Avant de poursuivre notre étude du doublage de fréquence, nous allons effectuer quelques rappels sur l'optique linéaire dans les milieux anisotropes car ces matériaux anisotropes seront un des moyens dont on dispose pour réaliser la condition d'accord de phase dont nous avons parlé dans la vidéo précédente. Pour décrire la propagation linéaire dans un milieu anisotrope, on va partir évidemment de l'équation de propagation où cette fois-ci on va garder le terme qu'on a négligé jusqu'à maintenant en gradient divergence E. On va commencer par écrire l'équation de propagation dans l'espace de Fourier, comme on l'a déjà fait, vous vous rappelez qu'on remplace le gradient par i k et d sur d t par moins i oméga, donc ça nous donne cette équation-là, avec un nouveau terme qui est k multiplié par k scalaire E, puisque le gradient me donne i k et à nouveau i k et i au carré avec le signe moins ici me donne finalement simplement un signe plus ici. Donc on obtient cette équation de propagation et on va évidemment tenir compte du fait que la composante cartésienne numéro i de la polarisation peut s'écrire sous la forme epsilon zéro khi indice i j multiplié par E j. Je vous rappelle qu'on utilise ici la convention de sommation sur les indices répétés, donc quand un indice apparaît deux fois on va sommer sur j. Ça, ça veut simplement dire que P x est égal à epsilon zéro multiplié par hhi x x E x plus khi x y e y plus khi x E z E z. On va remplacer P par cette expression dans l'équation et le faire passer dans le membre de gauche de l'égalité. On obtient ce système homogène de trois équations pour les trois valeurs possibles de i égal à x, y ou z et vous voyez qu'on peut assez facilement reconnaître comment on est passé de cette ligne à la ligne suivante : tout d'abord le terme ici, si je regarde la composante i de ce terme, on va avoir k i et ici somme sur j de k j E j, donc c'est bien ce que j'ai là, k i fois k j E j, avec à nouveau la somme sur les indices répétés, ça c'est moins k deux E i, donc que je peux encore écrire sous la forme moins k deux delta i j fois E j où delta i j est le symbole de Kronecker, qui vaut un quand les deux indices sont égaux et qui vaut zéro quand les deux indices sont différents, c'est tout simplement la matrice de l'identité ce symbole de Kronecker, et puis dernier terme ici où j'ai oméga deux sur c deux fois à nouveau delta i j pour le terme correspondant au milieu sur c deux fois E et puis le terme ici où j'ai remplacé mu zéro fois epsilon zéro par un sur c deux, donc toujours oméga deux sur c deux en facteur et puis évidemment l'action de la matrice khi i j sur le vecteur colonne E j. Ensuite, pour simplifier un peu cette équation, on va se placer dans un repère particulier, qui est un repère qui va diagonaliser la matrice trois par trois khi i j ; en effet, on peut montrer que cette matrice khi i j est une matrice symétrique réelle, et donc on pourra la diagonaliser, et on va choisir un système d'axe qu'on va appeler les axes propres du matériau, tel que khi i j soit diagonal. Alors dans un milieu isotrope, vous vous rappelez que un plus khi c'était le carré de l'indice de réfraction du milieu, ici, delta i j plus khi i j va être une matrice diagonale, puisque je me suis placé dans la base propre de mon matériau, simplement cette matrice diagonale ne sera pas proportionnelle à l'identité, sur l'axe x j'aurai n x carré sur l'axe y j'aurai n y carré, et sur l'axe z pour le dernier terme de la matrice diagonale j'aurai n z carré. Finalement, ce terme-là je vais pouvoir l'écrire sous la forme n j au carré où n j est l'indice de réfraction selon l'axe j et multiplié par delta i j. Donc une matrice diagonale avec n x carré, n y carré et n z carré. On a ici un système homogène de trois équations, ce qui va nous intéresser évidemment, c'est le cas où on a une solution non-triviale à ce système homogène, on veut une valeur de E x, E y et E z qui soit non nulle et comme vous le savez, pour cela il faudra que le déterminant du système homogène soit égal à zéro. Si j'écris le déterminant de ce système j'obtiens l'expression indiquée ici, le terme k i k j par exemple, si je regarde dans la première ligne, ça va nous donner k x carré k x k y et k x k z, seulement le terme en k x carré va disparaître puisque je soustrais ici k x carré plus k y carré plus k z carré donc il reste moins k y carré moins k z carré, et puis dernier terme sur la diagonale ici je vais avoir n x carré oméga deux sur c deux, n y carré oméga deux sur c deux et puis n z carré oméga deux sur c deux. On obtient ce déterminant qui doit être égal à zéro, c'est une équation un peu fastidieuse à écrire, on ne va pas le faire mais ce qu'on peut montrer que si on écrit le vecteur d'onde k sous la forme de n l'indice de réfraction du matériau multiplié par oméga sur c multiplié par un vecteur unitaire s donc avec une norme de s égale à un pour chaque valeur de s je peux remplacer k dans le déterminant par cette expression-là, et j'aurai une équation où l'inconnue sera l'indice de réfraction n. Ce qu'on montre, c'est qu'on va obtenir deux valeurs possibles de la norme de k, et donc de l'indice de réfraction n, pour chaque direction du vecteur unitaire s porté par k. On ne va pas faire ce calcul, on va simplement l'admettre, mais en fait on aboutit à une équation du second degré en n deux, et avec donc deux solutions possibles, et comme l'indice de réfraction est positif, on a deux solutions possibles pour n, et le résultat obtenu est ce qu'on va appeler la surface des indices, c'est en fait un ensemble de deux surfaces, puisque pour chaque direction de s j'aurai deux valeurs possibles de l'indice de réfraction. La forme de la surface des indices va dépendre du matériau considéré et donc des valeurs de n x n y et n z, j'ai réécrit ici le vecteur déplacement électrique, qui vaut epsilon zéro e plus p donc dans la base propre je peux l'écrire sous la forme epsilon zéro fois la matrice diagonale des indices élevés au carré agissant sur le vecteur colonne E x, E y, E z, et on va maintenant considérer les différents cas de figure possible. Premier cas, le plus simple, celui où la matrice est proportionnelle à l'identité et donc où les trois indices de réfraction sont identiques. C'est le cas du matériau isotrope qu'on a déjà vu et dans ce cas-là évidemment le problème est très simple, puisqu'on a que d est égal à epsilon zéro n deux multiplié par le champ électrique e et donc on se ramène à la propagation d'une onde dans le vide simplement en remplaçant la vitesse de la lumière par c sur n, donc c'est un cas qu'on a déjà vu. Cas un peu plus compliqué, celui d'un matériau qu'on va appeler biréfringent, c'est le cas des matériaux anisotropes, on dira qu'ils sont biréfringents, on verra tout à l'heure pourquoi, et donc on va considérer d'abord le cas d'un matériau uniaxe, c'est-à-dire un matériau qui a des propriétés de symétrie telles que les deux indices de réfraction n x et n y sont identiques, et puis il y aura une troisième valeur d'indice de réfraction, n z, comme cette valeur est singulière, on va appeler cet indice selon l'axe z l'indice extraordinaire, tandis que l'indice pour les deux autres axes on l'appellera l'indice ordinaire. Et l'axe z, on l'appellera l'axe optique du matériau, donc ce sera un matériau uniaxe qui n'a qu'un seul axe. Deux types de matériaux de ce type, ceux pour lesquels l'indice de réfraction n e est supérieur à l'indice ordinaire n o, et dans ce cas-là on parlera de matériaux uniaxes positifs, et puis on a un deuxième type de matériau évidemment, celui où l'indice de réfraction n e est inférieur strictement à l'indice n o et dans ce cas-là, naturellement, on parlera de matériau uniaxe négatif. Évidemment le cas où n e est égal à n o ne nous intéresse pas puisque ça correspond au problème d'un matériau isotrope qu'on ne considère pas ici. Enfin, dernier cas de figure plus compliqué, celui où le matériau possède peu de propriétés de symétrie, et où les trois indices de réfraction sont différents, on parle alors de matériau biréfringent biaxe. Considérons plus précisément le cas des matériaux uniaxes, qui sont ceux qu'on va utiliser le plus souvent pour réaliser la condition d'accord de phase, on pourra aussi utiliser les matériaux biaxes, mais ce sera plus simple d'utiliser un matériau uniaxe. Dans ce cas-là, on a un vecteur d qui comme tout à l'heure s'exprime sous l'action d'une matrice diagonale sur le vecteur colonne E x, E y, E z, mais on a la particularité que les deux premiers éléments, ici n x carré et n y carré sont identiques et sont égaux à n o au carré. On va chercher à quoi ressemble la surface des indices dans un tel matériau, pour ça on considère l'axe z du matériau, le vecteur d'onde k, qui va faire un angle thêta avec cet axe z. Ce qu'on peut remarquer, c'est qu'il existe toujours une solution, qu'on va appeler l'onde ordinaire, qui correspond au cas où le champ E z est égal à zéro. Donc le champ est entièrement dans le plan x y, et dans ce cas, la dernière ligne et la dernière colonne de la matrice ne vont pas intervenir puisque z est égal à zéro, et on aura simplement que d est l'action d'une matrice que vous avez ici qui est proportionnelle à l'identité agissant sur le vecteur E x et E y puisqu'on a supposé que c'étaient les seules composantes non nulles du champ électrique. Donc on peut écrire que d est égal à epsilon zéro n au carré fois E, en faisant cette hypothèse que E est dans le plan x y, et ça veut dire que l'équation de Maxwell divergence d égale à zéro, qui s'écrit k scalaire d ici, elle implique naturellement que k scalaire E est égal à zéro. Donc le champ électrique E sera transverse exactement comme dans un matériau uniaxe, et donc finalement on est ramené au cas d'un matériau uniaxe et on voit que évidemment on aura un indice de réfraction qui sera égal à l'indice ordinaire n o. Donc, quelle que soit la direction du vecteur k, pour tout vecteur unitaire s tel que je l'avais défini tout à l'heure, quelle que soit la direction de k, il va exister une solution au problème, qui sera une onde ordinaire avec un indice de réfraction égal à n o. Ça veut dire que l'une des deux surfaces qui va nous intéresser, donc l'une des deux solutions de l'indice de réfraction, ce sera une sphère de rayon n o centré sur l'origine. Donc l'une des deux surfaces qui constitue cette surface des indices sera tout simplement une sphère de rayon n o. La deuxième solution sera un peu plus compliquée à établir, alors on l'appellera l'onde extraordinaire, et elle correspond à la situation où le champ électrique est dans le plan u z k, donc dans le plan ici de la figure. Pour trouver cette solution, on va prendre le déterminant qu'on a vu tout à l'heure, mettre en facteur n deux moins n o au carré dans ce déterminant et on pourra assez facilement établir une équation nous donnant la valeur de l'indice de réfraction, et on va appeler cet indice de réfraction n e de thêta, puisqu'il va dépendre évidemment de la valeur de thêta, et ce qu'on montre c'est qu'il obéit à cette équation qu'on va réutiliser souvent dans la suite quand on s'intéressera aux conditions d'accord de phase, on a donc une équation qui s'écrit un sur n e de thêta au carré égale cosinus carré thêta divisé par n o au carré plus sinus carré thêta divisé par n e au carré.
