Nesse curso, você irá entender um ingrediente fundamental da revolução digital: a amostragem, que permite que sinais como músicas e imagens sejam armazenados e processados em dispositivos digitais.
Transformada de Fourier
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From the course by Universidade Estadual de Campinas
Processamento Digital de Sinais - Amostragem
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Senóides Contínuas
Neste módulo, faremos uma breve revisão de sinais senoidais a tempo contínuo. Veremos que todo sinal na prática podem ser escritos como uma combinação de sinais senoidais. A vantagem disso é que em muitos casos, como na amostragem, é muito fácil ver o que um sistema faz com uma senóide. Usando o fato de que tudo é uma combinação de senóides, fica então fácil ver o que o sistema faz com um sinal qualquer.
Meet the Instructors
Renato da Rocha LopesProfessor
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
[MÚSICA] Olá,
bem vindos ao vídeo da transformada de Fourier.
Esse é assunto muito extenso que a gente vai discutir aqui e
eu não pretendo em vídeo de menos de 10 minutos esgotar o assunto de transformada
de Fourier de forma alguma.
Isso aqui é curso inteiro de graduação da Engenharia Eléctrica,
de algumas Engenharias, da Matemática, é uma matéria complexa.
As operações executadas na transformada de Fourier são complexas, então o que
eu vou pedir aqui para vocês é apenas uma intuição sobre o que é que transformada
de Fourier faz e o que é que quer dizer uma coisa chamada espectro de frequência.
Então o que eu espero de vocês ao final desse vídeo é que vocês consigam
relacionar pouco o sinal no domínio do tempo, a representação dele no tempo que é
o que todo o mundo está acostumado, como a gente vê ele em termos de
suas componentes em frequências, que a gente pode construir ele como senóides.
Então é esse paralelo só que eu quero que vocês tenham, vocês não vão aprender aqui
como calcular transformada de Fourier, de onde ela vem, nem nada disso.
A grande motivação para ela sim, a gente vai falar pouquinho no próximo
vídeo que é a questão que eu já adiantei pouco de que para algumas,
com os sistemas como, por exemplo, a conversão analógico digital é muito fácil
ver o que é que acontece com uma senóide e a transformada de Fourier me permite
a partir disso dizer o que acontece com qualquer sinal.
A intuição que eu mais gosto para a transformada de Fourier ela vem desse site
aqui betterexplained.com, que tem uma série de coisas muito interessantes,
uma série de artigos bem profundos e bem intuitivos sobre muitos temas da
matemática e ele tem uma página sobre a transformada de Fourier.
E ele interpreta a transformada de Fourier como uma receita
para construir sinal qualquer.
Então o que ele brinca é o seguinte, você tem uma receita com uma série de
ingredientes, então você tem, pega uma senóide com uma frequência, digamos ômega
igual a 1, amplitude, digamos A igual a meio e fase, digamos menos 2.
Uma senóide com uma outra frequência ômega igual a Pi, uma outra amplitude,
vamos dizer A igual a 2.33 e uma outra fase.
E mais senóides e mais senóides com monte de frequências, monte de frequência,
monte frequência, para cada frequência eu pego uma amplitude, uma fase.
E aí o modo de fazer?
Eu simplesmente adiciono todos os ingredientes e obtenho o sinal desejado.
Então a transformada de Fourier de certa forma ela é uma fórmula matemática,
que a gente também pode implementar aí com circuitos ou num computador,
em que ela me diz o seguinte: para o meu sinal, determinado sinal,
por exemplo esse meu sinal de áudio que eu estou gerando aqui,
ela me diz com qual amplitude e com qual fase eu tenho que pegar
cada uma das possíveis frequências para construir o meu sinal.
Então ela basicamente ela diz com que amplitude e com que fase uma
determinada frequência vai construir o meu sinal.
E aí você deve estar se perguntando justamente,
falando "Escuta mas como é que eu construo sinal como soma de senóides?"
E aí que vem a parte verdadeiramente complicada da transformada de Fourier.
Se você quiser provar isso, a prova é muito complicada,
o próprio Fourier quando propôs a sua série na época, ele teve muito problema
para ter o trabalho dele reconhecido junto aos matemáticos da época que parecia uma
coisa muito esquisita, eles não se conformavam com isso.
Então se os grandes matemáticos da época do Fourier não se conformavam não é
a gente aqui que vai tentar entender isso de uma forma simples.
Então o que eu peço aqui para vocês é que simplesmente vocês acreditem que sim,
é possível.
E eu vou mostrar para vocês exemplo que dá alguma ideia de que isso acontece.
Então vamos pegar aqui no nosso querido MATLAB,
uma série de Fourier ou uma transformada de Fourier.
Aqui o valor das amplitudes, o valor dos ganhos aqui e das fases,
eu já calculei previamente usando essa fórmula que eu falei que eu não vou falar
para vocês como que se calculam essas amplitudes aqui.
Mas vamos ver o que é que esse gráfico está dando para a gente.
Então vamos começar aqui.
Eu começo pegando uma senóide, vamos abrir aqui pouquinho esse gráfico.
Então se eu combinar todos os meus ingredientes eu só tenho ingrediente aqui,
uma senóide, eu não tenho nada para combinar.
Mas agora eu vou pegar duas senóides com amplitudes ajustadas para o meu
sinal e eu combino essas duas senóides e eu obtenho esse sinal em azul.
Então você vê que tenho uma senóide em verde com uma determinada amplitude, uma
determinada frequência e uma determinada fase, uma outra senóide em vermelho, com
uma determinada amplitude, uma determinada frequência, uma determinada fase.
Peguei duas senóides agora, combinei as duas,
somei as duas estou obtendo esse sinal em azul, ainda não quer dizer grandes coisas.
Vamos pegar 3?
Agora eu tenho 3 frequências, 3 sinais,
cada com uma frequência, uma amplitude e uma fase.
Somo os 3, obtenho de novo o sinal em azul.
Vamos pegar 4 agora?
Mesma coisa várias amplitudes, várias frequências, várias fases,
escolhidas cuidadosamente para gerar o sinal que eu desejo.
4 senóides, 5, 6, 7, 8,
9 vamos somando monte de senóides até chegar numa coisa que cada vez
mais se aproxima de sinal que é uma reta aqui indo de menos Pi até Pi.
É uma reta.
Então a gente vê que de fato eu quanto mais senóides eu pego e vou
combinando elas, eu vou obtendo uma coisa mais próxima do meu sinal.
Agora tem detalhes isso aí, eu preciso pegar para
obter o meu sinal mesmo, eu preciso pegar teoricamente infinitas senóides.
Então de fato esse é processo de limites, esse é processo bastante complicado.
Mas eu espero que esse gráfico tenha dado alguma noção para vocês de que pegando
monte de senóides com frequências e fases parecidas,
eu obtenho sinal qualquer, é possível fazer isso com sinal qualquer.
A gente continua nesse processo a gente vai cada vez mais se aproximando e aqui
a gente tem o que eu queria também que vocês soubessem,
que é a noção do espectro de frequência.
O espectro de frequência ele me diz o seguinte,
aqui no eixo X eu tenho a frequência que eu peguei.
Então, eu peguei sinal com uma frequência ômega igual a 1 e o espectro de
frequência, ele me diz com que amplitude o meu sinal entrou, o meu sinal
da frequência ômega igual a 1, entrou na composição do meu sinal em particular.
Com que amplitude o meu sinal em ômega igual a 2 em ômega igual a 3, então esse
gráfico aqui me dá a amplitude com que cada cada uma dessas frequências, eixo
X frequência cada uma dessas frequências entrou na composição do meu sinal.
Então, se a gente voltar aqui no MATLAB,
a gente pode pegar a decomposição em frequência do nosso sinal de trem.
E a gente vê o seguinte,
essas são as frequências que estão presentes no meu sinal de trem,
então você vê que eu tenho uma frequência muito forte em 1169Hz,
uma frequência muito forte em 886Hz
e uma frequência muito forte em 704Hz.
Essas são as 3 principais frequências que aparecem no meu sinal de trem.
São as únicas?
Não, eu pego então, para construir o meu sinal de trem, eu pego a frequência
704Hz com a amplitude 440 e uma fase que eu não estou mostrando aqui,
pego a frequência 703,4Hz com a amplitude 184,5 e
uma fase que eu não estou mostrando aqui, pego a frequência 702,8Hz
com uma amplitude 246,1 e uma fase que eu não estou mostrando aqui.
Pego todas essas milhares de frequências que estão aparecendo aqui,
muitos e muitos valores combino todos eles,
cada com a sua amplitude e com a sua fase e eu gero o meu sinal do trem.
Então, novamente, o que eu estou mostrando aqui nesse gráfico,
é o espectro de frequência do sinal do trem.
Isso aqui está me dando a amplitude com que cada frequência entra na composição do
sinal do trem.
Frequência 2115 aparece com a amplitude 88,36, então, a hora de eu fazer
a minha receita para construir o sinal do trem, eu tenho que pegar essa frequência
com essa amplitude e com uma fase que eu não estou mostrando aqui, somo todo mundo,
isso vai-me gerar o sinal do trem e com uma fase que eu não estou mostrando aqui.
Então, novamente, como é que eu obtenho esse espectro de amplitude?
Isso é transformada de Fourier, a gente não vai ver isso aqui.
O importante é entender que isso aqui quer dizer que cada uma
dessas frequências eu se, pego ela cada uma delas, com essa amplitude
e a fase que eu não estou mostrando aqui mas a gente poderia ter mostrado, eh,
e eu somo todas elas isso vai me dar aquele sinal.
do trem.
Próximo vídeo a gente vai ver porque é que isso é importante,
qual é o impacto que isso tem na análise de sistemas e no projeto de sistemas.
Até lá, obrigado.
[MÚSICA]
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