t f de gaussienne un.
Et vous avez votre première transformée de Fourrier qui s'affiche.
On peut faire exactement la même chose pour les fonctions t f de gausienne deux.
Là par contre on remplace les constantes tau par leurs valeurs.
Donc on la trace directement en rouge,
et vous avez cette deuxième transformée de Fourrier qui s'affiche.
Et puis on fait la même chose avec tau trois, qui est la transformée de Fourier
de f de t, cette fois-ci c'était pour une valeur de tau, qui vaut quatre.
Et puis on la trace en vert.
Et vous avez cette troisième transformée de Fourier qui s'affiche.
Plusieurs remarques qu'on peut faire quand on compare, ici à droite les fonctions
f de t, et ici à gauche les fonctions f de oméga, la première c'est que,
contrairement aux fonctions f de t qui valaient toutes un quand t égal à zéro
maintenant à cause du facteur racine de deux Pi tau et bien vous voyez que
vos transformées de Fourier n'ont plus la même valeur quand oméga est égal à zéro.
Et la deuxième remarque qu'on peut faire c'est que, alors que,
pour les fonctions f de t, quand on augmentait la valeur du paramètre tau nos
fonctions s'élargissaient, les fonctions f de oméga, et c'est l'idée de ce TD,
vous remarquez bien que les courbes, entre la courbe bleue, la courbe rouge et la
courbe verte, les courbes sont des plus en plus piquées autour de oméga égal à zéro,
et cela confirme ce qu'on a dit au vu de l'équation différentielle.
Je passe maintenant à la correction de la question numéro cinq de ce TD qui vous
demande tout d'abord de choisir la valeur de la constante a, pour satisfaire une
condition de normalisation sur f de t au carré, et puis qui vous demande de
calculer ensuite la valeur du produit delta-oméga delta t qui est la valeur du
produit temps-fréquence dont vous avez eu certains exemples dans les vidéos cette
semaine avec des signaux sonores et on va démontrer en particulier une propriété
très importante des fonctions gaussiennes : on va démontrer que la valeur du
produit delta-oméga delta t vaut un-demi dans le cas de fonctions gaussiennes.
On vous demande tout d'abord de trouver la valeur de la constante a,
pour satisfaire la condition : l'intégrale de moins l'infini à
plus l'infini de f de t au carré d-t, qui doit être égal à un.
Donc vous pouvez faire le calcul, mais c'est un calcul qu'on a déjà fait et
le résultat de ce calcul c'est quasiment le même changement de variable que ce
qu'on a fait à la question précédente, il va vous donner directement que : a deux,
fois racine de Pi-tau doit être égal à un.
Cela vous donne la valeur de la constante a,
que vous devez choisir pour satisfaire cette condition de normalisation.
Et on va même voir à la fin de cette question, que la valeur de a deux n'est
pas très importante, la seule condition qu'on va utiliser c'est que l'intégrale de
moins l'infini à plus l'infini de f de t au carré d t doit être égale à un.
On va maintenant pouvoir calculer la valeur du produit delta-oméga delta t,
et on va commencer par calculer la valeur de delta t.
Donc par définition delta t au carré est égal à la différence
entre la valeur moyenne de t deux et la valeur moyenne de t au carré.
Donc dans cette expression, on s'intéresse tout d'abord à la valeur moyenne de
t au carré, et vous avez vu graphiquement que la valeur moyenne de t qui
correspond en l’occurrence au maximum de nos fonctions gaussiennes, et bien c'est,
étant t égal à zéro.
Et cela vous permet de simplifier ce terme-là.
Parce que la valeur moyenne de t pour toutes nos fonctions gaussiennes est
bien nulle.
Et donc on est ramené uniquement au calcul de la valeur moyenne de t deux,
par définition cette valeur moyenne c'est l'intégrale de moins l'infini à
plus l'infini de t deux, f de t au carré d
t et cela vient du fait que f de t au carré, que vous avez ici,
est votre densité de probabilité, qu'on a considérée dans cette question.
Et donc quand vous réécrivez tous ces termes-là vous obtenez l'intégrale de
moins l'infini à plus l'infini de t deux, a deux,
fois exponentielle moins t deux sur tau deux, d t.
Et donc pour calculer cette intégrale ici, on va faire une intégration
par parties de cette intégrale Et pour cela,
il faut la faire assez intelligemment et en particulier
on va la réécrire : c'est l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini,
donc on va écrire que c'est t fois, tout d'abord : a deux,
t fois un facteur qu'on va déterminer, et ici on va s'arranger pour avoir exactement
la valeur de la dérivée de exponentielle moins t deux sur tau deux.
Ici on va faire apparaître le facteur moins deux t
sur taux deux fois exponentielle moins t deux sur tau deux, d t.
Et donc évidemment on a multiplé par le facteur moins deux sur taux deux,
donc il faut diviser par ce facteur ici.
Donc ici vous avez moins taux deux sur deux.
Et cela vous permet de faire directement l'intégration par parties.
Donc vous avez toujours votre terme : a deux.
Et puis quand vous faites l'intégration par parties de toute cette intégrale,
vous avez tout d'abord le terme entre crochets qui va vous donner :
moins t tau deux sur deux, et puis vous prenez la primitive de ce terme-là,
mais on s'est arrangé pour que ce soit exactement ici exponentielle moins
t deux sur taux deux et vous prenez ce crochet entre moins l'infini
et plus l'infini et puis : moins l'intégrale de moins l'infini à
plus l'infini; cette fois-ci vous devez dériver uniquement ce terme t,
mais sa dérivée c'est un, et donc vous avez la constante moins taux
deux sur deux et puis évidemment la primitive qu'on a déjà prise de
exponentielle moins t deux sur tau deux, d t.
Et donc au final, ce calcul se résout assez bien, parce que,
ce que vous avez dans le crochet, vaut évidemment zéro parce que
l'exponentielle moins t deux sur taux deux tend très vite vers zéro.
Et donc vous vous retrouvez uniquement avec tau deux sur deux,
fois intégrale de moins l'infini à plus l'infini et
quand vous remettez le facteur, a deux, dans l'intégrale, vous voyez que vous avez
exactement l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de f de t au carré, d t.
Donc ce terme, ici, c'est exactement le terme que vous aviez ici.
On l'a choisi égal à un.
Et donc directement vous voyez que delta-t au carré c'est égal à tau deux sur deux.
Dans le cas de la densité de probabilité que l'on a considérée dans cet exercice.
Et donc au final vous avez delta t au carré qui fait tau deux sur deux.
Et on a vu que, quand on parlait de la fonction f
de oméga ou de la fonction f de t, le rôle de tau deux était inversé,
donc directement vous pouvez sans refaire le calcul affirmer que la
valeur de delta oméga au carré, c'est toujours le facteur un demi,
mais, à la place du facteur tau deux, vous utilisez le facteur un sur tau deux.
Et cela vous permet directement de calculer
la valeur du produit delta t delta oméga qui
vaut la racine de tau deux sur deux fois un sur deux taux deux et ça
c'est exactement égal à racine de un quart, exactement égal à un demi.
Dans ce TD on a démontré que des fonctions gaussiennes saturent
la relation temps-fréquence.