Здравствуйте, уважаемые коллеги, уважаемые друзья! Мы продолжаем наш курс, курс квантовой механики. И сегодня мы свами продолжим наше исследование трехмерных задач движения частицы в центральном поле. И сегодня мы рассмотрим уже конкретную задачу, не общую классификацию, которую мы рассматривали с вами на предыдущих лекциях, а мы рассмотрим конкретную задачу, задачу о движении электрона в атоме водорода, задачу, которая, фактически, для квантовой механики стала тем же пробным камнем, как задача о движении планет Солнечной системы стала пробным камнем для законов механики, для законов всемирного тяготения. Итак, электрон в атоме водорода. Фактически, это потенциальная энергия. Протон — ядро, электрон на орбите, то есть минус е-квадрат на r потенциальной энергии. И мы должны найти собственные значения, собственные функции оператора Гамильтона. Конечно, мы точно также будем решать три уравнения — систему уравнений на собственные значения гамильтониана, квадрата проекции момента проекции момента. То есть искать решение в виде радиальной функции умножить на сферическую. Для радиальной функции хи мы получаем с вами вот такое дифференциальное уравнение, которое кроме этого является еще и уравнением на собственные значения. Число Е нам не известно, и мы также, как и в одномерных задачах ищем его из условия существования хороших решений. Итак, вот такое уравнение. Конечно, как мы уже говорили об этом, оно будет разным для разных моментов, поскольку разная амплитуда у центробежной добавки к потенциалу. Коллеги, это уравнение достаточно сложное, поэтому давайте-ка мы аккуратно с ним поработаем, и первый шаг, который мы сделаем в его решении… так часто делают в достаточно сложных задачах, что бы не запутаться с размерными буквами, его обезразмеривают. Итак, давайте-ка мы введем безразмерный параметр и обезразмерим все длины, безразмерный параметр длины. И обезразмерим все длины. Понятно, что все размерные величины должны выражаться через три размерных буквы, которые входят в наше уравнение. А в нашем уравнении, уравнении Шредингера, есть три размерных величины: масса электрона, заряд электрона и постоянная Планка. Вот больше ничего нет. Значит, через эти три размерных параметра должны выражаться длины, энергии, импульсы, характерные значения для всех этих величин. Можем доказать… это очень простая задача, очень простое вычисление… что величина, имеющая размерность длины выражается через такую комбинацию размерных букв: аш-квадрат разделить на n-e-квадрат. Эта величина называется боровским радиусом атома. Понятно, что все характерные длины должны выражаться через этот самый боровский радиус. Так вот, если мы обезразмерим наше уравнение, обезразмерим все длины, конечно, сделаем, фактически, такую замену: r-штрих, r разделить на боровский радиус. Штрих, я конечно, дальше писать не буду, потому что где-то и забуду, формулы получатся какие-то совсем уж громоздкие. Итак, здесь вот, начиная с этого места, r — это безразмерная координата, то есть отношение размерной координаты к боровскому радиусу. А вот кси-квадрат здесь… я ввел обозначение… это, фактически, безразмерная энергия. Настоящая энергия электрона в атоме водорода разделить на параметр энергии, который мы легка с вами сообразим, как устроен: е-квадрат (квадрат заряда) на боровский радиус — это величина, имеющая размерность энергии. Итак, в результате у нас получилось вот такое уравнение, где r — безразмерная координата электрона, а кси-квадрат — безразмерная энергия. При этом, цель наша сейчас будет — это поиск дискретных собственных значений, то есть в состоянии с отрицательными энергиями. Поэтому параметр кси-квадрат должен быть для этих отрицательных энергий, дискретных состояний, должен быть положительным. Поэтому кси-квадрат я его и обозначил. Поверьте, коллеги, не я первый так обозначил его. Все стандартные обозначения, если вы залезете в любой учебник по квантовой механике, там это уравнение также и будет написано. Итак, мы должны решить вот такое дифференциальное уравнение: r — безразмерная координата, кси-квадрат — безразмерное собственное значение. Причем, цель наша сейчас — отрицательные энергии или положительный кси-квадрат. То есть мы с вами решаем это уравнение для кси-квадрат любых положительных значений, а потом проводим исследование, при каких кси-квадрат существует конечное решение этого уравнения, те кси-квадрат, а соответственно энергии вот по той формуле, которая написана за моей спиной, это и будут собственные значения. Дальше. Уравнение по-прежнему сложное, поэтому в несколько шагов подойдем к его решению. Первый шаг будет такой: давайте исследуем поведение решений на асимптотиках, то есть как будет выглядеть решение при r, стремящемся к нулю, как будет выглядеть решение при r, стремящемся к бесконечности. Коллеги, смотрите, при r, стремящемся к нулю, мы с вами должны оставить ту функцию, которая максимально расходится при малых r, а это центробежная добавочка. А вот при r, стремящемся к бесконечности мы должны оставить в скобке только кси-квадрат. Поэтому получатся вот такие дифференциальные уравнения на асимптотиках при r, стремящемся к нулю и при r, стремящемся к бесконечности. Здесь пока на этом слайде вы видите только ту асимптотику уравнения, которая при малых r, при r, стремящихся к нулю. Коллеги, легко сообразить, что для такого дифференциального уравнения решением является степенная функция, поскольку, смотрите, у нас две производных. Вторая производная убирает две степени r, если мы говорим про степенную функцию. И единица на r-квадрат убирает две степени r. Поэтому в степенном виде мы решение найдем и можно доказать, что вот такие две функции r в степени эль плюс один и r в степени минус эль являются решениями вот этого уравнения асимптотического при малых r. Но нам нужна функция в ноль обращающаяся, не расходящаяся. Поэтому мы, конечно, мы выбрасываем второе решение — r в степени минус эль — и заключаем, что хорошее решение при малых r ведет себя как r в степени эль плюс один, где эль — момент. На больших расстояниях. Вот наше дифференциальное уравнение на асимптотики. Конечно, тоже очень простое уравнение, растущая и затухающая экспонента, и конечно, мы оставляем затухающую. Растущую выбрасываем. Нам нужны хорошие решения. Дальше, подставляем… и дальше делаем… одно такое преобразование. Мы с ним сталкивались с вами, когда рассматривали одномерный гармонический осциллятор. А давайте-ка искать с вами решение нашего уравнения в таком виде: одна асимптотика при малых r, вторая асимптотика на больших r, умножить на некоторую неизвестную функцию, которую я обозначил u от r. И вот здесь на самой верхней строчке на этом слайде фактически написан переход от функции хи к функции u. В чем идея такого перехода? Смотрите, из нашего решения мы исключили самые резкие зависимости — в нуле и на бесконечности. И значит, есть надежда, что для функции u получится… функция u должна быть более главной, и для нее получится более простое уравнение. Подставляем такое выражение в наше уравнение для функции хи и получаем дифференциальное уравнение для функции u. Знаете, вычисления, конечно, очень громоздкие. Я вот даже студентам своим разрешаю на экзамены приносить шпаргалки. Вот можно запутаться при вычислении соответствующих производных, а тут нужно до второй дойти, поэтому вот такого рода вычисления разрешаю подсматривать, потому что нет задачи, когда мы изучаем квантовую механику, проверять умение дифференцировать. Хотя, конечно, дифференцировать нужно уметь. Итак, ищем решение этого уравнения в виде степенного ряда. Подставляем степенной ряд в уравнение, и получается вот такое уравнение, куда входит наш степенной ряд. Коллеги, обратите внимание, здесь во всех слагаемых суммирование начинается с n, равное нулю. Хотя, в первом ряду мы можем написать его от нуля, от единицы и от двойки, поскольку все равно первые два члена ряда n и n минус один дадут нам ноль. Второй ряд. Мы можем начать суммирование с n, равного нулю, или с n — единица. Поэтому сделаем так. Я в первом ряду начну суммирование с единички. И в первом, и втором ряду начну суммирование с единицы, и сдвину индекс суммирования на один так, чтобы во всех четырех слагаемых: и в первом, и во втором, и в третьем, и в четвертом… вот эту формулу вы видите за моей спиной… мы получили суммирование по одному… по одной и той же степени n. Коллеги, конечно, вы понимаете, мы уже говорили с вами об этом, что какие-то формулы я до буковки не расшифровываю здесь. Бессмысленно всю ее зачитывать всю, когда вы можете посмотреть ее на экране. И кроме того, помните, что на платформе есть конспекты лекций с подробными выводами. Вы можете взять бумагу, ручку и все эти выводы повторить. Итак, в результате мы получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов. Вот собирая слагаемые одной степени r и требуя, чтобы каждое из них равнялось нулю, мы получаем вот такое соотношение для коэффициентов ряда, которое мы, конечно, должны назвать рекуррентным, поскольку это через Cn определяется С(n + 1), через С(n + 1) определяется С(n + 2) и так далее. Итак, получается вот такое рекуррентное соотношение для коэффициентов нашего ряда. Причем, смотрите, в отличие от того, что было у нас для гармонического осциллятора, для сферических функций, это рекуррентное соотношение связывает коэффициенты не через один, как было в тех задачах, а соседние, через энные находим эн-плюс-первые. Это значит, что свободными здесь остаются не два коэффициента, как было в тех задачах, а только один. Для С0 у нас нет никакого условия. С0 может быть любым. Через С0 мы находим С1. Через С1 мы находим С2, С3 и так далее. Коллеги, а почему один-то только? Ведь казалось бы, мы решали уравнение второго порядка, должны быть две производных постоянных. И вот в тех задачах мы так радовались пониманию, что да, как понимали, так он и получилось. А вот здесь-то уравнение второго порядка, произвольная постоянна одна, почему так? Ребята, на самом деле, конечно, тоже есть причина. Дело в том, что вот такое решение… дело в том, что у нуле у нас есть два решения: одно хорошее, а другое расходящееся. И понятно, что расходящееся решение (в нуле) степенным рядом не… при r… степенным рядом не ищется. Это значит, что мы не общее решение получили, но мы получили то решение, которое хорошо ведет себя в нуле. Итак, вот наше рекуррентное соотношение. Конечно, оно зависит от кси, то есть от энергии. В это рекуррентное соотношение, кроме того, входит момент. Значит, оно будет разным, и определять разные решения для разных эль. Коллеги, ну а что же за функция? Оно громоздкое, это рекуррентное соотношение. Как понять, что это за функция? Вот мы делали в предыдущих задачах с вами для осциллятора и для сферических функций так: мы уходили на асимптотику, на асимптотику уже по индексу, упрощали уже рекуррентное соотношение, пытались понять, а к какой же функции оно сводится. Итак, при больших индексах наше рекуррентное соотношение становится вот таким, и вы видите сейчас его за моей спиной. А вот это — очень простое рекуррентное соотношение. Оно характерно для экспоненты: е-в-степени два кси-эр. И это означает, что наше рекуррентное соотношение определяет расходящуюся функцию, причем даже с учетом того множителя, расходящуюся на бесконечности. Причем, даже с учетом того множителя, который мы выделили из решения е-в-степени минус кси-эр. Таким образом, вроде бы мы решение нашли, но оно расходится на бесконечности обязательно при всех значениях и эль, и кси. Коллеги, а при всех ли значениях кси? Давайте я сейчас верну рекуррентное соотношение, и мы на него с вами еще разочек внимательно посмотрим. Не при всех Смотрите, возможна ситуация, когда на каком-то шаге мы наткнемся с вами на точный ноль. Вот если какой-то из коэффициентов будет строго равен нулю, то все остальные коэффициенты будут нулями. Ведь мы через цэ-энное определяем эн-плюс-первое, через эн-плюс-первое — эн второе, через эн-плюс-второе — эн-плюс-третье. И все остальные коэффициенты будут нулями. Ряд наш перестанет быть рядом. Ряд наш станет многочленом, который, конечно, расходится на бесконечности, но с учетом множителя е-в-степени минус-кси-эр, который мы выделили из нашего решения, мы получим хорошую затухающую функцию. А это значит, что единственная возможность получить хорошее решение — это оборвать степенной ряд. Когда же он обрывается? А степенной ряд у нас обрывается… давайте-ка, коллеги, я открою сейчас другой слайд… а степенной ряд у нас обрывается, если параметр кси есть единица… кси-квадрат!... есть единица плюс эль, плюс один. А этом значит, параметр кси — это безразмерная энергия. Значит, фактически, мы получили условие на энергии или, другими словами, мы получили уровни энергии электрона в поле ядра. И вот эти собственные энергии, вы их сейчас видите на экране. Конечно, они зависят от двух квантовых чисел: от n и l. Причем, коллеги, я обращаю ваше внимание, что число n имеет смысл радиального квантового числа. Ведь при увеличении n у нас будет расти энергия, а ведь nr это и было определено нами именно так, это и было такое квантовое число, которое нумерует энергии в порядке их возрастания. Коллеги, итак, вот мы получили собственные значения, а функции u для каждого такого собственного значения — это многочлены, причем многочлены, которые известны были в математике, и введены они были задолго до создания квантовой механики, называются полиномами Лагерра. Коллеги, как найти эти полиномы Лагерра? Вы сможете… давайте я даже не буду сейчас подробно об этом рассказывать, но из рекуррентного соотношения. Нужно брать соответствующее число кси, подставлять рекуррентное соотношение, находить то место, где обрывается степенной ряд, вот, например, для l, равного нулю, ряд полиномов я нашел: нулевой полином — это единица, полином первой степени — единица минус r-пополам, полином второй степени (для l, равного нулю) — единица минус два r на три, плюс… я подсматриваю, а вы можете посмотреть туда… плюс два r-квадрат на семь и так далее. То есть фактически, из нашего рекуррентного соотношения мы можем все полиномы найти. Вот здесь такой же слайд для момента единица, для момента двойка и так далее. Коллеги, и еще одна очень важная вещь. Давайте-ка посмотрим на формулу для энергии. Смотрите, мы здесь видим с вами вырождение. Ведь энергия определяется суммой l плюс nr плюс один, а это значит, что если мы берем разные l и разные nr, но так, что сумма такая же, то энергия одинаковая. А это значит, что энергии… что у нас есть случайное вырождение, вырождение состояний с разными квантовыми числами… с разными моментами. Причем, какое оно для состояний, например, с моментом l… Коллеги, давайте, может быть знаете как мы с вами сейчас поступим… Я вижу, что я немножечко не успеваю договорить то, что я хочу сказать. Давайте, мы с вами формулу вот эту, формулу для собственных энергий запомним, но вот а на следующей лекции мы с вами подробно это вырождение рассмотрим, построим картинку, картинку вот с этими энергетическими осями для разных моментов, разглядим вырождение и разглядим случайное вырождение и подсчитаем вот эти самые кратности вырождения. Ну а ключевые места мы с вами уже сделали. Наши энергии выражаются той формулой, которая была на экране. Собственные функции — полиномы Лаггера с двумя асимптотиками при малых r, при больших r и сферическая функция. Вот так устроены все собственные функции нашей задачи. И коллеги, еще одна очень важная вещь. Для разных уровней энергии экспонента зависит от одного и того же параметра кси. То есть смотрите, у нас есть уровни энергии с одним параметром энергии кси. У всех у них одинаковые затухания. Они затухают либо на боровском радиусе, либо на двух боровских радиусах, либо на трех. Давайте, мы сейчас эту лекцию закончим, а на следующей я более подробно расскажу и об этой, и о других особенностях того, что мы с вами получили. Ну а на сегодня все. До свидания!
