Introduction à l'optique non-linéaire, qui correspond au régime d'interaction laser-matière que l'on peut explorer à l'aide de lasers intenses, comme par exemple les lasers femtosecondes.
Transformée de Fourier d'une Gaussienne
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From the course by École Polytechnique
Optique non-linéaire
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From the lesson
Transformation de Fourier
On introduira successivement les séries et les transformées de Fourier. L’analyse de Fourier d’un signal sonore nous permettra d’illustrer un certain nombre de propriétés utiles comme par exemple la relation entre largeur temporelle et largeur spectrale, qui sera approfondie en TD. On introduira également des notions importantes comme le retard de groupe et la dérive de fréquence. Enfin, la transformée de Fourier discrète permettra d’illustrer ces notions de manière numérique.
Meet the Instructors
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Département de Physique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
Physics
Bonjour.
Dans cette vidéo, nous allons corriger l'exercice de TD sur la
Transformée de Fourier d'une Gaussienne.
Vous avez pu télécharger l’énoncé du TD sur le site du cours, et je vous
rappelle ici uniquement l'énoncé avant de commencer directement la correction.
On considère donc une fonction Gaussienne définie par l'équation f de t égal à
a exponentielle moins t deux sur deux tau deux où a et
tau sont des constantes caractéristiques de la Gaussienne.
Tau, vous le voyez sur cette équation, a la même unité que le temps,
et c'est un temps caractéristique de la Gaussienne dont on va
discuter l'influence dans ce TD.
On considère ensuite la Transformée de Fourier inverse de la Gaussienne f
de oméga définie comme dans le cours, et l'objectif de ce TD
est de calculer cette fonction f de oméga et de la comparer à la fonction f de t.
On passe donc à la première question de ce TD qui vous demande de tracer la courbe
représentative de f de t avec Scilab pour différentes valeurs du paramètre tau et
une valeur de constante a qu'on choisit arbitrairement égale à un, puis ensuite on
vous demande d'établir l'équation différentielle que satisfait f de t.
Pour ce faire,
on va utiliser le programme Scilab que vous avez pu télécharger conformément aux
instructions que Manuel vous a données dans la vidéo cette semaine.
Donc pour ça, on ouvre une première fenêtre de figures avec la
commande s c f de un qui vous ouvre une première fenêtre et dans laquelle on va
afficher les différents graphes qu'on va tracer successivement.
On définit tout d'abord le temps t qu'on prend entre
moins dix et dix avec un pas de zéro virgule zéro un,
et on définit tout d'abord tau un qu'on prend ici par exemple égal à un,
et on définit la Gaussienne un qui est notre première Gaussienne avec la valeur
a égal à un qui est le premier facteur et puis le facteur de l'exponentielle,
exponentielle moins t au carré sur deux fois tau un au carré,
et une fois que vous avez défini votre Gaussienne un,
vous pouvez la tracer avec la commande plot, plot de t et de Gaussienne un.
Et vous avez votre première Gaussienne qui s'affiche en bleu.
On peut faire exactement la même chose avec une deuxième valeur de tau,
et cette fois ci, on peut prendre tau deux qui vaut deux virgule cinq par exemple et
on définit la Gaussienne deux comme étant la Gaussienne de paramètre a égal
à un toujours, mais par contre on prend tau deux égal à deux virgule cinq,
et puis on la trace sur le même graphe.
Donc là, vous voyez que je l'ai tracée en bleu,
mais si vous voulez la tracer en rouge vous remettez la même commande
et vous ajoutez le r ici pour red et votre Gaussienne cette fois s'affiche en rouge.
Et puis on peut faire la même chose évidemment avec tau trois qui vaut
quatre par exemple, quand vous la tracez vous obtenez cette troisième courbe tracée
en vert, et ce que vous voyez c'est, quand on augmente la valeur du paramètre tau,
et bien l'écart à mi-hauteur de toutes vos Gaussiennes augmente,
et c'est ça qu'on va voir dans ce TD.
Donc ensuite on va établir l'équation différentielle du premier ordre vérifiée
par f, et pour ça il suffit de dériver l'équation qui définit f.
Donc on a f de t qui s'écrit a exponentielle
moins t deux sur deux tau deux, et quand vous dérivez cette expression,
vous obtenez directement l'expression de d f sur
d t qui vaut a, on dérive le facteur dans l'exponentielle,
ça fait moins deux t sur deux tau deux
exponentielle moins t deux sur deux tau deux et ça,
vous voyez que c'est directement moins t sur tau deux f de t.
Si bien que vous obtenez l'équation différentielle vérifiée
par f du premier ordre qui est d f sur d t plus t sur tau
deux f de t égal à zéro.
Donc ça, c'est l'équation différentielle du premier ordre vérifiée par f.
Vous voyez que c'est une équation différentielle à coefficient non-constant
et on va la résoudre à l'aide la Transformée de Fourier.
Je passe maintenant à la question numéro
deux de ce TD qui est d'établir l'équation différentielle vérifiée par f de oméga.
Pour établir l'équation différentielle vérifiée par f de oméga,
on va partir de l'équation différentielle vérifiée par f de t et on va
dériver une équation différentielle qui est vérifiée par f de oméga.
Mais pour ce faire,
il faut que vous utilisiez les formules du cours qui relient la Transformée de
Fourier d'une fonction à la Transformée de Fourier de la dérivée de cette fonction.
Et je vous rappelle ici les formules que vous avez pu voir dans le cours cette
semaine donc qui est que, si vous avez f
de t qui est relié par Transformée de Fourier à f de oméga,
et bien la dérivée de f par rapport à t, elle,
elle est reliée par Transformée de Fourier à moins i oméga
f de oméga et vous avez aussi la deuxième relation qu'on va utiliser qui
est que la dérivée de la Transformée de Fourier par rapport à oméga,
et bien elle, elle est reliée à i t f de t.
Et donc on va utiliser ces formules, les deux dernières formules utilisées en
rouge, pour trouver l'équation différentielle vérifiée par f de oméga.
Donc ici vous voyez que ce premier terme d f sur d t, quand on prend la Transformée
de Fourier, on obtient directement moins i oméga f de oméga
et puis après vous avez ce deuxième terme ici en t sur tau deux f de t,
et si on le multiplie en haut et en bas par le facteur i, comme ceci,
et bien vous voyez qu'on a fait apparaître exactement ici le facteur
i t f de t qu'on avait ici, et qui vous donne que ce terme-là il
est exactement relié par Transformée de Fourier à d f sur d oméga.
Et évidemment il ne faut pas oublier le facteur en un sur i tau deux et quand
vous avez écrit tout ça, vous obtenez cette équation différentielle et
donc quand vous simplifiez cette équation différentielle vérifiée par f de oméga,
vous obtenez d f sur d oméga plus
oméga tau deux f de oméga égal à zéro.
Et donc vous obtenez cette équation différentielle vérifiée par f
de oméga et ce qu'il est intéressant de remarquer, c'est que
quand vous comparez les deux équations différentielles que j'ai encadrées sur la
feuille donc celle vérifiée par f de t et celle vérifiée par f de oméga, et
bien ces deux équations sont formellement identiques, c'est-à-dire que vous avez
tout d'abord le terme en d f sur d t ou d f sur d oméga plus un terme où vous
avez la variable t ou oméga qui multiplie la fonction, et puis vous avez ce terme en
un sur tau deux ou sur tau deux qu'on peut discuter et en particulier, vous voyez que
le fait que tau deux soit au dénominateur ici du facteur t dans l'équation
différentielle vérifiée par f de t alors que ici il est au numérateur,
et bien cela vous indique que le comportement de f de t et de f
de oméga sera inversé quand on discutera de l'influence du paramètre tau.
Et en particulier dans la première question on a vu que quand on augmente la
valeur du paramètre tau et bien la fonction f de t s'élargit, et donc on
peut anticiper d'ores et déjà que quand on va augmenter la valeur du paramètre tau,
et bien la fonction f de oméga va, elle,
se rétrécir et être de plus en plus piquée autour de la valeur oméga égale à zéro.
C'est ce qu'on va démontrer maintenant en résolvant l'équation différentielle
vérifiée par f de oméga.
On passe maintenant à la correction de la question numéro trois de ce TD qui est de
résoudre l'équation différentielle vérifiée par f de oméga.
Pour résoudre l'équation différentielle vérifiée par f de oméga, nous allons
utiliser le fait que, quand vous avez une équation différentielle du premier ordre,
la solution est unique pour une condition initiale donnée, et en particulier on
a vu que f de oméga satisfait la même équation différentielle que f de t,
à la différence que le facteur tau deux passe au numérateur et non pas au
dénominateur, et donc vous pouvez directement écrire que f de oméga s'écrit
sous la forme f de oméga égal à zéro fois le facteur de l'exponentielle
exponentielle moins oméga deux tau
deux sur deux et vous voyez que là j'ai utilisé le fait que,
dans l'équation différentielle de f de oméga,
tau deux est au numérateur et non pas au dénominateur du facteur de f de oméga.
Et donc en réalité, la résolution de l'équation différentielle vérifiée par
f de oméga consiste à trouver la valeur de la constante f en oméga égal à zéro.
et donc pour trouver la valeur de la constante f de oméga est égal à zéro,
on peut retourner à la définition de f de oméga et f de oméga est égal à zéro.
Donc c'est simplement l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini
de f de t, exponentielle i oméga t, d t.
Cette valeur doit être prise entre oméga égal à zéro,
le terme dans l'exponentielle ici est nul, et donc cette exponentielle, ici,
est égale à un, si bien que vous voyez que f de oméga égal à zéro est égal à
l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de f de t, d t.
Et donc pour trouver la valeur de f de oméga est égal à zéro,
il suffit de savoir calculer cette intégrale-là,
qui est l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de f de t, d t.
Et donc pour ça, si on réécrit la valeur de cette intégrale-là f de oméga égal
à zéro, c'est donc l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de a,
exponentielle moins t deux, sur deux tau deux, d t.
Et pour calculer cette intégrale-là,
vous voyez que c'est une intégrale qui est assez proche de l'intégrale de
Gauss dont on vous a donné la valeur dans l'énoncé du TD.
Mais avant d'utiliser l'intégrale de Gauss,
on va faire un changement de variable.
On va poser u qui vaut t sur racine deux de tau.
Si bien que vous avez, u deux,
qui vaut exactement t deux sur deux tau deux, et donc ça,
ça va nous permettre de remplacer directement le facteur que vous avez ici,
en, moins t deux, sur deux taux deux par moins u deux ; et puis attention,
quand on fait le changement de variable, il ne faut pas oublier que on
doit remplacer l'élément différentiel d t, par ce qu'il vaut.
Et là en particulier d u, vaut d t sur racine de deux, tau.
Et donc au final quand vous faites votre changement de
variable vous obtenez que f en oméga égal à zéro c'est a,
fois racine deux de tau fois l'intégrale de moins
l'infini à plus l'infini de exponentielle moins u deux d u.
Et ça, ici c'est exactement maintenant la valeur de l'intégrale de Gauss,
et c'est exactement égal à racine de Pi.
Si bien que, quand vous mettez tout ça ensemble, vous obtenez la valeur de f de
oméga, qui vaut a, fois racine deux de Pi,
tau, exponentielle moins oméga deux, tau deux, sur deux.
Et donc ça, c'est la valeur de f de oméga,
pour les fonctions f de t qu'on a considérées au début de ce TD.
Je passe dorénavant à la résolution de la question numéro quatre de ce TD
qui vous demande de tracer la courbe représentative de f de oméga, pour
différentes valeurs du paramètre tau, mais toujours pour la valeur : a, égal à un.
Donc pour ce faire on va encore utiliser le programme Scilab.
Quand vous ouvrez le programme Scilab, cette-fois il faut ouvrir une deuxième
figure et donc on va ouvrir une deuxième figure avec la commande s c f de deux,
qui vous ouvre cette deuxième figure qui va vous permettre de
comparer les résultats qu'on a obtenus pour f de t et pour f de oméga.
On définit oméga de la même manière qu'on avait défini le temps.
On va prendre toujours oméga qui vaut de moins dix à dix, et puis
on définit les fonctions t f de gaussienne
qui vaut cette fois, a qui est toujours égal à un,
le facteur racine deux de Pi, la fonction racine s'écrit avec
la fonction s.q.r.t, de deux, fois la constante PI, comme toutes les
autres constantes dans Scilab s'écrit à l'aide du facteur pour-cent.
Donc vous avez s.q.r.t de deux Pi, vous multipliéz par Tau un,
et puis vous gardez votre exponentielle qui vaut exponentielle moins oméga deux,
fois tau un au carré sur deux.
Et puis vous tracez cette fonction plot de oméga
t f de gaussienne un.
Et vous avez votre première transformée de Fourrier qui s'affiche.
On peut faire exactement la même chose pour les fonctions t f de gausienne deux.
Là par contre on remplace les constantes tau par leurs valeurs.
Donc on la trace directement en rouge,
et vous avez cette deuxième transformée de Fourrier qui s'affiche.
Et puis on fait la même chose avec tau trois, qui est la transformée de Fourier
de f de t, cette fois-ci c'était pour une valeur de tau, qui vaut quatre.
Et puis on la trace en vert.
Et vous avez cette troisième transformée de Fourier qui s'affiche.
Plusieurs remarques qu'on peut faire quand on compare, ici à droite les fonctions
f de t, et ici à gauche les fonctions f de oméga, la première c'est que,
contrairement aux fonctions f de t qui valaient toutes un quand t égal à zéro
maintenant à cause du facteur racine de deux Pi tau et bien vous voyez que
vos transformées de Fourier n'ont plus la même valeur quand oméga est égal à zéro.
Et la deuxième remarque qu'on peut faire c'est que, alors que,
pour les fonctions f de t, quand on augmentait la valeur du paramètre tau nos
fonctions s'élargissaient, les fonctions f de oméga, et c'est l'idée de ce TD,
vous remarquez bien que les courbes, entre la courbe bleue, la courbe rouge et la
courbe verte, les courbes sont des plus en plus piquées autour de oméga égal à zéro,
et cela confirme ce qu'on a dit au vu de l'équation différentielle.
Je passe maintenant à la correction de la question numéro cinq de ce TD qui vous
demande tout d'abord de choisir la valeur de la constante a, pour satisfaire une
condition de normalisation sur f de t au carré, et puis qui vous demande de
calculer ensuite la valeur du produit delta-oméga delta t qui est la valeur du
produit temps-fréquence dont vous avez eu certains exemples dans les vidéos cette
semaine avec des signaux sonores et on va démontrer en particulier une propriété
très importante des fonctions gaussiennes : on va démontrer que la valeur du
produit delta-oméga delta t vaut un-demi dans le cas de fonctions gaussiennes.
On vous demande tout d'abord de trouver la valeur de la constante a,
pour satisfaire la condition : l'intégrale de moins l'infini à
plus l'infini de f de t au carré d-t, qui doit être égal à un.
Donc vous pouvez faire le calcul, mais c'est un calcul qu'on a déjà fait et
le résultat de ce calcul c'est quasiment le même changement de variable que ce
qu'on a fait à la question précédente, il va vous donner directement que : a deux,
fois racine de Pi-tau doit être égal à un.
Cela vous donne la valeur de la constante a,
que vous devez choisir pour satisfaire cette condition de normalisation.
Et on va même voir à la fin de cette question, que la valeur de a deux n'est
pas très importante, la seule condition qu'on va utiliser c'est que l'intégrale de
moins l'infini à plus l'infini de f de t au carré d t doit être égale à un.
On va maintenant pouvoir calculer la valeur du produit delta-oméga delta t,
et on va commencer par calculer la valeur de delta t.
Donc par définition delta t au carré est égal à la différence
entre la valeur moyenne de t deux et la valeur moyenne de t au carré.
Donc dans cette expression, on s'intéresse tout d'abord à la valeur moyenne de
t au carré, et vous avez vu graphiquement que la valeur moyenne de t qui
correspond en l’occurrence au maximum de nos fonctions gaussiennes, et bien c'est,
étant t égal à zéro.
Et cela vous permet de simplifier ce terme-là.
Parce que la valeur moyenne de t pour toutes nos fonctions gaussiennes est
bien nulle.
Et donc on est ramené uniquement au calcul de la valeur moyenne de t deux,
par définition cette valeur moyenne c'est l'intégrale de moins l'infini à
plus l'infini de t deux, f de t au carré d
t et cela vient du fait que f de t au carré, que vous avez ici,
est votre densité de probabilité, qu'on a considérée dans cette question.
Et donc quand vous réécrivez tous ces termes-là vous obtenez l'intégrale de
moins l'infini à plus l'infini de t deux, a deux,
fois exponentielle moins t deux sur tau deux, d t.
Et donc pour calculer cette intégrale ici, on va faire une intégration
par parties de cette intégrale Et pour cela,
il faut la faire assez intelligemment et en particulier
on va la réécrire : c'est l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini,
donc on va écrire que c'est t fois, tout d'abord : a deux,
t fois un facteur qu'on va déterminer, et ici on va s'arranger pour avoir exactement
la valeur de la dérivée de exponentielle moins t deux sur tau deux.
Ici on va faire apparaître le facteur moins deux t
sur taux deux fois exponentielle moins t deux sur tau deux, d t.
Et donc évidemment on a multiplé par le facteur moins deux sur taux deux,
donc il faut diviser par ce facteur ici.
Donc ici vous avez moins taux deux sur deux.
Et cela vous permet de faire directement l'intégration par parties.
Donc vous avez toujours votre terme : a deux.
Et puis quand vous faites l'intégration par parties de toute cette intégrale,
vous avez tout d'abord le terme entre crochets qui va vous donner :
moins t tau deux sur deux, et puis vous prenez la primitive de ce terme-là,
mais on s'est arrangé pour que ce soit exactement ici exponentielle moins
t deux sur taux deux et vous prenez ce crochet entre moins l'infini
et plus l'infini et puis : moins l'intégrale de moins l'infini à
plus l'infini; cette fois-ci vous devez dériver uniquement ce terme t,
mais sa dérivée c'est un, et donc vous avez la constante moins taux
deux sur deux et puis évidemment la primitive qu'on a déjà prise de
exponentielle moins t deux sur tau deux, d t.
Et donc au final, ce calcul se résout assez bien, parce que,
ce que vous avez dans le crochet, vaut évidemment zéro parce que
l'exponentielle moins t deux sur taux deux tend très vite vers zéro.
Et donc vous vous retrouvez uniquement avec tau deux sur deux,
fois intégrale de moins l'infini à plus l'infini et
quand vous remettez le facteur, a deux, dans l'intégrale, vous voyez que vous avez
exactement l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de f de t au carré, d t.
Donc ce terme, ici, c'est exactement le terme que vous aviez ici.
On l'a choisi égal à un.
Et donc directement vous voyez que delta-t au carré c'est égal à tau deux sur deux.
Dans le cas de la densité de probabilité que l'on a considérée dans cet exercice.
Et donc au final vous avez delta t au carré qui fait tau deux sur deux.
Et on a vu que, quand on parlait de la fonction f
de oméga ou de la fonction f de t, le rôle de tau deux était inversé,
donc directement vous pouvez sans refaire le calcul affirmer que la
valeur de delta oméga au carré, c'est toujours le facteur un demi,
mais, à la place du facteur tau deux, vous utilisez le facteur un sur tau deux.
Et cela vous permet directement de calculer
la valeur du produit delta t delta oméga qui
vaut la racine de tau deux sur deux fois un sur deux taux deux et ça
c'est exactement égal à racine de un quart, exactement égal à un demi.
Dans ce TD on a démontré que des fonctions gaussiennes saturent
la relation temps-fréquence.
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