玩这个游戏 那我们呢 来记录实验的结果 我们用 第一个数字代表小明的点数 第二个数字代表小华的点数 我们用这种方式来记录实验的结果 好 第一个 可能我们会说 诶你这个不是个公平的骰子吗？ 那就是“(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)...” 然后“(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)” 然后“(6,1),(6,2),(6,3)...(6,6)” 总共36种组合 它们出现的概率都应该相等 都是1/36 好 那我们看 诶 比如说 我们想care说想知道小明会不会赢？ “小明赢”的这个事件 到底有多少实验结果符合这个叙述呢？ 你看也就是小明会赢的话就是第一个数字要比第二个数字大嘛 所以就有什么 就有(2,1) (3,1)或者(3,2) 然后有(4,1) (4,2) (4,3) (5,1) (5,2) (5,3) 好 哒哒哒 一直把它们都列出来 你把所有的这种36个组合里面 第一个数字比第二个数字大的实验结果 这个集合 把它放进去 这个 这么多实验结果所形成的这个集合 我们就用它来代表“小明赢”这个事件 哦 所以“小明赢”的事件 它就用 等价于这个集合 那“小华赢”呢？这个事件呢 很简单 它和小明赢也很类似 只是说变成是后面那个数字要比第一个 前面那个数字大 那你把这个都列出来 诶就是这个集合 (1,2),(1,3),(2,3)哒哒哒一直到最后(5,6) 好 那如果还有一个事件是说“小明小华平手”的事件呢？ 那你就把它列出来 那就是这种 那两个 那如果事件是“两个是平手”的话就表示什么 结果不是(1,1) 不然就是(2,2) 不然就是(3,3) 不然就是(4,4) 还有这个就是 台湾永远的天团 (5,5)跟(6,6)！ 哦 这个5566在台湾是个非常红的天团 啊！anyway... 好 那这个对一个实验而言呢 这个我们就会很奇一个问题 诶你看这个 每一个那个实验里面就有各式各样的事件呐对不对？ 那对于一个实验来讲 到底究竟有多少个可能的事件呢？ 你看刚才这个丢骰子有小明赢的事件 小华赢的事件 平手事件 那还有没有其他事件 到底有多少种可能的事件？ 好 这个是个很好问题 你做一个实验 你到底以后可能有 出现多少种不同的事件 好 我们现在看一个例子 这个就是 大家一起回到台大生上课出席状况 它的样本空间是什么？ 样本空间就是 准时或迟到或旷课 三种可能的结果 对不对 那这3种可能的结果 会组成多少种可能的事件？ 这个问题 和我们前面刚才 前面有提过一个事情 说 事件是什么？ 事件 就是结果所形成的集合 OK？ 所以人家如果问你说 啊那这个实验有几个多少种事件？ 其实就等价于在问你说 你从这三个可能的结果 可以组合出多少种可能的集合 嘛 对不对 那你看 有3样东西给你 你可以组合出多少可能的集合 第一个就是 一个都没有 通通都没有 它是一个空集合 或者是说 三个里面呢随便取一个来 只有一个东西的集合 那就是三个各取一个来 就只有3种可能性 对不对？ 或者说 这三个里面任取两个形成一个集合 这样很好 那这样就有三个取两个的集合 还有一个是什么 就是三个都出现的集合 对不对 所以这个呢 就是 你看 举例来讲 要么就是0个 就是空集合 要么就是只有一个东西的集合 那从这3个东西里面可以产生出3个这样的东西 这样的集合 还有就是 诶 里面有两个东西的集合 那从3个里面 我们可以产生出三取二个这样的集合 两样的东西的集合 还有一个呢 就是3样东西 那3个东西统统在里面就只有一种 你看看 三种可能的结果可以组合出这八个可能的结果 那这整个东西就是我们所谓的“事件空间” 你把所有可能的事件 都把它列出来 所形成的这个集合 这就是“事件空间” 好 你看 这个是说 大引号里面有一堆集合 也就说 “事件空间”它其实 它本质是什么？ 它是set of sets 它是一个由集合 一些小集合形成的集合 所以是“集合的集合” OK？ 好 那这个是3个的 从3个可以形成出8个事件 8刚好是2的3次方 那你做的实验里面有n个结果的话 你会形成出多少个事件呢？ 事实上 你会延伸的话 这个没错 就是2的n次方个事件 怎么说呢 我们把“事件空间”有一个比较严谨的定义 所谓“事件空间”就是把你这个实验所有的事件的集合 都把它列进来的这个集合 这就是“事件空间” 好 那事件空间呢 它其实会有多少个东西呢？其实跟你样本空间有关系 比如说你的样本空间有n个可能的结果 样本空间有n个东西 有n个可能的结果 那你事件空间呢 想想看一样 你就来列啊 有0个东西时组成的集合 就是空集合 那接下来呢 我会考虑只有1个东西的集合 那就O1放进来 或O2放进来 或者O3 一直到On 总共有n个 可能 n种只有一个东西的集合 那接下来我们要考虑的是两个结果时形成的集合 那就是n取二个 好那就把它全部列出来 哦 那之外呢 还有这种3个东西形成的集合 4个形成的集合 一直到哒哒哒n个东西形成的集合 对不对？ 那你把这些全部列出来 这些集合所形成的大集合 这就是所谓的“事件空间” 好 那为什么care事件空间？ again 我们刚才前面最早 也要跟前面呼应 就是说 概率是个函数 我也讲过概率是个函数 那这个函数的自变量（自变量）是什么？还记不记得自变量是什么？ 还记不记得 这个函数吃什么东西进去 吃什么东西进去那就是你的自变量 我们讲说 诶某个事件发生的概率是0.6 也就是说 概率函数这个P(x) 这个概率函数 它吃进来的东西是个什么？事件 概率函数的自变量是 事件 OK？ 所以呢 我们从函数这个概念 可以把概率看成是什么？ 它是一个映射 哦 它是一种映射 它就是一个 从事件空间里面 你随便给我一个事件 我呢这个概率函数 就会吐出来一个[0,1）里面的一个数字 好所以它是一个从“事件空间”映射到[0,1]这个区间的一个映射OK？ 所以在数学的符号上来讲哦 它就是这个意思 我们这样写 就是说 它是从“事件空间”映射到[0,1） 也就是说P(x)这个东西呢 这个函数 是从事件空间里面随便抓一个事件 吃进去 然后它吐出来的是[0,1]这个区间里面的某一个数字 它是从“事件空间”映射到[0,1）的一个映射 OK？ 好 这就是为什么呢 我们会非常非常会在意 这个集合 因为事件就是这个集合 然后你这个概率还是吃的是事件 也就是它吃的是集合 这就是为什么我刚才前面讲 我们需要很在意集合的一些性质 好 我们这个呢 最后我们来回顾这个礼拜 刚才今天介绍的这些东西 好 1-1我们介绍的什么？这个概率概论 最主要我们探讨的就是说 我们要怎么来理解概率等于0.6的意义？ 诶 距离等于1.23公尺 这个事情我们能够很容易理解 时间等于8.2秒会很容易理解 但是 这个事为什么我们会很容易理解？ 因为它就是对于公尺 对于秒 对于这个度量衡就是一个很明确的定义 但是概率呢？我们要怎么来理解概率等于0.6这个事情？ 好 这边 老师这边提供一个方法 就是我们用幸运之轮 来帮助我们来了解说： 啊 怎么用这样一个东西来衡量 这个事情发生的机会有多大 那另外一个1-2我们复习什么 我们就复习集合论 啊 集合论 好 我们就讲到什么全集啊 补集啊 差集啊 交集啊 并集啊 一堆集“集集复集集” 那这些呢对我们来讲都是非常重要 为什么？ 因为 之后我们探讨这个概率函数P(x)呢 它吃的东西就是这个集合 所以我们需要了解自变量的一些性质 那这个 这些集啊 不相交 还有互斥 那里我们有讲到De Morgan's Law 那这是一个 集合的一个 很重要一个的定理 那特别是我们在这个集合的这个De Morgan's Law的证明呢也学到一个手法 就是当你要证明 数学上当你要证明 一个集合等于另一个集合时候 你就要用到什么？ 要用到“你中有我 我中有你”这个秘诀 OK？ 好 那最后1-3 就是我们把这个概率最重要的名词介绍给大家 就是说 实验、结果、样本空间、事件、事件空间 这些都是我们之后会用到的名词 所以要在这边特别先给大家介绍清楚 哦 那最重要的是 有特别要让大家了解的是 概率函数的本质 这个我已经讲了很多遍了 好 但是它因为太重要了 所以一定要在你脑海中烙印一个很深的印象 就是概率函数的本质是什么？ 它吃什么东西进来？它是吃事件进来 它是个事件的函数 它吃事件进来 然后吐回一个数字给你 所以它的本质就是 一个事件的函数 那事件 刚才讲 事件等价于一个集合 所以概率函数 它也是一个 它的本质就是一个集合的函数 哦 吃一个集合 吐出一个数字 OK？ 好 那这就是我们这个礼拜的这个概率的课 那希望下个礼拜 各位同学还能够继续有恒心地继续来参加我们的课程 OK？ 好 谢谢大家 【果壳教育无边界字幕组】 听录: @Racoon 时间轴: @sakuraaa 校对: @特立独行的青蛙
