[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] Второе очень важное для нас, разрешение парадокса Бертрана рассмотрено в третьем вопросе нашей лекции, и это динамическая конкуренция или повторяющееся взаимодействие между продавцами. Подумаем, зачем мы вводили предпосылку об однократной встрече i-того и j-того продавца на рынке. Ну естественно, для того, чтобы избежать при обсуждении их мотивов любого влияния цены сегодня на ту цену, которая будет назначена на рынке завтра. А продавцы, безусловно, об этом думают. Если я сегодня назначил низкую цену, то вряд ли я могу ожидать, что завтра я приду на рынок и увижу, что мой конкурент назначил цену высокую. Поскольку он формирует свои предположения о том, что будет на рынке, исходя из моей сегодняшней цены. Но если я назначу цену высокую, то не исключено... Давайте пока просто порассуждаем на уровне интуиции. Не исключено, что завтра, придя на рынок, я обнаружу, что и мой конкурент назначил ту самую высокую цену, которая позволит нам обоим получать прибыль, положительную прибыль. Подумаем, что нам нужно сделать для того, чтобы эту интуицию совместить с правилами, по которым рассматривается стратегическое взаимодействие в теории игр. Итак, нам нужно ввести предпосылку о повторяющемся взаимодействии вместо предпосылки об однократном взаимодействии, которую мы применяли до сих пор. Но нам недостаточно просто повторяющегося взаимодействия. Бесконечно повторяющееся взаимодействие — вот что нам нужно. Вспомним, почему это так. Представим себе, что два продавца встречаются на рынке, предположим, пять раз или любое конечное число раз. Что будет происходить в пятом периоде? Оба продавца совершенно четко знают, что они встречаются в последний раз. Будут ли на назначение цены сегодня оказывать влияние мотивы будущей цены? Нет, не будут. Нет, не будут, потому что эта встреча — последняя, и они об этом знают. Соответственно, равновесие в пятом периоде будут составлять стратегии назначения цены на уровне предельных издержек. Точно так же, как и при однократном взаимодействии. Замечательно. Но что тогда будет происходить в четвертом периоде? В четвертом периоде взаимодействия продавцов? В четвертом периоде взаимодействия продавцов окажет ли цена влияние на цену будущего периода? Пятого? Нет, не окажет, поскольку равновесие по Нэшу в последнем периоде, в последнем, пятом периоде составляют стратегии назначения цены на уровне предельных издержек. Что будет равновесием в предпоследнем периоде? Опять, назначение цены на уровне предельных издержек. Что будет происходить в третьем периоде взаимодействия между продавцами? Точно то же самое, что и в четвертом, и в этом состоит проклятие так называемой «обратной индукции» в теории игр при рассмотрении конечного взаимодействия между игроками. Именно поэтому мы используем предпосылку о бесконечно повторяющемся взаимодействии между игроками. О бесконечно повторяющемся взаимодействии между продавцами. Что касается интуитивной стороны этой предпосылки, как о ней можно думать? Ну простите меня за очередное воспроизведение шутки, принятой в теории игр, но бесконечно повторяющееся взаимодействие — это то же самое, что вечная любовь. Что такое вечная любовь? Мы же не предполагаем, что физически она длится вечно? Но мы предполагаем, что ни один из участников не планирует совершенно конкретного срока окончания, и даже если у него закрадываются подозрения в том, что оно когда-то наступит, тем не менее, он не знает, когда конкретно оно наступит, что и может поддерживать в жизни вечную любовь, и то же самое в теории игр поддерживает бесконечно повторяющееся взаимодействие. Будем думать об этом именно так. В бесконечно повторяющемся взаимодействии претендентов на равновесия по Нэшу довольно много. Но рассмотрим только один тип стратегии, которая известна как trigger-strategy. И здесь опять я должна принести стандартные извинения. Trigger-strategy — это еще одна жертва несовершенного перевода термина на русский язык. Переводят его очень по-разному: и «стратегия руки, дрожащей на курке», потому что trigger — это вообще-то спусковой крючок, и «стратегия тормоза». Ну, понятно, так сказать, физический процесс точно так же: ты спускаешь спусковой крючок или ты снимаешь машину с тормоза. Но для простоты... И это еще раз: это не единственные два перевода. Для простоты мы не будем мучиться с поиском адекватного перевода, и будем использовать просто кальку с английского: trigger-strategy. Для нас этого достаточно. Как выглядит эта trigger-strategy? Пусть у нас существует какая-то цена, которая превышает предельные издержки продавцов в момент времени t. i-тый продавец поддерживает эту цену тогда и только тогда, когда цена j-того продавца в предыдущем периоде была равна этой же цене, превышающей предельные издержки и равна предельным издержкам, если в предыдущий момент j-тый продавец отклонился от цены, превышающей предельные издержки. Как триггер-стратегию можно изложить словами? Я назначаю цену, превышающую предельные издержки, до тех пор, пока мой конкурент назначает такую же цену, и снижаю цену до уровня предельных издержек в том случае, когда конкурент отклоняется от этой цены. Мы с вами к объяснению смысла такой стратегии еще вернемся в следующей лекции, поскольку она исключительно важна для объяснения сговора и поддержания сговора между продавцами. А пока что, хотя я понимаю, что описание этой стратегии вызывает множество вопросов... Ну и первый вопрос, на который мы ответим вскоре: какую именно цену мы назначаем? Тем не менее, мы пока опустим этот вопрос и рассмотрим условие, при котором следование обоих продавцов триггер-стратегии составит равновесие по Нэшу. Итак, мы воспользуемся тем же самым, чем пользовались до сих пор — определением равновесия по Нэшу: no profitable deviation. Для этого мы должны спросить себя: какой выигрыш получат продавцы, следуя триггер-стратегии... Опять я напоминаю, равновесие по Нэшу: i-тый продавец следует триггер-стратегии и j-тый продавец следует триггер-стратегии. Какой выигрыш получит продавец, следуя триггер-стратегии, и какой выигрыш они получат при отклонении от триггер-стратегии? Что нам здесь придется ввести? Поскольку мы здесь переходим от однократного взаимодействия к взаимодействию во многих периодах, то нам нужно прибегнуть к традиционному для экономистов приему дисконтирования — приведения выигрыша, который будет получен в следующем периоде, в период после, в пятом, в седьмом, в восьмом, в двадцать восьмом периоде, к ценности сегодняшнего дня. Для этого мы будем использовать дисконтирующий множитель. Дисконтирующий множитель по его определению — это величина, которая находится в пределах от 0 до 1 и отражает субъективную оценку сегодняшней ценности будущей единицы денег. То есть, когда мы говорим, что для конкретного игрока дисконтирующий множитель — это 0,7, это означает, что рубль, полученный завтра, для него эквивалентен 70 копейкам сегодня. Где мы сталкивались с дисконтированием и дисконтирующим множителем? Ну во-первых, мы сталкивались с этим приемом в микроэкономике. Во-вторых, те из вас, кто знают хотя бы основы финансов, оценки инвестиционных проектов, знают о дисконтирующем множителе еще больше. В финансовых расчетах принято связывать по представленной формуле дисконтирующий множитель со ставкой процента, рассматривая дисконтирующий множитель просто как частное от деления 1 на сумму 1 и ставки процента. И тогда смысл этого дисконтирующего множителя немножко другой. При ставке процента i какую сумму денег нужно разместить (ну дальше в зависимости от того, в какой теории мы находимся) разместить на эффективном финансовом рынке или положить в банк для того, чтобы завтра получить 1 рубль? В этом случае 0,7 означает, что может человек, 70 копеек разместив в одном из финансовых учреждений, завтра получить 1 рубль. Наше понимание субъективного дисконтирующего множителя будет отличаться именно субъективностью. То есть мы, находясь в теории, дадим себе определенное послабление. Каждый человек оценивает ценность денег так, как это свойственно для его межвременных предпочтений, и, соответственно, для участников взаимодействия та ставка процента, которая существует на рынке, информативна, но их предпочтений не формирует. Что же тогда формирует субъективную ставку процента? Опять, давайте решим этот вопрос просто на уровне интуиции и будем думать, в том числе, о терпеливом и нетерпеливом участнике игры. Чем более терпелив участник игры, тем что? Тем для него ценность денег в будущем выше. Тем выше этот самый дисконтирующий множитель. Чем менее терпелив, более нетерпелив, участник игры, тем ниже для него субъективное значение его дисконтирующего множителя. Все. Мы вспомнили, что такое дисконтирующий множитель. Он нам нужен строго для того, чтобы определить выигрыш при следовании продавцами триггер-стратегии. Итак, пусть существует та самая цена, превышающая предельные издержки, и пусть, если оба продавца назначают эту цену, то прибыль, положительная прибыль, составляет π. И опять будем предполагать для простоты, что назначающие одинаковую цену продавцы делят эту прибыль пополам, так же, как раньше они у нас пополам делили рыночный спрос. Тогда какой выигрыш получат продавцы при следовании триггер-стратегии? Половина прибыли сегодня, половина прибыли завтра, и мы умножаем ее на дисконтирующий множитель, половина прибыли послезавтра, и мы умножаем ее в соответствии с правилами дисконтирования на дисконтирующий множитель в квадрате. И мы получаем что? Сумму членов бесконечной геометрической прогрессии, которая равна: половина прибыли, отнесенная к разности между 1 и значением дисконтирующего множителя. Проверим себя. Этот выигрыш, конечно же, этот выигрыш, конечно же, тем выше, чем значение дисконтирующего множителя наше выше. Ну, за исключением того момента, что, когда дисконтирующий множитель достигает 1, на 0 делить нельзя, но до тех пор, пока дисконтирующий множитель стремится к 1, выигрыш при следовании триггер-стратегии будет стремиться к бесконечности. Замечательно. Спросим себя: если продавец отклоняется от триггер-стратегии, какой выигрыш в этом случае он получает? Опять, будем думать об исключительно рациональном продавце. В каком случае он вообще получит большую прибыль, отклоняясь от цены P, установленной нами? Он наибольшую прибыль получит, если при совершенно рациональных покупателей снизит цену на ε. Снизив цену на ε, он получит величину рыночного спроса при этой цене, и мы с вами для простоты будем предполагать... Мы пренебрежем тем, что из цены нам нужно ε вычесть, а величину рыночного спроса, соответственно, увеличить на ε с учетом эластичности спроса. Мы будем предполагать, что он, понизив на незначительную величину, на бесконечно малую величину, цену, отхватит всю прибыль, которую продавцы в противоположном случае делили бы пополам. То есть, он получает всю прибыль на рынке, не деля ее с другим продавцом. Но эту прибыль как долго он получает? Он получает ее только один раз, потому что вспомним: в триггер-стратегию входит момент наказания. Как только j-тый продавец видит, что цена i-того продавца понизилась по сравнению с P, он понижает цену до уровня предельных издержек. Соответственно, выигрыш при отклонении от триггер-стратегии равен в точности установленной нами прибыли. Ну и теперь последний шажок. В каком случае следование триггер-стратегии составляет равновесие по Нэшу? В том случае, если увеличивающего выигрыш отклонения не существует. Это выполняется в том случае, если прибыль, деленная пополам и отнесенная к 1 минус дисконтированный множитель, не ниже, чем величина прибыли. И условием равновесия в триггер-стратегиях служит значение дисконтирующего множителя не ниже, чем 1/2. Обратите внимание, что условие равновесия по Нэшу в триггер-стратегиях не зависит от величины прибыли, не зависит от величины прибыли, а зависит только от субъективной оценки участниками будущих выигрышей. И все. Мы делаем вывод о том, что цена, превышающая предельные издержки, в бесконечно повторяющемся взаимодействии будет поддерживаться, если продавцы оценивают сегодняшнюю ценность будущих денег достаточно высоко. И это наш главный вывод. Плюс одно техническое замечание. Будем в дальнейшем обозначать граничное значение дисконтирующего множителя вот это вот δ с тильдой как... Введем это обозначение, и пусть у нас 1/2 теперь будет называться граничное значение дисконтирующего множителя, предполагая, что? Что граничное значение дисконтирующего множителя — это то минимальное значение, которое позволяет поддерживать равновесие в триггер-стратегиях при повторяющемся взаимодействии продавцов. [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
